Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapsnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapsnop 47757
Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapsnop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
mapsnop ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop
StepHypRef Expression
1 mapsnop.f . . . 4 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2 fsng 7141 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
323adant3 1129 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
41, 3mpbiri 257 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5 snssi 4808 . . . 4 (𝑌𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
653ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
74, 6fssd 6735 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8 simp3 1135 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
9 snex 5428 . . 3 {𝑋} ∈ V
10 elmapg 8858 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
118, 9, 10sylancl 584 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
127, 11mpbird 256 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3463  wss 3947  {csn 4624  cop 4630  wf 6540  (class class class)co 7414  m cmap 8845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8847
This theorem is referenced by:  lincvalsng  47833  lcosn0  47837
  Copyright terms: Public domain W3C validator