Theorem fv2arycl 45994

Description: Closure of a binary (endo)function. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv2arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv2arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
2	1	naryrcl 45977	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		2aryfvalel 45993	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
4		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
5		c0ex 10969	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
7		0ne1 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
10		fprmappr 45681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
11	9, 10	syld3an2 1410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
12	4, 11	ffvelrnd 6962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)
13	12	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
14	3, 13	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
16	2, 15	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋))
17	16	3impib 1115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  {cpr 4563  ⟨cop 4567  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  0cc0 10871  1c1 10872  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ..^cfzo 13382  -aryF cnaryf 45972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-naryf 45973

This theorem is referenced by:  2arymaptf  45998