Theorem funcf1 17948

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17945	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994   ↑_m cmap 8833  Xcixp 8904  Basecbs 17294  Hom chom 17346  compcco 17347  Catccat 17745  Idccid 17746   Func cfunc 17936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-ixp 8905  df-func 17940

This theorem is used by:  funcsect  17954  funcinv  17955  funciso  17956  funcoppc  17957  cofu1  17966  cofucl  17970  cofuass  17971  cofulid  17972  cofurid  17973  funcres  17978  funcres2  17980  wunfunc  17983  funcres2c  17985  fullpropd  18004  fthsect  18009  fthinv  18010  fthmon  18011  ffthiso  18013  cofull  18018  cofth  18019  fuccocl  18049  fucidcl  18050  fuclid  18051  fucrid  18052  fucass  18053  fucsect  18057  fucinv  18058  invfuc  18059  fuciso  18060  natpropd  18061  fucpropd  18062  catciso  18193  prfval  18280  prfcl  18284  prf1st  18285  prf2nd  18286  1st2ndprf  18287  evlfcllem  18302  evlfcl  18303  curf1cl  18309  curfcl  18313  uncf1  18317  uncf2  18318  curfuncf  18319  uncfcurf  18320  diag1cl  18323  curf2ndf  18328  yon1cl  18344  oyon1cl  18352  yonedalem3a  18355  yonedalem4c  18358  yonedalem3b  18360  yonedalem3  18361  yonedainv  18362  yonffthlem  18363  yoniso  18366  func0g  49908  funchomf  49916  cofidf2a  49936  cofidf1a  49937  cofidf1  49940  imasubc  49970  imassc  49972  imaid  49973  imasubc3  49975  upciclem2  49986  upciclem3  49987  upeu2  49991  uppropd  50000  oppcup  50026  uptrlem1  50029  uptrlem3  50031  uptrar  50035  natoppf  50048  diag1  50123  diag1f1  50126  fuco111x  50150  fuco11idx  50154  fuco22natlem1  50161  fuco22natlem2  50162  fuco22natlem3  50163  fuco22natlem  50164  fucoid  50167  fuco23alem  50170  fucocolem1  50172  fucocolem2  50173  fucocolem3  50174  fucocolem4  50175  fucoco  50176  fucolid  50180  fucorid  50181  fucorid2  50182  precofvallem  50185  precofvalALT  50187  precofval2  50188  prcof22a  50211  prcofdiag1  50212  prcofdiag  50213  fucoppcco  50228  oppfdiag1  50233  oppfdiag  50235  functhincfun  50268  fullthinc  50269  thincciso2  50274  functermc  50327  fulltermc  50330  termcfuncval  50351  funcsn  50360  uobeqterm  50365  concom  50482  coccom  50483