Theorem func0g 49078

Description: The source category of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
func0g	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
2		func0g.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		func0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		func0g.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5	2, 3, 4	funcf1 17828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	f002 48842	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   Func cfunc 17816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-ixp 8871  df-func 17820

This theorem is referenced by:  func0g2  49079