Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapsnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapsnop 46410
Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapsnop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
mapsnop ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop
StepHypRef Expression
1 mapsnop.f . . . 4 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2 fsng 7083 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
323adant3 1132 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
41, 3mpbiri 257 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5 snssi 4768 . . . 4 (𝑌𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
653ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
74, 6fssd 6686 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8 simp3 1138 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
9 snex 5388 . . 3 {𝑋} ∈ V
10 elmapg 8778 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
118, 9, 10sylancl 586 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
127, 11mpbird 256 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  cop 4592  wf 6492  (class class class)co 7357  m cmap 8765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767
This theorem is referenced by:  lincvalsng  46487  lcosn0  46491
  Copyright terms: Public domain W3C validator