Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymptfv 47423
Description: The value of a binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arympt.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
Assertion
Ref Expression
2arymptfv ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arymptfv
StepHypRef Expression
1 2arympt.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
2 fveq1 6889 . . . . 5 (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
32adantl 480 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4 c0ex 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ∈ V)
6 simp2 1135 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
7 0ne1 12287 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≠ 1)
95, 6, 83jca 1126 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐴𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
109adantr 479 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐴𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
11 fvpr1g 7189 . . . . 5 ((0 ∈ V ∧ 𝐴𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
133, 12eqtrd 2770 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐴)
14 fveq1 6889 . . . 4 (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
15 1ex 11214 . . . . 5 1 ∈ V
16 simp3 1136 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
17 fvpr2g 7190 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 𝐵𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
1815, 16, 8, 17mp3an2i 1464 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
1914, 18sylan9eqr 2792 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘1) = 𝐵)
2013, 19oveq12d 7429 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) = (𝐴𝑂𝐵))
21 simp1 1134 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑋𝑉)
224, 15, 73pm3.2i 1337 . . . 4 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
2322a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
24 3simpc 1148 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑋𝐵𝑋))
25 fprmappr 47109 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1369 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
27 ovexd 7446 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ V)
281, 20, 26, 27fvmptd2 7005 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  Vcvv 3472  {cpr 4629  cop 4633  cmpt 5230  cfv 6542  (class class class)co 7411  m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-mulcl 11174  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator