Theorem elmapd 8816

Description: Deduction form of elmapg 8815. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804

This theorem is referenced by:  elmapdd  8817  mapfset  8826  mapfoss  8828  elmapssres  8843  elmapresaun  8856  mapsnd  8862  mapss  8865  ralxpmap  8872  mapen  9111  mapunen  9116  f1finf1oOLD  9224  mapfienlem3  9365  mapfien  9366  cantnfs  9626  acni  10005  infmap2  10177  fin23lem32  10304  iundom2g  10500  wunf  10687  hashf1lem2  14428  prdsplusg  17428  prdsmulr  17429  prdsvsca  17430  elsetchom  18050  setcco  18052  elestrchom  18096  estrcco  18098  funcsetcestrclem7  18129  elefmndbas  18807  isga  19230  symgbasmap  19314  frlmvplusgvalc  21683  frlmplusgvalb  21685  frlmvscavalb  21686  evls1sca  22217  mamures  22291  mat1dimmul  22370  1mavmul  22442  mdetunilem9  22514  cnpdis  23187  xkopjcn  23550  indishmph  23692  tsmsxplem2  24048  rrx0el  25305  dchrfi  27173  ac6mapd  32556  elmaprd  32610  fcobij  32652  rmfsupp2  33196  elrgspnlem1  33200  elrgspnlem2  33201  elrgspnlem4  33203  elrgspnsubrunlem2  33206  elrgspnsubrun  33207  linds2eq  33359  elrspunidl  33406  lbsdiflsp0  33629  fedgmullem1  33632  fedgmullem2  33633  fedgmul  33634  zarcmplem  33878  mbfmcst  34257  1stmbfm  34258  2ndmbfm  34259  mbfmco  34262  sibfof  34338  satfv1lem  35356  ex-sategoelel  35415  ex-sategoelelomsuc  35420  aks6d1c1  42111  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c5lem0  42130  aks6d1c5  42134  aks6d1c6lem1  42165  aks6d1c6lem2  42166  frlmfielbas  42495  fsuppind  42585  fsuppssindlem2  42587  fsuppssind  42588  mhpind  42589  mapco2g  42709  cantnfub  43317  tfsconcatrev  43344  ofoafg  43350  ofoafo  43352  rfovcnvf1od  44000  fsovfd  44008  fsovcnvlem  44009  dssmapnvod  44016  clsk3nimkb  44036  ntrelmap  44121  clselmap  44123  k0004lem2  44144  elmapsnd  45205  mapss2  45206  unirnmap  45209  inmap  45210  difmapsn  45213  unirnmapsn  45215  fourierdlem14  46126  fourierdlem15  46127  fourierdlem81  46192  fourierdlem92  46203  rrnprjdstle  46306  subsaliuncllem  46362  hoidmvlelem3  46602  ovolval2lem  46648  ovolval4lem2  46655  ovolval5lem2  46658  ovnovollem1  46661  smfmullem4  46799  fprmappr  48337  el0ldep  48459  naryfvalelfv  48625  fv1arycl  48630  1arymaptf  48634  2arymaptfo  48647