Theorem 2arymptfv 49413

Description: The value of a binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arympt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))

Assertion

Ref	Expression
2arymptfv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arymptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arympt.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
2		fveq1 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
3	2	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4		c0ex 11201	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
6		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		0ne1 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≠ 1)
9	5, 6, 8	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
11		fvpr1g 7190	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
13	3, 12	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐴)
14		fveq1 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
15		1ex 11204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
17		fvpr2g 7191	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
18	15, 16, 8, 17	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
19	14, 18	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘1) = 𝐵)
20	13, 19	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) = (𝐴𝑂𝐵))
21		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	4, 15, 7	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
24		3simpc 1168	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
25		fprmappr 49108	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
27		ovexd 7447	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ V)
28	1, 20, 26, 27	fvmptd2 7000	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {cpr 4592  ⟨cop 4596   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  0cc0 11101  1c1 11102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-mulcl 11163  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8827

This theorem is referenced by: (None)