Theorem mapsnop 49787

Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapsnop.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}

Assertion

Ref	Expression
mapsnop	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsnop.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2		fsng 7170	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
4	1, 3	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5		snssi 4748	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
6	5	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
7	4, 6	fssd 6757	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		snex 5404	. . 3 ⊢ {𝑋} ∈ V
10		elmapg 8897	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
11	8, 9, 10	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ⟨cop 4840  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887

This theorem is used by:  lincvalsng  49859  lcosn0  49863