Theorem 2arymptfv 46856

Description: The value of a binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arympt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))

Assertion

Ref	Expression
2arymptfv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arymptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arympt.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
2		fveq1 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4		c0ex 11158	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
6		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		0ne1 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≠ 1)
9	5, 6, 8	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
11		fvpr1g 7141	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
13	3, 12	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐴)
14		fveq1 6846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
15		1ex 11160	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
17		fvpr2g 7142	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
18	15, 16, 8, 17	mp3an2i 1466	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
19	14, 18	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘1) = 𝐵)
20	13, 19	oveq12d 7380	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) = (𝐴𝑂𝐵))
21		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	4, 15, 7	3pm3.2i 1339	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
24		3simpc 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
25		fprmappr 46541	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
27		ovexd 7397	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ V)
28	1, 20, 26, 27	fvmptd2 6961	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3446  {cpr 4593  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8772  0cc0 11060  1c1 11061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-mulcl 11122  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774

This theorem is referenced by: (None)