Theorem funcf1 17835

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17832	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970   ↑_m cmap 8802  Xcixp 8873  Basecbs 17186  Hom chom 17238  compcco 17239  Catccat 17632  Idccid 17633   Func cfunc 17823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-ixp 8874  df-func 17827

This theorem is referenced by:  funcsect  17841  funcinv  17842  funciso  17843  funcoppc  17844  cofu1  17853  cofucl  17857  cofuass  17858  cofulid  17859  cofurid  17860  funcres  17865  funcres2  17867  wunfunc  17870  funcres2c  17872  fullpropd  17891  fthsect  17896  fthinv  17897  fthmon  17898  ffthiso  17900  cofull  17905  cofth  17906  fuccocl  17936  fucidcl  17937  fuclid  17938  fucrid  17939  fucass  17940  fucsect  17944  fucinv  17945  invfuc  17946  fuciso  17947  natpropd  17948  fucpropd  17949  catciso  18080  prfval  18167  prfcl  18171  prf1st  18172  prf2nd  18173  1st2ndprf  18174  evlfcllem  18189  evlfcl  18190  curf1cl  18196  curfcl  18200  uncf1  18204  uncf2  18205  curfuncf  18206  uncfcurf  18207  diag1cl  18210  curf2ndf  18215  yon1cl  18231  oyon1cl  18239  yonedalem3a  18242  yonedalem4c  18245  yonedalem3b  18247  yonedalem3  18248  yonedainv  18249  yonffthlem  18250  yoniso  18253  func0g  49082  funchomf  49090  cofidf2a  49110  cofidf1a  49111  cofidf1  49114  imasubc  49144  imassc  49146  imaid  49147  imasubc3  49149  upciclem2  49160  upciclem3  49161  upeu2  49165  uppropd  49174  oppcup  49200  uptrlem1  49203  uptrlem3  49205  uptrar  49209  natoppf  49222  diag1  49297  diag1f1  49300  fuco111x  49324  fuco11idx  49328  fuco22natlem1  49335  fuco22natlem2  49336  fuco22natlem3  49337  fuco22natlem  49338  fucoid  49341  fuco23alem  49344  fucocolem1  49346  fucocolem2  49347  fucocolem3  49348  fucocolem4  49349  fucoco  49350  fucolid  49354  fucorid  49355  fucorid2  49356  precofvallem  49359  precofvalALT  49361  precofval2  49362  prcof22a  49385  prcofdiag1  49386  prcofdiag  49387  fucoppcco  49402  oppfdiag1  49407  oppfdiag  49409  functhincfun  49442  fullthinc  49443  thincciso2  49448  functermc  49501  fulltermc  49504  termcfuncval  49525  funcsn  49534  uobeqterm  49539  concom  49656  coccom  49657