Theorem func0g 50311

Description: The source category of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
func0g	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
2		func0g.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		func0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		func0g.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5	2, 3, 4	funcf1 18048	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	f002 50072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
7	1, 6	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394   Func cfunc 18036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-map 8854  df-ixp 8931  df-func 18040

This theorem is used by:  func0g2  50312