MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegldg 26022
Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdegldg.y π‘Œ = (0gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐻   β„Ž,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯, 0   β„Ž,π‘š   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(π‘₯,β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝐼(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯,β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 26019 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
95, 6tdeglem1 26011 . . . . . . 7 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
1110ffund 6731 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ Fun 𝐻)
12 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
142, 3, 4, 12, 13mplelsfi 21944 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9401 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 imafi 9206 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1711, 15, 16syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
18 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 β‰  π‘Œ)
19 mdegldg.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (0gβ€˜π‘ƒ)
202, 3mplrcl 21943 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
21203ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐼 ∈ V)
22 ringgrp 20185 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
242, 5, 4, 19, 21, 23mpl0 21955 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐴 Γ— { 0 }))
2518, 24neeqtrd 3007 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 β‰  (𝐴 Γ— { 0 }))
26 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
272, 26, 3, 5, 12mplelf 21947 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6728 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
294fvexi 6916 . . . . . . . 8 0 ∈ V
30 ovex 7459 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
315, 30rabex2 5340 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
32 fnsuppeq0 8203 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3331, 32mp3an2 1445 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3428, 29, 33sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 supp 0 ) = βˆ… ↔ 𝐹 = (𝐴 Γ— { 0 })))
3534necon3bid 2982 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ… ↔ 𝐹 β‰  (𝐴 Γ— { 0 })))
3625, 35mpbird 256 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ…)
3710ffnd 6728 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
38 suppssdm 8188 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
3938, 27fssdm 6747 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
40 fnimaeq0 6693 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) = βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) = βˆ…))
4137, 39, 40syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) = βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) = βˆ…))
4241necon3bid 2982 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ↔ (𝐹 supp 0 ) β‰  βˆ…))
4336, 42mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ…)
44 imassrn 6079 . . . . . 6 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
4510frnd 6735 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
4644, 45sstrid 3993 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† β„•0)
47 nn0ssre 12514 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
48 ressxr 11296 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ*
4947, 48sstri 3991 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ*
5046, 49sstrdi 3994 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
51 xrltso 13160 . . . . 5 < Or ℝ*
52 fisupcl 9500 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5351, 52mpan 688 . . . 4 (((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) β‰  βˆ… ∧ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5417, 43, 50, 53syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
558, 54eqeltrd 2829 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )))
5637, 39fvelimabd 6977 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
57 rexsupp 8193 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
5831, 29, 57mp3an23 1449 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
5928, 58syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐹 supp 0 )(π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
6056, 59bitrd 278 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ))))
6155, 60mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π»β€˜π‘₯) = (π·β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Or wor 5593   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   supp csupp 8171   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  supcsup 9471  β„cr 11145  β„*cxr 11285   < clt 11286  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Grpcgrp 18897  Ringcrg 20180  β„‚fldccnfld 21286   mPoly cmpl 21846   mDeg cmdg 26006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-cnfld 21287  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-mdeg 26008
This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  26027  deg1ldg  26048
  Copyright terms: Public domain W3C validator