Theorem fv2arycl 49854

Description: Closure of a binary (endo)function. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv2arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv2arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
2	1	naryrcl 49837	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		2aryfvalel 49853	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
4		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
5		c0ex 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
7		0ne1 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
10		fprmappr 49551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
11	9, 10	syld3an2 1438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
12	4, 11	ffvelcdmd 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)
13	12	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
14	3, 13	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
15	14	adantl 487	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
16	2, 15	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋))
17	16	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4834  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  0cc0 11204  1c1 11205  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ..^cfzo 13792  -aryF cnaryf 49832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-naryf 49833

This theorem is used by:  2arymaptf  49858