Theorem elmapd 8898

Description: Deduction form of elmapg 8897. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 8897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886

This theorem is referenced by:  elmapdd  8899  mapfset  8908  mapfoss  8910  elmapssres  8925  elmapresaun  8938  mapsnd  8944  mapss  8947  ralxpmap  8954  mapen  9207  mapunen  9212  f1finf1oOLD  9334  mapfienlem3  9476  mapfien  9477  cantnfs  9735  acni  10114  infmap2  10286  fin23lem32  10413  iundom2g  10609  wunf  10796  hashf1lem2  14505  prdsplusg  17518  prdsmulr  17519  prdsvsca  17520  elsetchom  18148  setcco  18150  elestrchom  18196  estrcco  18198  funcsetcestrclem7  18230  elefmndbas  18908  isga  19331  symgbasmap  19418  frlmvplusgvalc  21810  frlmplusgvalb  21812  frlmvscavalb  21813  evls1sca  22348  mamures  22422  mat1dimmul  22503  1mavmul  22575  mdetunilem9  22647  cnpdis  23322  xkopjcn  23685  indishmph  23827  tsmsxplem2  24183  rrx0el  25451  dchrfi  27317  fcobij  32736  rmfsupp2  33218  linds2eq  33374  elrspunidl  33421  lbsdiflsp0  33639  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  fedgmul  33644  zarcmplem  33827  mbfmcst  34224  1stmbfm  34225  2ndmbfm  34226  mbfmco  34229  sibfof  34305  satfv1lem  35330  ex-sategoelel  35389  ex-sategoelelomsuc  35394  aks6d1c1  42073  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5  42096  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem2  42128  frlmfielbas  42455  fsuppind  42545  fsuppssindlem2  42547  fsuppssind  42548  mhpind  42549  mapco2g  42670  cantnfub  43283  tfsconcatrev  43310  ofoafg  43316  ofoafo  43318  rfovcnvf1od  43966  fsovfd  43974  fsovcnvlem  43975  dssmapnvod  43982  clsk3nimkb  44002  ntrelmap  44087  clselmap  44089  k0004lem2  44110  elmapsnd  45111  mapss2  45112  unirnmap  45115  inmap  45116  difmapsn  45119  unirnmapsn  45121  dvnprodlem1  45867  fourierdlem14  46042  fourierdlem15  46043  fourierdlem81  46108  fourierdlem92  46119  rrnprjdstle  46222  subsaliuncllem  46278  hoidmvlelem3  46518  ovolval2lem  46564  ovolval4lem2  46571  ovolval5lem2  46574  ovnovollem1  46577  smfmullem4  46715  fprmappr  48070  el0ldep  48195  naryfvalelfv  48366  fv1arycl  48371  1arymaptf  48375  2arymaptfo  48388