Theorem elmapd 8500

Description: Deduction form of elmapg 8499. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112  ⟶wf 6354  (class class class)co 7191   ↑_m cmap 8486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-map 8488

This theorem is referenced by:  mapfset  8509  mapfoss  8511  elmapssres  8526  elmapresaun  8539  mapsnd  8545  mapss  8548  ralxpmap  8555  mapen  8788  mapunen  8793  f1finf1o  8880  mapfienlem3  9001  mapfien  9002  cantnfs  9259  acni  9624  infmap2  9797  fin23lem32  9923  iundom2g  10119  wunf  10306  hashf1lem1OLD  13986  hashf1lem2  13987  prdsplusg  16917  prdsmulr  16918  prdsvsca  16919  elsetchom  17541  setcco  17543  elestrchom  17589  estrcco  17591  funcsetcestrclem7  17622  elefmndbas  18254  isga  18639  symgbasmap  18723  frlmvplusgvalc  20683  frlmplusgvalb  20685  frlmvscavalb  20686  evls1sca  21193  mamures  21243  mat1dimmul  21327  1mavmul  21399  mdetunilem9  21471  cnpdis  22144  xkopjcn  22507  indishmph  22649  tsmsxplem2  23005  rrx0el  24249  dchrfi  26090  fcobij  30731  rmfsupp2  31165  linds2eq  31243  elrspunidl  31274  lbsdiflsp0  31375  fedgmullem1  31378  fedgmullem2  31379  fedgmul  31380  zarcmplem  31499  mbfmcst  31892  1stmbfm  31893  2ndmbfm  31894  mbfmco  31897  sibfof  31973  satfv1lem  32991  ex-sategoelel  33050  ex-sategoelelomsuc  33055  elmapdd  39870  selvval2lem4  39882  selvval2lem5  39883  frlmfielbas  39885  fsuppind  39930  fsuppssindlem2  39932  fsuppssind  39933  mhpind  39934  mapco2g  40180  rfovcnvf1od  41230  fsovfd  41238  fsovcnvlem  41239  dssmapnvod  41246  clsk3nimkb  41268  ntrelmap  41353  clselmap  41355  k0004lem2  41376  elmapsnd  42358  mapss2  42359  unirnmap  42362  inmap  42363  difmapsn  42366  unirnmapsn  42368  dvnprodlem1  43105  fourierdlem14  43280  fourierdlem15  43281  fourierdlem81  43346  fourierdlem92  43357  rrnprjdstle  43460  subsaliuncllem  43514  hoidmvlelem3  43753  ovolval2lem  43799  ovolval4lem2  43806  ovolval5lem2  43809  ovnovollem1  43812  smfmullem4  43943  fprmappr  45297  el0ldep  45423  naryfvalelfv  45594  fv1arycl  45599  1arymaptf  45603  2arymaptfo  45616