Theorem funcf1 17879

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17876	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987   ↑_m cmap 8840  Xcixp 8911  Basecbs 17228  Hom chom 17282  compcco 17283  Catccat 17676  Idccid 17677   Func cfunc 17867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8842  df-ixp 8912  df-func 17871

This theorem is referenced by:  funcsect  17885  funcinv  17886  funciso  17887  funcoppc  17888  cofu1  17897  cofucl  17901  cofuass  17902  cofulid  17903  cofurid  17904  funcres  17909  funcres2  17911  wunfunc  17914  funcres2c  17916  fullpropd  17935  fthsect  17940  fthinv  17941  fthmon  17942  ffthiso  17944  cofull  17949  cofth  17950  fuccocl  17980  fucidcl  17981  fuclid  17982  fucrid  17983  fucass  17984  fucsect  17988  fucinv  17989  invfuc  17990  fuciso  17991  natpropd  17992  fucpropd  17993  catciso  18124  prfval  18211  prfcl  18215  prf1st  18216  prf2nd  18217  1st2ndprf  18218  evlfcllem  18233  evlfcl  18234  curf1cl  18240  curfcl  18244  uncf1  18248  uncf2  18249  curfuncf  18250  uncfcurf  18251  diag1cl  18254  curf2ndf  18259  yon1cl  18275  oyon1cl  18283  yonedalem3a  18286  yonedalem4c  18289  yonedalem3b  18291  yonedalem3  18292  yonedainv  18293  yonffthlem  18294  yoniso  18297  func0g  49054  funchomf  49057  imasubc  49091  imassc  49093  imaid  49094  imasubc3  49096  upciclem2  49102  upciclem3  49103  upeu2  49107  oppcup  49140  diag1  49215  diag1f1  49218  fuco111x  49242  fuco11idx  49246  fuco22natlem1  49253  fuco22natlem2  49254  fuco22natlem3  49255  fuco22natlem  49256  fucoid  49259  fuco23alem  49262  fucocolem1  49264  fucocolem2  49265  fucocolem3  49266  fucocolem4  49267  fucoco  49268  fucolid  49272  fucorid  49273  fucorid2  49274  precofvallem  49277  precofvalALT  49279  precofval2  49280  prcof22a  49302  functhincfun  49335  fullthinc  49336  thincciso2  49341  functermc  49393  fulltermc  49396  termcfuncval  49417  concom  49533  coccom  49534