MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegldg 26119
Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdegldg.y 𝑌 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 26116 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
95, 6tdeglem1 26111 . . . . . . 7 𝐻:𝐴⟶ℕ0
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1110ffund 6740 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → Fun 𝐻)
12 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝐵)
132, 3, 4, 12mplelsfi 22032 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
1413fsuppimpd 9406 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
15 imafi 9350 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1611, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
17 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝑌)
18 mdegldg.y . . . . . . . 8 𝑌 = (0g𝑃)
192, 3mplrcl 22031 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
20193ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐼 ∈ V)
21 ringgrp 20255 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
232, 5, 4, 18, 20, 22mpl0 22043 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
2417, 23neeqtrd 3007 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
25 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
262, 25, 3, 5, 12mplelf 22035 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
2726ffnd 6737 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
284fvexi 6920 . . . . . . . 8 0 ∈ V
29 ovex 7463 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
305, 29rabex2 5346 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
31 fnsuppeq0 8215 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3230, 31mp3an2 1448 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3327, 28, 32sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3433necon3bid 2982 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
3524, 34mpbird 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
3610ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
37 suppssdm 8200 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
3837, 26fssdm 6755 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
39 fnimaeq0 6701 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4140necon3bid 2982 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
4235, 41mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
43 imassrn 6090 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
4410frnd 6744 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
4543, 44sstrid 4006 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
46 nn0ssre 12527 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
47 ressxr 11302 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
4846, 47sstri 4004 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
4945, 48sstrdi 4007 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
50 xrltso 13179 . . . . 5 < Or ℝ*
51 fisupcl 9506 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5250, 51mpan 690 . . . 4 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5316, 42, 49, 52syl3anc 1370 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
548, 53eqeltrd 2838 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5536, 38fvelimabd 6981 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
56 rexsupp 8205 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
5730, 28, 56mp3an23 1452 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
5827, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
5955, 58bitrd 279 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6054, 59mpbid 232 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cmpt 5230   Or wor 5595   × cxp 5686  ccnv 5687  ran crn 5689  cima 5691  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  cr 11151  *cxr 11291   < clt 11292  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Grpcgrp 18963  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mDeg cmdg 26106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-mdeg 26108
This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  26124  deg1ldg  26145
  Copyright terms: Public domain W3C validator