Theorem 2arymptfv 47835

Description: The value of a binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arympt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))

Assertion

Ref	Expression
2arymptfv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arymptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arympt.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
2		fveq1 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
3	2	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4		c0ex 11238	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
6		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		0ne1 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≠ 1)
9	5, 6, 8	3jca 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
10	9	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
11		fvpr1g 7195	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
13	3, 12	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐴)
14		fveq1 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
15		1ex 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
17		fvpr2g 7196	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
18	15, 16, 8, 17	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
19	14, 18	sylan9eqr 2787	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘1) = 𝐵)
20	13, 19	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) = (𝐴𝑂𝐵))
21		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	4, 15, 7	3pm3.2i 1336	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
24		3simpc 1147	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
25		fprmappr 47521	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
27		ovexd 7451	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ V)
28	1, 20, 26, 27	fvmptd2 7008	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  {cpr 4626  ⟨cop 4630   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8843  0cc0 11138  1c1 11139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-mulcl 11200  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8845

This theorem is referenced by: (None)