Theorem elmapd 8854

Description: Deduction form of elmapg 8853. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8853	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8842

This theorem is referenced by:  elmapdd  8855  mapfset  8864  mapfoss  8866  elmapssres  8881  elmapresaun  8894  mapsnd  8900  mapss  8903  ralxpmap  8910  mapen  9155  mapunen  9160  f1finf1oOLD  9278  mapfienlem3  9419  mapfien  9420  cantnfs  9680  acni  10059  infmap2  10231  fin23lem32  10358  iundom2g  10554  wunf  10741  hashf1lem2  14474  prdsplusg  17472  prdsmulr  17473  prdsvsca  17474  elsetchom  18094  setcco  18096  elestrchom  18140  estrcco  18142  funcsetcestrclem7  18173  elefmndbas  18851  isga  19274  symgbasmap  19358  frlmvplusgvalc  21727  frlmplusgvalb  21729  frlmvscavalb  21730  evls1sca  22261  mamures  22335  mat1dimmul  22414  1mavmul  22486  mdetunilem9  22558  cnpdis  23231  xkopjcn  23594  indishmph  23736  tsmsxplem2  24092  rrx0el  25350  dchrfi  27218  ac6mapd  32603  elmaprd  32657  fcobij  32699  rmfsupp2  33233  elrgspnlem1  33237  elrgspnlem2  33238  elrgspnlem4  33240  elrgspnsubrunlem2  33243  elrgspnsubrun  33244  linds2eq  33396  elrspunidl  33443  lbsdiflsp0  33666  fedgmullem1  33669  fedgmullem2  33670  fedgmul  33671  zarcmplem  33912  mbfmcst  34291  1stmbfm  34292  2ndmbfm  34293  mbfmco  34296  sibfof  34372  satfv1lem  35384  ex-sategoelel  35443  ex-sategoelelomsuc  35448  aks6d1c1  42129  aks6d1c2lem4  42140  aks6d1c5lem0  42148  aks6d1c5  42152  aks6d1c6lem1  42183  aks6d1c6lem2  42184  frlmfielbas  42523  fsuppind  42613  fsuppssindlem2  42615  fsuppssind  42616  mhpind  42617  mapco2g  42737  cantnfub  43345  tfsconcatrev  43372  ofoafg  43378  ofoafo  43380  rfovcnvf1od  44028  fsovfd  44036  fsovcnvlem  44037  dssmapnvod  44044  clsk3nimkb  44064  ntrelmap  44149  clselmap  44151  k0004lem2  44172  elmapsnd  45228  mapss2  45229  unirnmap  45232  inmap  45233  difmapsn  45236  unirnmapsn  45238  fourierdlem14  46150  fourierdlem15  46151  fourierdlem81  46216  fourierdlem92  46227  rrnprjdstle  46330  subsaliuncllem  46386  hoidmvlelem3  46626  ovolval2lem  46672  ovolval4lem2  46679  ovolval5lem2  46682  ovnovollem1  46685  smfmullem4  46823  fprmappr  48320  el0ldep  48442  naryfvalelfv  48612  fv1arycl  48617  1arymaptf  48621  2arymaptfo  48634