Theorem fv2arycl 45882

Description: Closure of a binary (endo)function. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv2arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv2arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
2	1	naryrcl 45865	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		2aryfvalel 45881	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
4		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
5		c0ex 10900	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 10902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
7		0ne1 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
10		fprmappr 45569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
11	9, 10	syld3an2 1409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
12	4, 11	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)
13	12	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
14	3, 13	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
16	2, 15	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋))
17	16	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  -aryF cnaryf 45860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-naryf 45861

This theorem is referenced by:  2arymaptf  45886