Theorem 2arymptfv 48688

Description: The value of a binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arympt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))

Assertion

Ref	Expression
2arymptfv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arymptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arympt.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
2		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4		c0ex 11106	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
6		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		0ne1 12196	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≠ 1)
9	5, 6, 8	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1))
11		fvpr1g 7124	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
13	3, 12	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘0) = 𝐴)
14		fveq1 6821	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑥‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
15		1ex 11108	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
17		fvpr2g 7125	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
18	15, 16, 8, 17	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
19	14, 18	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → (𝑥‘1) = 𝐵)
20	13, 19	oveq12d 7364	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) = (𝐴𝑂𝐵))
21		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	4, 15, 7	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
24		3simpc 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
25		fprmappr 48382	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
27		ovexd 7381	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ V)
28	1, 20, 26, 27	fvmptd2 6937	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) = (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  {cpr 4578  ⟨cop 4582   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  0cc0 11006  1c1 11007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-mulcl 11068  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by: (None)