Theorem elmapd 8629

Description: Deduction form of elmapg 8628. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617

This theorem is referenced by:  mapfset  8638  mapfoss  8640  elmapssres  8655  elmapresaun  8668  mapsnd  8674  mapss  8677  ralxpmap  8684  mapen  8928  mapunen  8933  f1finf1o  9046  mapfienlem3  9166  mapfien  9167  cantnfs  9424  acni  9801  infmap2  9974  fin23lem32  10100  iundom2g  10296  wunf  10483  hashf1lem1OLD  14169  hashf1lem2  14170  prdsplusg  17169  prdsmulr  17170  prdsvsca  17171  elsetchom  17796  setcco  17798  elestrchom  17844  estrcco  17846  funcsetcestrclem7  17878  elefmndbas  18512  isga  18897  symgbasmap  18984  frlmvplusgvalc  20974  frlmplusgvalb  20976  frlmvscavalb  20977  evls1sca  21489  mamures  21539  mat1dimmul  21625  1mavmul  21697  mdetunilem9  21769  cnpdis  22444  xkopjcn  22807  indishmph  22949  tsmsxplem2  23305  rrx0el  24562  dchrfi  26403  fcobij  31057  rmfsupp2  31492  linds2eq  31575  elrspunidl  31606  lbsdiflsp0  31707  fedgmullem1  31710  fedgmullem2  31711  fedgmul  31712  zarcmplem  31831  mbfmcst  32226  1stmbfm  32227  2ndmbfm  32228  mbfmco  32231  sibfof  32307  satfv1lem  33324  ex-sategoelel  33383  ex-sategoelelomsuc  33388  elmapdd  40216  selvval2lem4  40228  selvval2lem5  40229  frlmfielbas  40231  fsuppind  40279  fsuppssindlem2  40281  fsuppssind  40282  mhpind  40283  mapco2g  40536  rfovcnvf1od  41612  fsovfd  41620  fsovcnvlem  41621  dssmapnvod  41628  clsk3nimkb  41650  ntrelmap  41735  clselmap  41737  k0004lem2  41758  elmapsnd  42744  mapss2  42745  unirnmap  42748  inmap  42749  difmapsn  42752  unirnmapsn  42754  dvnprodlem1  43487  fourierdlem14  43662  fourierdlem15  43663  fourierdlem81  43728  fourierdlem92  43739  rrnprjdstle  43842  subsaliuncllem  43896  hoidmvlelem3  44135  ovolval2lem  44181  ovolval4lem2  44188  ovolval5lem2  44191  ovnovollem1  44194  smfmullem4  44328  fprmappr  45681  el0ldep  45807  naryfvalelfv  45978  fv1arycl  45983  1arymaptf  45987  2arymaptfo  46000