MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funressn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funressn 7179
Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
funressn (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn
StepHypRef Expression
1 funfn 6598 . . . 4 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 fnressn 7178 . . . 4 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
31, 2sylanb 581 . . 3 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
4 eqimss 4054 . . 3 ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
53, 4syl 17 . 2 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
6 disjsn 4716 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7 fnresdisj 6689 . . . . . 6 (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
81, 7sylbi 217 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
96, 8bitr3id 285 . . . 4 (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
109biimpa 476 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11 0ss 4406 . . 3 ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}
1210, 11eqsstrdi 4050 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
135, 12pm2.61dan 813 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  dom cdm 5689  cres 5691  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  fnsnr  7185  tfrlem16  8432  fnfi  9216  fodomfi  9348  fodomfiOLD  9368
  Copyright terms: Public domain W3C validator