Theorem funcf1 17790

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17787	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932   ↑_m cmap 8763  Xcixp 8835  Basecbs 17136  Hom chom 17188  compcco 17189  Catccat 17587  Idccid 17588   Func cfunc 17778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-ixp 8836  df-func 17782

This theorem is referenced by:  funcsect  17796  funcinv  17797  funciso  17798  funcoppc  17799  cofu1  17808  cofucl  17812  cofuass  17813  cofulid  17814  cofurid  17815  funcres  17820  funcres2  17822  wunfunc  17825  funcres2c  17827  fullpropd  17846  fthsect  17851  fthinv  17852  fthmon  17853  ffthiso  17855  cofull  17860  cofth  17861  fuccocl  17891  fucidcl  17892  fuclid  17893  fucrid  17894  fucass  17895  fucsect  17899  fucinv  17900  invfuc  17901  fuciso  17902  natpropd  17903  fucpropd  17904  catciso  18035  prfval  18122  prfcl  18126  prf1st  18127  prf2nd  18128  1st2ndprf  18129  evlfcllem  18144  evlfcl  18145  curf1cl  18151  curfcl  18155  uncf1  18159  uncf2  18160  curfuncf  18161  uncfcurf  18162  diag1cl  18165  curf2ndf  18170  yon1cl  18186  oyon1cl  18194  yonedalem3a  18197  yonedalem4c  18200  yonedalem3b  18202  yonedalem3  18203  yonedainv  18204  yonffthlem  18205  yoniso  18208  func0g  49330  funchomf  49338  cofidf2a  49358  cofidf1a  49359  cofidf1  49362  imasubc  49392  imassc  49394  imaid  49395  imasubc3  49397  upciclem2  49408  upciclem3  49409  upeu2  49413  uppropd  49422  oppcup  49448  uptrlem1  49451  uptrlem3  49453  uptrar  49457  natoppf  49470  diag1  49545  diag1f1  49548  fuco111x  49572  fuco11idx  49576  fuco22natlem1  49583  fuco22natlem2  49584  fuco22natlem3  49585  fuco22natlem  49586  fucoid  49589  fuco23alem  49592  fucocolem1  49594  fucocolem2  49595  fucocolem3  49596  fucocolem4  49597  fucoco  49598  fucolid  49602  fucorid  49603  fucorid2  49604  precofvallem  49607  precofvalALT  49609  precofval2  49610  prcof22a  49633  prcofdiag1  49634  prcofdiag  49635  fucoppcco  49650  oppfdiag1  49655  oppfdiag  49657  functhincfun  49690  fullthinc  49691  thincciso2  49696  functermc  49749  fulltermc  49752  termcfuncval  49773  funcsn  49782  uobeqterm  49787  concom  49904  coccom  49905