Theorem elmapd 8587

Description: Deduction form of elmapg 8586. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575

This theorem is referenced by:  mapfset  8596  mapfoss  8598  elmapssres  8613  elmapresaun  8626  mapsnd  8632  mapss  8635  ralxpmap  8642  mapen  8877  mapunen  8882  f1finf1o  8975  mapfienlem3  9096  mapfien  9097  cantnfs  9354  acni  9732  infmap2  9905  fin23lem32  10031  iundom2g  10227  wunf  10414  hashf1lem1OLD  14097  hashf1lem2  14098  prdsplusg  17086  prdsmulr  17087  prdsvsca  17088  elsetchom  17712  setcco  17714  elestrchom  17760  estrcco  17762  funcsetcestrclem7  17794  elefmndbas  18427  isga  18812  symgbasmap  18899  frlmvplusgvalc  20884  frlmplusgvalb  20886  frlmvscavalb  20887  evls1sca  21399  mamures  21449  mat1dimmul  21533  1mavmul  21605  mdetunilem9  21677  cnpdis  22352  xkopjcn  22715  indishmph  22857  tsmsxplem2  23213  rrx0el  24467  dchrfi  26308  fcobij  30959  rmfsupp2  31394  linds2eq  31477  elrspunidl  31508  lbsdiflsp0  31609  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613  fedgmul  31614  zarcmplem  31733  mbfmcst  32126  1stmbfm  32127  2ndmbfm  32128  mbfmco  32131  sibfof  32207  satfv1lem  33224  ex-sategoelel  33283  ex-sategoelelomsuc  33288  elmapdd  40142  selvval2lem4  40154  selvval2lem5  40155  frlmfielbas  40157  fsuppind  40202  fsuppssindlem2  40204  fsuppssind  40205  mhpind  40206  mapco2g  40452  rfovcnvf1od  41501  fsovfd  41509  fsovcnvlem  41510  dssmapnvod  41517  clsk3nimkb  41539  ntrelmap  41624  clselmap  41626  k0004lem2  41647  elmapsnd  42633  mapss2  42634  unirnmap  42637  inmap  42638  difmapsn  42641  unirnmapsn  42643  dvnprodlem1  43377  fourierdlem14  43552  fourierdlem15  43553  fourierdlem81  43618  fourierdlem92  43629  rrnprjdstle  43732  subsaliuncllem  43786  hoidmvlelem3  44025  ovolval2lem  44071  ovolval4lem2  44078  ovolval5lem2  44081  ovnovollem1  44084  smfmullem4  44215  fprmappr  45569  el0ldep  45695  naryfvalelfv  45866  fv1arycl  45871  1arymaptf  45875  2arymaptfo  45888