Theorem func0g 49576

Description: The source category of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
func0g	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
2		func0g.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		func0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		func0g.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5	2, 3, 4	funcf1 17824	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	f002 49341	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   Func cfunc 17812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-ixp 8839  df-func 17816

This theorem is referenced by:  func0g2  49577