Theorem funcf1 18046

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 18043	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 18044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000   ↑_m cmap 8850  Xcixp 8928  Basecbs 17392  Hom chom 17444  compcco 17445  Catccat 17843  Idccid 17844   Func cfunc 18034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-ixp 8929  df-func 18038

This theorem is used by:  funcsect  18052  funcinv  18053  funciso  18054  funcoppc  18055  cofu1  18064  cofucl  18068  cofuass  18069  cofulid  18070  cofurid  18071  funcres  18076  funcres2  18078  wunfunc  18081  funcres2c  18083  fullpropd  18102  fthsect  18107  fthinv  18108  fthmon  18109  ffthiso  18111  cofull  18116  cofth  18117  fuccocl  18147  fucidcl  18148  fuclid  18149  fucrid  18150  fucass  18151  fucsect  18155  fucinv  18156  invfuc  18157  fuciso  18158  natpropd  18159  fucpropd  18160  catciso  18291  prfval  18378  prfcl  18382  prf1st  18383  prf2nd  18384  1st2ndprf  18385  evlfcllem  18400  evlfcl  18401  curf1cl  18407  curfcl  18411  uncf1  18415  uncf2  18416  curfuncf  18417  uncfcurf  18418  diag1cl  18421  curf2ndf  18426  yon1cl  18442  oyon1cl  18450  yonedalem3a  18453  yonedalem4c  18456  yonedalem3b  18458  yonedalem3  18459  yonedainv  18460  yonffthlem  18461  yoniso  18464  func0g  50297  cofu1stfix  50305  funchomf  50306  cofidf2a  50326  cofidf1a  50327  cofidf1  50330  imasubc  50360  imassc  50362  imaid  50363  imasubc3  50365  upciclem2  50376  upciclem3  50377  upeu2  50381  uppropd  50390  oppcup  50416  uptrlem1  50419  uptrlem3  50421  uptrar  50425  natideq  50438  natoppf  50444  diag1  50519  diag1f1  50522  fuco111x  50546  fuco11idx  50550  fuco22natlem1  50557  fuco22natlem2  50558  fuco22natlem3  50559  fuco22natlem  50560  fucoid  50563  fuco23alem  50566  fucocolem1  50568  fucocolem2  50569  fucocolem3  50570  fucocolem4  50571  fucoco  50572  fucolid  50576  fucorid  50577  fucorid2  50578  precofvallem  50594  precofvalALT  50596  precofval2  50597  prcof22a  50620  prcofdiag1  50621  prcofdiag  50622  fucoppcco  50637  oppfdiag1  50642  oppfdiag  50644  functhincfun  50677  fullthinc  50678  thincciso2  50683  functermc  50736  fulltermc  50739  termcfuncval  50760  termccofix  50764  funcsn  50772  uobeqterm  50777  concom  50939  coccom  50940