Theorem funcf1 17924

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17921	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986   ↑_m cmap 8825  Xcixp 8896  Basecbs 17270  Hom chom 17322  compcco 17323  Catccat 17721  Idccid 17722   Func cfunc 17912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8827  df-ixp 8897  df-func 17916

This theorem is referenced by:  funcsect  17930  funcinv  17931  funciso  17932  funcoppc  17933  cofu1  17942  cofucl  17946  cofuass  17947  cofulid  17948  cofurid  17949  funcres  17954  funcres2  17956  wunfunc  17959  funcres2c  17961  fullpropd  17980  fthsect  17985  fthinv  17986  fthmon  17987  ffthiso  17989  cofull  17994  cofth  17995  fuccocl  18025  fucidcl  18026  fuclid  18027  fucrid  18028  fucass  18029  fucsect  18033  fucinv  18034  invfuc  18035  fuciso  18036  natpropd  18037  fucpropd  18038  catciso  18169  prfval  18256  prfcl  18260  prf1st  18261  prf2nd  18262  1st2ndprf  18263  evlfcllem  18278  evlfcl  18279  curf1cl  18285  curfcl  18289  uncf1  18293  uncf2  18294  curfuncf  18295  uncfcurf  18296  diag1cl  18299  curf2ndf  18304  yon1cl  18320  oyon1cl  18328  yonedalem3a  18331  yonedalem4c  18334  yonedalem3b  18336  yonedalem3  18337  yonedainv  18338  yonffthlem  18339  yoniso  18342  func0g  49844  funchomf  49852  cofidf2a  49872  cofidf1a  49873  cofidf1  49876  imasubc  49906  imassc  49908  imaid  49909  imasubc3  49911  upciclem2  49922  upciclem3  49923  upeu2  49927  uppropd  49936  oppcup  49962  uptrlem1  49965  uptrlem3  49967  uptrar  49971  natoppf  49984  diag1  50059  diag1f1  50062  fuco111x  50086  fuco11idx  50090  fuco22natlem1  50097  fuco22natlem2  50098  fuco22natlem3  50099  fuco22natlem  50100  fucoid  50103  fuco23alem  50106  fucocolem1  50108  fucocolem2  50109  fucocolem3  50110  fucocolem4  50111  fucoco  50112  fucolid  50116  fucorid  50117  fucorid2  50118  precofvallem  50121  precofvalALT  50123  precofval2  50124  prcof22a  50147  prcofdiag1  50148  prcofdiag  50149  fucoppcco  50164  oppfdiag1  50169  oppfdiag  50171  functhincfun  50204  fullthinc  50205  thincciso2  50210  functermc  50263  fulltermc  50266  termcfuncval  50287  funcsn  50296  uobeqterm  50301  concom  50418  coccom  50419