Theorem func0g 48938

Description: The source cateogry of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
func0g	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
2		func0g.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		func0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		func0g.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5	2, 3, 4	funcf1 17912	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	f002 48768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   Func cfunc 17900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-ixp 8939  df-func 17904

This theorem is referenced by:  func0g2  48939