MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funressn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funressn 6974
Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
funressn (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn
StepHypRef Expression
1 funfn 6410 . . . 4 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 fnressn 6973 . . . 4 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
31, 2sylanb 584 . . 3 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
4 eqimss 3957 . . 3 ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
53, 4syl 17 . 2 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
6 disjsn 4627 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7 fnresdisj 6497 . . . . . 6 (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
81, 7sylbi 220 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
96, 8bitr3id 288 . . . 4 (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
109biimpa 480 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11 0ss 4311 . . 3 ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}
1210, 11eqsstrdi 3955 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
135, 12pm2.61dan 813 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cin 3865  wss 3866  c0 4237  {csn 4541  cop 4547  dom cdm 5551  cres 5553  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  cfv 6380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388
This theorem is referenced by:  fnsnr  6980  tfrlem16  8129  fnfi  8858  fodomfi  8949
  Copyright terms: Public domain W3C validator