Theorem fv2arycl 49005

Description: Closure of a binary (endo)function. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fv2arycl	⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fv2arycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
2	1	naryrcl 48988	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		2aryfvalel 49004	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
4		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
5		c0ex 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 11140	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
7		0ne1 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1))
10		fprmappr 48702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 0 ≠ 1) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
11	9, 10	syld3an2 1414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
12	4, 11	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)
13	12	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
14	3, 13	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)))
16	2, 15	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋))
17	16	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐺‘{⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ..^cfzo 13582  -aryF cnaryf 48983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-naryf 48984

This theorem is referenced by:  2arymaptf  49009