Theorem funcf1 17497

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17494	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1140	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1^st c1st 7802  2^nd c2nd 7803   ↑_m cmap 8573  Xcixp 8643  Basecbs 16840  Hom chom 16899  compcco 16900  Catccat 17290  Idccid 17291   Func cfunc 17485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-ixp 8644  df-func 17489

This theorem is referenced by:  funcsect  17503  funcinv  17504  funciso  17505  funcoppc  17506  cofu1  17515  cofucl  17519  cofuass  17520  cofulid  17521  cofurid  17522  funcres  17527  funcres2  17529  wunfunc  17530  wunfuncOLD  17531  funcres2c  17533  fullpropd  17552  fthsect  17557  fthinv  17558  fthmon  17559  ffthiso  17561  cofull  17566  cofth  17567  fuccocl  17598  fucidcl  17599  fuclid  17600  fucrid  17601  fucass  17602  fucsect  17606  fucinv  17607  invfuc  17608  fuciso  17609  natpropd  17610  fucpropd  17611  catciso  17742  prfval  17832  prfcl  17836  prf1st  17837  prf2nd  17838  1st2ndprf  17839  evlfcllem  17855  evlfcl  17856  curf1cl  17862  curfcl  17866  uncf1  17870  uncf2  17871  curfuncf  17872  uncfcurf  17873  diag1cl  17876  curf2ndf  17881  yon1cl  17897  oyon1cl  17905  yonedalem3a  17908  yonedalem4c  17911  yonedalem3b  17913  yonedalem3  17914  yonedainv  17915  yonffthlem  17916  yoniso  17919  fullthinc  46215