Theorem funcf1 17961

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funcf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2		funcf1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		funcf1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10		df-br 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11	1, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		funcrcl 17958	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
14	13	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
15	13	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 17959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
17	1, 16	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
18	17	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989   ↑_m cmap 8830  Xcixp 8908  Basecbs 17307  Hom chom 17359  compcco 17360  Catccat 17758  Idccid 17759   Func cfunc 17949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-ixp 8909  df-func 17953

This theorem is used by:  funcsect  17967  funcinv  17968  funciso  17969  funcoppc  17970  cofu1  17979  cofucl  17983  cofuass  17984  cofulid  17985  cofurid  17986  funcres  17991  funcres2  17993  wunfunc  17996  funcres2c  17998  fullpropd  18017  fthsect  18022  fthinv  18023  fthmon  18024  ffthiso  18026  cofull  18031  cofth  18032  fuccocl  18062  fucidcl  18063  fuclid  18064  fucrid  18065  fucass  18066  fucsect  18070  fucinv  18071  invfuc  18072  fuciso  18073  natpropd  18074  fucpropd  18075  catciso  18206  prfval  18293  prfcl  18297  prf1st  18298  prf2nd  18299  1st2ndprf  18300  evlfcllem  18315  evlfcl  18316  curf1cl  18322  curfcl  18326  uncf1  18330  uncf2  18331  curfuncf  18332  uncfcurf  18333  diag1cl  18336  curf2ndf  18341  yon1cl  18357  oyon1cl  18365  yonedalem3a  18368  yonedalem4c  18371  yonedalem3b  18373  yonedalem3  18374  yonedainv  18375  yonffthlem  18376  yoniso  18379  func0g  50023  funchomf  50031  cofidf2a  50051  cofidf1a  50052  cofidf1  50055  imasubc  50085  imassc  50087  imaid  50088  imasubc3  50090  upciclem2  50101  upciclem3  50102  upeu2  50106  uppropd  50115  oppcup  50141  uptrlem1  50144  uptrlem3  50146  uptrar  50150  natoppf  50163  diag1  50238  diag1f1  50241  fuco111x  50265  fuco11idx  50269  fuco22natlem1  50276  fuco22natlem2  50277  fuco22natlem3  50278  fuco22natlem  50279  fucoid  50282  fuco23alem  50285  fucocolem1  50287  fucocolem2  50288  fucocolem3  50289  fucocolem4  50290  fucoco  50291  fucolid  50295  fucorid  50296  fucorid2  50297  precofvallem  50300  precofvalALT  50302  precofval2  50303  prcof22a  50326  prcofdiag1  50327  prcofdiag  50328  fucoppcco  50343  oppfdiag1  50348  oppfdiag  50350  functhincfun  50383  fullthinc  50384  thincciso2  50389  functermc  50442  fulltermc  50445  termcfuncval  50466  funcsn  50475  uobeqterm  50480  concom  50597  coccom  50598