Theorem func0g 49586

Description: The source category of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
func0g	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
2		func0g.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		func0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		func0g.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5	2, 3, 4	funcf1 17831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	f002 49351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   Func cfunc 17819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-map 8772  df-ixp 8843  df-func 17823

This theorem is referenced by:  func0g2  49587