Theorem elmapd 8774

Description: Deduction form of elmapg 8773. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762

This theorem is referenced by:  elmapdd  8775  mapfset  8784  mapfoss  8786  elmapssres  8801  elmapresaun  8814  mapsnd  8820  mapss  8823  ralxpmap  8830  mapen  9065  mapunen  9070  f1finf1oOLD  9175  mapfienlem3  9316  mapfien  9317  cantnfs  9581  acni  9958  infmap2  10130  fin23lem32  10257  iundom2g  10453  wunf  10640  hashf1lem2  14381  prdsplusg  17380  prdsmulr  17381  prdsvsca  17382  elsetchom  18006  setcco  18008  elestrchom  18052  estrcco  18054  funcsetcestrclem7  18085  elefmndbas  18765  isga  19188  symgbasmap  19274  frlmvplusgvalc  21692  frlmplusgvalb  21694  frlmvscavalb  21695  evls1sca  22226  mamures  22300  mat1dimmul  22379  1mavmul  22451  mdetunilem9  22523  cnpdis  23196  xkopjcn  23559  indishmph  23701  tsmsxplem2  24057  rrx0el  25314  dchrfi  27182  ac6mapd  32582  elmaprd  32636  fcobij  32678  rmfsupp2  33188  elrgspnlem1  33192  elrgspnlem2  33193  elrgspnlem4  33195  elrgspnsubrunlem2  33198  elrgspnsubrun  33199  linds2eq  33328  elrspunidl  33375  lbsdiflsp0  33598  fedgmullem1  33601  fedgmullem2  33602  fedgmul  33603  zarcmplem  33847  mbfmcst  34226  1stmbfm  34227  2ndmbfm  34228  mbfmco  34231  sibfof  34307  satfv1lem  35334  ex-sategoelel  35393  ex-sategoelelomsuc  35398  aks6d1c1  42089  aks6d1c2lem4  42100  aks6d1c5lem0  42108  aks6d1c5  42112  aks6d1c6lem1  42143  aks6d1c6lem2  42144  frlmfielbas  42473  fsuppind  42563  fsuppssindlem2  42565  fsuppssind  42566  mhpind  42567  mapco2g  42687  cantnfub  43294  tfsconcatrev  43321  ofoafg  43327  ofoafo  43329  rfovcnvf1od  43977  fsovfd  43985  fsovcnvlem  43986  dssmapnvod  43993  clsk3nimkb  44013  ntrelmap  44098  clselmap  44100  k0004lem2  44121  elmapsnd  45182  mapss2  45183  unirnmap  45186  inmap  45187  difmapsn  45190  unirnmapsn  45192  fourierdlem14  46103  fourierdlem15  46104  fourierdlem81  46169  fourierdlem92  46180  rrnprjdstle  46283  subsaliuncllem  46339  hoidmvlelem3  46579  ovolval2lem  46625  ovolval4lem2  46632  ovolval5lem2  46635  ovnovollem1  46638  smfmullem4  46776  fprmappr  48330  el0ldep  48452  naryfvalelfv  48618  fv1arycl  48623  1arymaptf  48627  2arymaptfo  48640