Theorem func0g2 49896

Description: The source category of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func0g2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		func0g.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
4		func0g2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5	4	func1st2nd 49882	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
6	1, 2, 3, 5	func0g 49895	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  Basecbs 17275   Func cfunc 17917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8824  df-ixp 8894  df-func 17921

This theorem is used by:  initc  49897  eufunc  50328