Theorem elmapd 8879

Description: Deduction form of elmapg 8878. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8878	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867

This theorem is referenced by:  elmapdd  8880  mapfset  8889  mapfoss  8891  elmapssres  8906  elmapresaun  8919  mapsnd  8925  mapss  8928  ralxpmap  8935  mapen  9180  mapunen  9185  f1finf1oOLD  9304  mapfienlem3  9445  mapfien  9446  cantnfs  9704  acni  10083  infmap2  10255  fin23lem32  10382  iundom2g  10578  wunf  10765  hashf1lem2  14492  prdsplusg  17505  prdsmulr  17506  prdsvsca  17507  elsetchom  18135  setcco  18137  elestrchom  18183  estrcco  18185  funcsetcestrclem7  18217  elefmndbas  18899  isga  19322  symgbasmap  19409  frlmvplusgvalc  21805  frlmplusgvalb  21807  frlmvscavalb  21808  evls1sca  22343  mamures  22417  mat1dimmul  22498  1mavmul  22570  mdetunilem9  22642  cnpdis  23317  xkopjcn  23680  indishmph  23822  tsmsxplem2  24178  rrx0el  25446  dchrfi  27314  fcobij  32740  rmfsupp2  33228  elrgspnlem1  33232  elrgspnlem2  33233  elrgspnlem4  33235  linds2eq  33389  elrspunidl  33436  lbsdiflsp0  33654  fedgmullem1  33657  fedgmullem2  33658  fedgmul  33659  zarcmplem  33842  mbfmcst  34241  1stmbfm  34242  2ndmbfm  34243  mbfmco  34246  sibfof  34322  satfv1lem  35347  ex-sategoelel  35406  ex-sategoelelomsuc  35411  aks6d1c1  42098  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5  42121  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem2  42153  frlmfielbas  42487  fsuppind  42577  fsuppssindlem2  42579  fsuppssind  42580  mhpind  42581  mapco2g  42702  cantnfub  43311  tfsconcatrev  43338  ofoafg  43344  ofoafo  43346  rfovcnvf1od  43994  fsovfd  44002  fsovcnvlem  44003  dssmapnvod  44010  clsk3nimkb  44030  ntrelmap  44115  clselmap  44117  k0004lem2  44138  elmapsnd  45147  mapss2  45148  unirnmap  45151  inmap  45152  difmapsn  45155  unirnmapsn  45157  fourierdlem14  46077  fourierdlem15  46078  fourierdlem81  46143  fourierdlem92  46154  rrnprjdstle  46257  subsaliuncllem  46313  hoidmvlelem3  46553  ovolval2lem  46599  ovolval4lem2  46606  ovolval5lem2  46609  ovnovollem1  46612  smfmullem4  46750  fprmappr  48190  el0ldep  48312  naryfvalelfv  48482  fv1arycl  48487  1arymaptf  48491  2arymaptfo  48504