Theorem funressn 7179

Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funressn	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6596	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7178	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
3	1, 2	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
4		eqimss 4042	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
6		disjsn 4711	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7		fnresdisj 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
8	1, 7	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
9	6, 8	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
10	9	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11		0ss 4400	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}
12	10, 11	eqsstrdi 4028	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
13	5, 12	pm2.61dan 813	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ⟨cop 4632  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  fnsnr  7185  tfrlem16  8433  fnfi  9218  fodomfi  9350  fodomfiOLD  9370