Theorem func0g2 49553

Description: The source category of a functor to the empty category must be empty as well. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
func0g.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
func0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
func0g.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
func0g2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func0g2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem func0g2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		func0g.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		func0g.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
3		func0g.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∅)
4		func0g2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5	4	func1st2nd 49539	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
6	1, 2, 3, 5	func0g 49552	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4263  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  Basecbs 17168   Func cfunc 17810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8764  df-ixp 8835  df-func 17814

This theorem is referenced by:  initc  49554  eufunc  49985