Theorem mapsnop 49274

Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapsnop.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}

Assertion

Ref	Expression
mapsnop	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsnop.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2		fsng 7131	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
4	1, 3	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
6	5	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
7	4, 6	fssd 6720	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		snex 5404	. . 3 ⊢ {𝑋} ∈ V
10		elmapg 8838	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
11	8, 9, 10	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8828

This theorem is used by:  lincvalsng  49346  lcosn0  49350