Theorem funressn 7113

Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funressn	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6530	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7112	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
3	1, 2	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
4		eqimss 4002	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
6		disjsn 4671	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7		fnresdisj 6620	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
8	1, 7	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
9	6, 8	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
10	9	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11		0ss 4359	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}
12	10, 11	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
13	5, 12	pm2.61dan 812	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  fnsnr  7119  tfrlem16  8338  fnfi  9119  fodomfi  9237  fodomfiOLD  9257