Theorem funcf1 17824

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5087	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17821	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1143	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934   ↑_m cmap 8766  Xcixp 8838  Basecbs 17170  Hom chom 17222  compcco 17223  Catccat 17621  Idccid 17622   Func cfunc 17812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-ixp 8839  df-func 17816

This theorem is referenced by:  funcsect  17830  funcinv  17831  funciso  17832  funcoppc  17833  cofu1  17842  cofucl  17846  cofuass  17847  cofulid  17848  cofurid  17849  funcres  17854  funcres2  17856  wunfunc  17859  funcres2c  17861  fullpropd  17880  fthsect  17885  fthinv  17886  fthmon  17887  ffthiso  17889  cofull  17894  cofth  17895  fuccocl  17925  fucidcl  17926  fuclid  17927  fucrid  17928  fucass  17929  fucsect  17933  fucinv  17934  invfuc  17935  fuciso  17936  natpropd  17937  fucpropd  17938  catciso  18069  prfval  18156  prfcl  18160  prf1st  18161  prf2nd  18162  1st2ndprf  18163  evlfcllem  18178  evlfcl  18179  curf1cl  18185  curfcl  18189  uncf1  18193  uncf2  18194  curfuncf  18195  uncfcurf  18196  diag1cl  18199  curf2ndf  18204  yon1cl  18220  oyon1cl  18228  yonedalem3a  18231  yonedalem4c  18234  yonedalem3b  18236  yonedalem3  18237  yonedainv  18238  yonffthlem  18239  yoniso  18242  func0g  49576  funchomf  49584  cofidf2a  49604  cofidf1a  49605  cofidf1  49608  imasubc  49638  imassc  49640  imaid  49641  imasubc3  49643  upciclem2  49654  upciclem3  49655  upeu2  49659  uppropd  49668  oppcup  49694  uptrlem1  49697  uptrlem3  49699  uptrar  49703  natoppf  49716  diag1  49791  diag1f1  49794  fuco111x  49818  fuco11idx  49822  fuco22natlem1  49829  fuco22natlem2  49830  fuco22natlem3  49831  fuco22natlem  49832  fucoid  49835  fuco23alem  49838  fucocolem1  49840  fucocolem2  49841  fucocolem3  49842  fucocolem4  49843  fucoco  49844  fucolid  49848  fucorid  49849  fucorid2  49850  precofvallem  49853  precofvalALT  49855  precofval2  49856  prcof22a  49879  prcofdiag1  49880  prcofdiag  49881  fucoppcco  49896  oppfdiag1  49901  oppfdiag  49903  functhincfun  49936  fullthinc  49937  thincciso2  49942  functermc  49995  fulltermc  49998  termcfuncval  50019  funcsn  50028  uobeqterm  50033  concom  50150  coccom  50151