Theorem funressn 7149

Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funressn	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6566	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7148	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
3	1, 2	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
4		eqimss 4017	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
6		disjsn 4687	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7		fnresdisj 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
8	1, 7	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
9	6, 8	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
10	9	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11		0ss 4375	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}
12	10, 11	eqsstrdi 4003	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})
13	5, 12	pm2.61dan 812	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ⟨cop 4607  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539

This theorem is referenced by:  fnsnr  7155  tfrlem16  8407  fnfi  9192  fodomfi  9322  fodomfiOLD  9342