Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapsnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapsnop 44612
Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapsnop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
mapsnop ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop
StepHypRef Expression
1 mapsnop.f . . . 4 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2 fsng 6888 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
323adant3 1129 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
41, 3mpbiri 261 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5 snssi 4726 . . . 4 (𝑌𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
653ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
74, 6fssd 6517 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8 simp3 1135 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
9 snex 5320 . . 3 {𝑋} ∈ V
10 elmapg 8411 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
118, 9, 10sylancl 589 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
127, 11mpbird 260 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  {csn 4550  cop 4556  wf 6340  (class class class)co 7146  m cmap 8398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-map 8400
This theorem is referenced by:  lincvalsng  44690  lcosn0  44694
  Copyright terms: Public domain W3C validator