Theorem mapsnop 48927

Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapsnop.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}

Assertion

Ref	Expression
mapsnop	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsnop.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2		fsng 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
4	1, 3	mpbiri 260	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5		snssi 4741	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
6	5	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
7	4, 6	fssd 6704	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		snex 5393	. . 3 ⊢ {𝑋} ∈ V
10		elmapg 8814	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
11	8, 9, 10	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4579  ⟨cop 4585  ⟶wf 6512  (class class class)co 7391   ↑_m cmap 8802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-map 8804

This theorem is referenced by:  lincvalsng  48999  lcosn0  49003