MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcf1 17131
Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcf1.b 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f (𝜑𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
Assertion
Ref Expression
funcf1 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem funcf1
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcf1.f . . 3 (𝜑𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2 funcf1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐷)
3 funcf1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝐸)
4 eqid 2801 . . . 4 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5 eqid 2801 . . . 4 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6 eqid 2801 . . . 4 (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7 eqid 2801 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8 eqid 2801 . . . 4 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9 eqid 2801 . . . 4 (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10 df-br 5034 . . . . . . 7 (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
111, 10sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12 funcrcl 17128 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
1413simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
1513simprd 499 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15isfunc 17129 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐺X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
171, 16mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐶𝐺X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
1817simp1d 1139 1 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cop 4534   class class class wbr 5033   × cxp 5521  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  m cmap 8393  Xcixp 8448  Basecbs 16478  Hom chom 16571  compcco 16572  Catccat 16930  Idccid 16931   Func cfunc 17119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-map 8395  df-ixp 8449  df-func 17123
This theorem is referenced by:  funcsect  17137  funcinv  17138  funciso  17139  funcoppc  17140  cofu1  17149  cofucl  17153  cofuass  17154  cofulid  17155  cofurid  17156  funcres  17161  funcres2  17163  wunfunc  17164  funcres2c  17166  fullpropd  17185  fthsect  17190  fthinv  17191  fthmon  17192  ffthiso  17194  cofull  17199  cofth  17200  fuccocl  17229  fucidcl  17230  fuclid  17231  fucrid  17232  fucass  17233  fucsect  17237  fucinv  17238  invfuc  17239  fuciso  17240  natpropd  17241  fucpropd  17242  catciso  17362  prfval  17444  prfcl  17448  prf1st  17449  prf2nd  17450  1st2ndprf  17451  evlfcllem  17466  evlfcl  17467  curf1cl  17473  curfcl  17477  uncf1  17481  uncf2  17482  curfuncf  17483  uncfcurf  17484  diag1cl  17487  curf2ndf  17492  yon1cl  17508  oyon1cl  17516  yonedalem3a  17519  yonedalem4c  17522  yonedalem3b  17524  yonedalem3  17525  yonedainv  17526  yonffthlem  17527  yoniso  17530
  Copyright terms: Public domain W3C validator