Theorem mdegldg 25952

Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdegldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 25949	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	5, 6	tdeglem1 25944	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
11	10	ffund 6650	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → Fun 𝐻)
12		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	2, 3, 4, 12	mplelsfi 21886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
14	13	fsuppimpd 9247	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
15		imafi 9193	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
16	11, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
17		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ 𝑌)
18		mdegldg.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
19	2, 3	mplrcl 21885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ V)
21		ringgrp 20110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
23	2, 5, 4, 18, 20, 22	mpl0 21897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
24	17, 23	neeqtrd 2994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
25		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	2, 25, 3, 5, 12	mplelf 21889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
27	26	ffnd 6647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
28	4	fvexi 6830	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
29		ovex 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
30	5, 29	rabex2 5276	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
31		fnsuppeq0 8116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
32	30, 31	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
33	27, 28, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
34	33	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
35	24, 34	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
36	10	ffnd 6647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
37		suppssdm 8101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
38	37, 26	fssdm 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
39		fnimaeq0 6609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
40	36, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
41	40	necon3bid 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
42	35, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
43		imassrn 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
44	10	frnd 6654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
45	43, 44	sstrid 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
46		nn0ssre 12376	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
47		ressxr 11147	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
48	46, 47	sstri 3941	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
49	45, 48	sstrdi 3944	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
50		xrltso 13031	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
51		fisupcl 9348	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
52	50, 51	mpan 690	. . . 4 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
53	16, 42, 49, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
54	8, 53	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
55	36, 38	fvelimabd 6889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))
56		rexsupp 8106	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
57	30, 28, 56	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
58	27, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
59	55, 58	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
60	54, 59	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3392  Vcvv 3433   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {csn 4573   ↦ cmpt 5169   Or wor 5520   × cxp 5611  ^◡ccnv 5612  ran crn 5614   “ cima 5616  Fun wfun 6470   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   supp csupp 8084   ↑_m cmap 8744  Fincfn 8863  supcsup 9318  ℝcr 10996  ℝ^*cxr 11136   < clt 11137  ℕcn 12116  ℕ₀cn0 12372  Basecbs 17107  0_gc0g 17330   Σ_g cgsu 17331  Grpcgrp 18799  Ringcrg 20105  ℂ_fldccnfld 21245   mPoly cmpl 21797   mDeg cmdg 25939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-addf 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-sup 9320  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-hash 14226  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-prds 17338  df-pws 17340  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-subg 18989  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-ur 20054  df-ring 20107  df-cring 20108  df-cnfld 21246  df-psr 21800  df-mpl 21802  df-mdeg 25941

This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  25957  deg1ldg  25978