MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegldg 25575
Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdegldg.y π‘Œ = (0gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐻   β„Ž,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯, 0   β„Ž,π‘š   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(π‘₯,β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝐼(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯,β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25572 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
95, 6tdeglem1 25564 . . . . . . 7 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
1110ffund 6718 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ Fun 𝐻)
12 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
142, 3, 4, 12, 13mplelsfi 21545 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9365 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 imafi 9171 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1711, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
18 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 β‰  π‘Œ)
19 mdegldg.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (0gβ€˜π‘ƒ)
202, 3mplrcl 21544 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
21203ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐼 ∈ V)
22 ringgrp 20054 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
242, 5, 4, 19, 21, 23mpl0 21556 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐴 Γ— { 0 }))
2518, 24neeqtrd 3010 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 β‰  (𝐴 Γ— { 0 }))
26 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
272, 26, 3, 5, 12mplelf 21548 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6715 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
294fvexi 6902 . . . . . . . 8 0 ∈ V
30 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
315, 30rabex2 5333 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
32 fnsuppeq0 8173 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3331, 32mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3428, 29, 33sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3534necon3bid 2985 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ… ↔ 𝐹 β‰  (𝐴 Γ— { 0 })))
3625, 35mpbird 256 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ…)
3710ffnd 6715 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
38 suppssdm 8158 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
3938, 27fssdm 6734 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
40 fnimaeq0 6680 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) = βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) = βˆ…))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) = βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) = βˆ…))
4241necon3bid 2985 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ…))
4336, 42mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ…)
44 imassrn 6068 . . . . . 6 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
4510frnd 6722 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
4644, 45sstrid 3992 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† β„•0)
47 nn0ssre 12472 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
48 ressxr 11254 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ*
4947, 48sstri 3990 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ*
5046, 49sstrdi 3993 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
51 xrltso 13116 . . . . 5 < Or ℝ*
52 fisupcl 9460 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5351, 52mpan 688 . . . 4 (((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5417, 43, 50, 53syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
558, 54eqeltrd 2833 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5637, 39fvelimabd 6962 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
57 rexsupp 8163 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
5831, 29, 57mp3an23 1453 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
5928, 58syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
6056, 59bitrd 278 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
6155, 60mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  supcsup 9431  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  β„‚fldccnfld 20936   mPoly cmpl 21450   mDeg cmdg 25559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-cnfld 20937  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-mdeg 25561
This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  25580  deg1ldg  25601
  Copyright terms: Public domain W3C validator