Theorem elmapd 8764

Description: Deduction form of elmapg 8763. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8763	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  elmapdd  8765  mapfset  8774  mapfoss  8776  elmapssres  8791  elmapresaun  8804  mapsnd  8810  mapss  8813  ralxpmap  8820  mapen  9054  mapunen  9059  mapfienlem3  9291  mapfien  9292  cantnfs  9556  acni  9933  infmap2  10105  fin23lem32  10232  iundom2g  10428  wunf  10615  hashf1lem2  14360  prdsplusg  17359  prdsmulr  17360  prdsvsca  17361  elsetchom  17985  setcco  17987  elestrchom  18031  estrcco  18033  funcsetcestrclem7  18064  elefmndbas  18778  isga  19201  symgbasmap  19287  frlmvplusgvalc  21702  frlmplusgvalb  21704  frlmvscavalb  21705  evls1sca  22236  mamures  22310  mat1dimmul  22389  1mavmul  22461  mdetunilem9  22533  cnpdis  23206  xkopjcn  23569  indishmph  23711  tsmsxplem2  24067  rrx0el  25323  dchrfi  27191  ac6mapd  32601  elmaprd  32656  fcobij  32698  rmfsupp2  33200  elrgspnlem1  33204  elrgspnlem2  33205  elrgspnlem4  33207  elrgspnsubrunlem2  33210  elrgspnsubrun  33211  linds2eq  33341  elrspunidl  33388  lbsdiflsp0  33634  fedgmullem1  33637  fedgmullem2  33638  fedgmul  33639  zarcmplem  33889  mbfmcst  34267  1stmbfm  34268  2ndmbfm  34269  mbfmco  34272  sibfof  34348  satfv1lem  35394  ex-sategoelel  35453  ex-sategoelelomsuc  35458  aks6d1c1  42148  aks6d1c2lem4  42159  aks6d1c5lem0  42167  aks6d1c5  42171  aks6d1c6lem1  42202  aks6d1c6lem2  42203  frlmfielbas  42532  fsuppind  42622  fsuppssindlem2  42624  fsuppssind  42625  mhpind  42626  mapco2g  42746  cantnfub  43353  tfsconcatrev  43380  ofoafg  43386  ofoafo  43388  rfovcnvf1od  44036  fsovfd  44044  fsovcnvlem  44045  dssmapnvod  44052  clsk3nimkb  44072  ntrelmap  44157  clselmap  44159  k0004lem2  44180  elmapsnd  45240  mapss2  45241  unirnmap  45244  inmap  45245  difmapsn  45248  unirnmapsn  45250  fourierdlem14  46158  fourierdlem15  46159  fourierdlem81  46224  fourierdlem92  46235  rrnprjdstle  46338  subsaliuncllem  46394  hoidmvlelem3  46634  ovolval2lem  46680  ovolval4lem2  46687  ovolval5lem2  46690  ovnovollem1  46693  smfmullem4  46831  fprmappr  48375  el0ldep  48497  naryfvalelfv  48663  fv1arycl  48668  1arymaptf  48672  2arymaptfo  48685