MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcf1 17124
Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcf1.b 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f (𝜑𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
Assertion
Ref Expression
funcf1 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem funcf1
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcf1.f . . 3 (𝜑𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2 funcf1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐷)
3 funcf1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝐸)
4 eqid 2818 . . . 4 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5 eqid 2818 . . . 4 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6 eqid 2818 . . . 4 (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7 eqid 2818 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8 eqid 2818 . . . 4 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9 eqid 2818 . . . 4 (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10 df-br 5058 . . . . . . 7 (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
111, 10sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12 funcrcl 17121 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
1413simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
1513simprd 496 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15isfunc 17122 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐺X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
171, 16mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐶𝐺X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
1817simp1d 1134 1 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cop 4563   class class class wbr 5057   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1st c1st 7676  2nd c2nd 7677  m cmap 8395  Xcixp 8449  Basecbs 16471  Hom chom 16564  compcco 16565  Catccat 16923  Idccid 16924   Func cfunc 17112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-ixp 8450  df-func 17116
This theorem is referenced by:  funcsect  17130  funcinv  17131  funciso  17132  funcoppc  17133  cofu1  17142  cofucl  17146  cofuass  17147  cofulid  17148  cofurid  17149  funcres  17154  funcres2  17156  wunfunc  17157  funcres2c  17159  fullpropd  17178  fthsect  17183  fthinv  17184  fthmon  17185  ffthiso  17187  cofull  17192  cofth  17193  fuccocl  17222  fucidcl  17223  fuclid  17224  fucrid  17225  fucass  17226  fucsect  17230  fucinv  17231  invfuc  17232  fuciso  17233  natpropd  17234  fucpropd  17235  catciso  17355  prfval  17437  prfcl  17441  prf1st  17442  prf2nd  17443  1st2ndprf  17444  evlfcllem  17459  evlfcl  17460  curf1cl  17466  curfcl  17470  uncf1  17474  uncf2  17475  curfuncf  17476  uncfcurf  17477  diag1cl  17480  curf2ndf  17485  yon1cl  17501  oyon1cl  17509  yonedalem3a  17512  yonedalem4c  17515  yonedalem3b  17517  yonedalem3  17518  yonedainv  17519  yonffthlem  17520  yoniso  17523
  Copyright terms: Public domain W3C validator