Theorem funressn 7142

Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funressn	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6551	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7141	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
3	1, 2	sylanb 590	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
4		eqimss 3994	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
6		disjsn 4670	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7		fnresdisj 6641	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
8	1, 7	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
9	6, 8	bitr3id 287	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
10	9	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11		0ss 4354	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}
12	10, 11	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
13	5, 12	pm2.61dan 822	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582  ⟨cop 4588  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  fnsnr  7147  tfrlem16  8364  fnfi  9146  fodomfi  9256