Theorem funcf1 17775

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17772	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1^st c1st 7925  2^nd c2nd 7926   ↑_m cmap 8756  Xcixp 8827  Basecbs 17122  Hom chom 17174  compcco 17175  Catccat 17572  Idccid 17573   Func cfunc 17763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8758  df-ixp 8828  df-func 17767

This theorem is referenced by:  funcsect  17781  funcinv  17782  funciso  17783  funcoppc  17784  cofu1  17793  cofucl  17797  cofuass  17798  cofulid  17799  cofurid  17800  funcres  17805  funcres2  17807  wunfunc  17810  funcres2c  17812  fullpropd  17831  fthsect  17836  fthinv  17837  fthmon  17838  ffthiso  17840  cofull  17845  cofth  17846  fuccocl  17876  fucidcl  17877  fuclid  17878  fucrid  17879  fucass  17880  fucsect  17884  fucinv  17885  invfuc  17886  fuciso  17887  natpropd  17888  fucpropd  17889  catciso  18020  prfval  18107  prfcl  18111  prf1st  18112  prf2nd  18113  1st2ndprf  18114  evlfcllem  18129  evlfcl  18130  curf1cl  18136  curfcl  18140  uncf1  18144  uncf2  18145  curfuncf  18146  uncfcurf  18147  diag1cl  18150  curf2ndf  18155  yon1cl  18171  oyon1cl  18179  yonedalem3a  18182  yonedalem4c  18185  yonedalem3b  18187  yonedalem3  18188  yonedainv  18189  yonffthlem  18190  yoniso  18193  func0g  49215  funchomf  49223  cofidf2a  49243  cofidf1a  49244  cofidf1  49247  imasubc  49277  imassc  49279  imaid  49280  imasubc3  49282  upciclem2  49293  upciclem3  49294  upeu2  49298  uppropd  49307  oppcup  49333  uptrlem1  49336  uptrlem3  49338  uptrar  49342  natoppf  49355  diag1  49430  diag1f1  49433  fuco111x  49457  fuco11idx  49461  fuco22natlem1  49468  fuco22natlem2  49469  fuco22natlem3  49470  fuco22natlem  49471  fucoid  49474  fuco23alem  49477  fucocolem1  49479  fucocolem2  49480  fucocolem3  49481  fucocolem4  49482  fucoco  49483  fucolid  49487  fucorid  49488  fucorid2  49489  precofvallem  49492  precofvalALT  49494  precofval2  49495  prcof22a  49518  prcofdiag1  49519  prcofdiag  49520  fucoppcco  49535  oppfdiag1  49540  oppfdiag  49542  functhincfun  49575  fullthinc  49576  thincciso2  49581  functermc  49634  fulltermc  49637  termcfuncval  49658  funcsn  49667  uobeqterm  49672  concom  49789  coccom  49790