Theorem elmapd 8863

Description: Deduction form of elmapg 8862. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852

This theorem is used by:  elmapdd  8864  elmaprdOLD  8874  mapfset  8875  mapfoss  8877  elmapssres  8897  elmapresaun  8911  mapsnd  8917  mapss  8920  ralxpmap  8927  mapen  9163  mapunen  9168  mapfienlem3  9402  mapfien  9403  cantnfs  9670  acni  10127  infmap2  10298  fin23lem32  10425  iundom2g  10627  wunf  10815  hashf1lem2  14604  prdsplusg  17634  prdsmulr  17635  prdsvsca  17636  elsetchom  18261  setcco  18263  elestrchom  18307  estrcco  18309  funcsetcestrclem7  18340  elefmndbas  19074  isga  19510  symgbasmap  19596  frlmvplusgvalc  22078  frlmplusgvalb  22080  frlmvscavalb  22081  evls1sca  22646  mamures  22717  mat1dimmul  22796  1mavmul  22868  mdetunilem9  22940  cnpdis  23616  xkopjcn  23980  indishmph  24122  tsmsxplem2  24478  rrx0el  25724  dchrfi  27587  ac6mapd  33264  fcobij  33358  rmfsupp2  33844  elrgspnlem1  33849  elrgspnlem2  33850  elrgspnlem4  33852  elrgspnsubrunlem2  33855  elrgspnsubrun  33856  linds2eq  33982  elrspunidl  34024  lbsdiflsp0  34304  fedgmullem1  34307  fedgmullem2  34308  zarcmplem  34559  mbfmcst  34937  1stmbfm  34938  2ndmbfm  34939  mbfmco  34942  sibfof  35018  satfv1lem  36213  ex-sategoelel  36272  ex-sategoelelomsuc  36277  aks6d1c1  43259  aks6d1c2lem4  43270  aks6d1c5lem0  43278  aks6d1c5  43282  aks6d1c6lem1  43313  aks6d1c6lem2  43314  frlmfielbas  43660  fsuppind  43711  fsuppssindlem2  43713  fsuppssind  43714  mhpind  43715  mapco2g  43818  cantnfub  44416  tfsconcatrev  44443  ofoafg  44449  ofoafo  44451  rfovcnvf1od  45097  fsovfd  45105  fsovcnvlem  45106  dssmapnvod  45113  clsk3nimkb  45133  ntrelmap  45218  clselmap  45220  k0004lem2  45241  elmapsnd  46311  mapss2  46312  unirnmap  46314  inmap  46315  difmapsn  46318  unirnmapsn  46320  fourierdlem14  47224  fourierdlem15  47225  fourierdlem81  47290  fourierdlem92  47301  rrnprjdstle  47404  subsaliuncllem  47460  hoidmvlelem3  47700  ovolval2lem  47746  ovolval4lem2  47753  ovolval5lem2  47756  ovnovollem1  47759  smfmullem4  47897  fprmappr  49550  el0ldep  49671  naryfvalelfv  49837  fv1arycl  49842  1arymaptf  49846  2arymaptfo  49859