MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegldg 25952
Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdegldg.y π‘Œ = (0gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐻   β„Ž,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯, 0   β„Ž,π‘š   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(π‘₯,β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝐼(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯,β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25949 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
95, 6tdeglem1 25941 . . . . . . 7 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
1110ffund 6714 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ Fun 𝐻)
12 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
142, 3, 4, 12, 13mplelsfi 21891 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 imafi 9174 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1711, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
18 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 β‰  π‘Œ)
19 mdegldg.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (0gβ€˜π‘ƒ)
202, 3mplrcl 21890 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
21203ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐼 ∈ V)
22 ringgrp 20140 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
242, 5, 4, 19, 21, 23mpl0 21902 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐴 Γ— { 0 }))
2518, 24neeqtrd 3004 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 β‰  (𝐴 Γ— { 0 }))
26 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
272, 26, 3, 5, 12mplelf 21894 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6711 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
294fvexi 6898 . . . . . . . 8 0 ∈ V
30 ovex 7437 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
315, 30rabex2 5327 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
32 fnsuppeq0 8174 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3331, 32mp3an2 1445 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3428, 29, 33sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3534necon3bid 2979 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ… ↔ 𝐹 β‰  (𝐴 Γ— { 0 })))
3625, 35mpbird 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ…)
3710ffnd 6711 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
38 suppssdm 8159 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
3938, 27fssdm 6730 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
40 fnimaeq0 6676 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) = βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) = βˆ…))
4137, 39, 40syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) = βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) = βˆ…))
4241necon3bid 2979 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ…))
4336, 42mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ…)
44 imassrn 6063 . . . . . 6 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
4510frnd 6718 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
4644, 45sstrid 3988 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† β„•0)
47 nn0ssre 12477 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
48 ressxr 11259 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ*
4947, 48sstri 3986 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ*
5046, 49sstrdi 3989 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
51 xrltso 13123 . . . . 5 < Or ℝ*
52 fisupcl 9463 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5351, 52mpan 687 . . . 4 (((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5417, 43, 50, 53syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
558, 54eqeltrd 2827 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5637, 39fvelimabd 6958 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
57 rexsupp 8164 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
5831, 29, 57mp3an23 1449 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
5928, 58syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
6056, 59bitrd 279 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
6155, 60mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Or wor 5580   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   supp csupp 8143   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„cr 11108  β„*cxr 11248   < clt 11249  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Grpcgrp 18860  Ringcrg 20135  β„‚fldccnfld 21235   mPoly cmpl 21795   mDeg cmdg 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-cnfld 21236  df-psr 21798  df-mpl 21800  df-mdeg 25938
This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  25957  deg1ldg  25978
  Copyright terms: Public domain W3C validator