Theorem fv2arycl 47721

Description: Closure of a binary (endo)function. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv2arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv2arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
2	1	naryrcl 47704	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		2aryfvalel 47720	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
4		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
5		c0ex 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
7		0ne1 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
10		fprmappr 47409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
11	9, 10	syld3an2 1409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
12	4, 11	ffvelcdmd 7095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)
13	12	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
14	3, 13	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
16	2, 15	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋))
17	16	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  Vcvv 3471  {cpr 4631  ⟨cop 4635  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  0cc0 11139  1c1 11140  2c2 12298  ℕ₀cn0 12503  ..^cfzo 13660  -aryF cnaryf 47699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-naryf 47700

This theorem is referenced by:  2arymaptf  47725