Theorem fvelimabd 6951

Description: Deduction form of fvelimab 6950. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvelimabd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fvelimabd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvelimabd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fvelimabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvelimabd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fvelimabd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		fvelimab 6950	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541

This theorem is used by:  unima  6953  resf1extb  7931  swrdrn3  14722  ghmqusnsglem1  19407  ghmquskerlem1  19410  lmhmima  21231  mdegldg  26291  ig1peu  26400  2ndimaxp  33119  fnpreimac  33143  fsuppcurry1  33195  fsuppcurry2  33196  esplyfv1  34079  esplyfv  34080  esplyfval3  34082  fnrelpredd  35596  bj-gabima  37684  extoimad  45004  upgrimpths  48825