Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymptfv 45105
 Description: The value of a binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arympt.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
Assertion
Ref Expression
2arymptfv ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arymptfv
StepHypRef Expression
1 2arympt.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
2 fveq1 6645 . . . . 5 (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
32adantl 485 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4 c0ex 10627 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ∈ V)
6 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
7 0ne1 11699 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≠ 1)
95, 6, 83jca 1125 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐴𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
109adantr 484 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐴𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
11 fvpr1g 6932 . . . . 5 ((0 ∈ V ∧ 𝐴𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
133, 12eqtrd 2833 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐴)
14 fveq1 6645 . . . 4 (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
15 1ex 10629 . . . . 5 1 ∈ V
16 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
17 fvpr2g 6933 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 𝐵𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
1815, 16, 8, 17mp3an2i 1463 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
1914, 18sylan9eqr 2855 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘1) = 𝐵)
2013, 19oveq12d 7154 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) = (𝐴𝑂𝐵))
21 simp1 1133 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑋𝑉)
224, 15, 73pm3.2i 1336 . . . 4 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
2322a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
24 3simpc 1147 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑋𝐵𝑋))
25 fprmappr 44790 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1368 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
27 ovexd 7171 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ V)
281, 20, 26, 27fvmptd2 6754 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {cpr 4527  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  0cc0 10529  1c1 10530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-mulcl 10591  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-map 8394 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator