MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegldg 25431
Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdegldg.y 𝑌 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25428 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
95, 6tdeglem1 25420 . . . . . . 7 𝐻:𝐴⟶ℕ0
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1110ffund 6672 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → Fun 𝐻)
12 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝐵)
13 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
142, 3, 4, 12, 13mplelsfi 21401 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9312 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 imafi 9119 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1711, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
18 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝑌)
19 mdegldg.y . . . . . . . 8 𝑌 = (0g𝑃)
202, 3mplrcl 21400 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
21203ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐼 ∈ V)
22 ringgrp 19969 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
242, 5, 4, 19, 21, 23mpl0 21412 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
2518, 24neeqtrd 3013 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
26 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
272, 26, 3, 5, 12mplelf 21404 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
2827ffnd 6669 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
294fvexi 6856 . . . . . . . 8 0 ∈ V
30 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
315, 30rabex2 5291 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
32 fnsuppeq0 8123 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3331, 32mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3428, 29, 33sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3534necon3bid 2988 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
3625, 35mpbird 256 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
3710ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
38 suppssdm 8108 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
3938, 27fssdm 6688 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
40 fnimaeq0 6634 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4241necon3bid 2988 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
4336, 42mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
44 imassrn 6024 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
4510frnd 6676 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
4644, 45sstrid 3955 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
47 nn0ssre 12417 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
48 ressxr 11199 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
4947, 48sstri 3953 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
5046, 49sstrdi 3956 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
51 xrltso 13060 . . . . 5 < Or ℝ*
52 fisupcl 9405 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5351, 52mpan 688 . . . 4 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5417, 43, 50, 53syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
558, 54eqeltrd 2838 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5637, 39fvelimabd 6915 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
57 rexsupp 8113 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
5831, 29, 57mp3an23 1453 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
5928, 58syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6056, 59bitrd 278 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6155, 60mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cmpt 5188   Or wor 5544   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  fldccnfld 20796   mPoly cmpl 21308   mDeg cmdg 25415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-cnfld 20797  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-mdeg 25417
This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  25436  deg1ldg  25457
  Copyright terms: Public domain W3C validator