Theorem funcf1 17833

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17830	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1143	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941   ↑_m cmap 8773  Xcixp 8845  Basecbs 17179  Hom chom 17231  compcco 17232  Catccat 17630  Idccid 17631   Func cfunc 17821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-ixp 8846  df-func 17825

This theorem is referenced by:  funcsect  17839  funcinv  17840  funciso  17841  funcoppc  17842  cofu1  17851  cofucl  17855  cofuass  17856  cofulid  17857  cofurid  17858  funcres  17863  funcres2  17865  wunfunc  17868  funcres2c  17870  fullpropd  17889  fthsect  17894  fthinv  17895  fthmon  17896  ffthiso  17898  cofull  17903  cofth  17904  fuccocl  17934  fucidcl  17935  fuclid  17936  fucrid  17937  fucass  17938  fucsect  17942  fucinv  17943  invfuc  17944  fuciso  17945  natpropd  17946  fucpropd  17947  catciso  18078  prfval  18165  prfcl  18169  prf1st  18170  prf2nd  18171  1st2ndprf  18172  evlfcllem  18187  evlfcl  18188  curf1cl  18194  curfcl  18198  uncf1  18202  uncf2  18203  curfuncf  18204  uncfcurf  18205  diag1cl  18208  curf2ndf  18213  yon1cl  18229  oyon1cl  18237  yonedalem3a  18240  yonedalem4c  18243  yonedalem3b  18245  yonedalem3  18246  yonedainv  18247  yonffthlem  18248  yoniso  18251  func0g  49564  funchomf  49572  cofidf2a  49592  cofidf1a  49593  cofidf1  49596  imasubc  49626  imassc  49628  imaid  49629  imasubc3  49631  upciclem2  49642  upciclem3  49643  upeu2  49647  uppropd  49656  oppcup  49682  uptrlem1  49685  uptrlem3  49687  uptrar  49691  natoppf  49704  diag1  49779  diag1f1  49782  fuco111x  49806  fuco11idx  49810  fuco22natlem1  49817  fuco22natlem2  49818  fuco22natlem3  49819  fuco22natlem  49820  fucoid  49823  fuco23alem  49826  fucocolem1  49828  fucocolem2  49829  fucocolem3  49830  fucocolem4  49831  fucoco  49832  fucolid  49836  fucorid  49837  fucorid2  49838  precofvallem  49841  precofvalALT  49843  precofval2  49844  prcof22a  49867  prcofdiag1  49868  prcofdiag  49869  fucoppcco  49884  oppfdiag1  49889  oppfdiag  49891  functhincfun  49924  fullthinc  49925  thincciso2  49930  functermc  49983  fulltermc  49986  termcfuncval  50007  funcsn  50016  uobeqterm  50021  concom  50138  coccom  50139