Theorem mdegldg 26039

Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdegldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26036	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	5, 6	tdeglem1 26031	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
11	10	ffund 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → Fun 𝐻)
12		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	2, 3, 4, 12	mplelsfi 21962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
14	13	fsuppimpd 9284	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
15		imafi 9227	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
16	11, 14, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
17		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ 𝑌)
18		mdegldg.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
19	2, 3	mplrcl 21961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ V)
21		ringgrp 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
23	2, 5, 4, 18, 20, 22	mpl0 21973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
24	17, 23	neeqtrd 3002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
25		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	2, 25, 3, 5, 12	mplelf 21965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
27	26	ffnd 6671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
28	4	fvexi 6856	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
29		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
30	5, 29	rabex2 5288	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
31		fnsuppeq0 8144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
32	30, 31	mp3an2 1452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
33	27, 28, 32	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
34	33	necon3bid 2977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
35	24, 34	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
36	10	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
37		suppssdm 8129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
38	37, 26	fssdm 6689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
39		fnimaeq0 6633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
40	36, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
41	40	necon3bid 2977	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
42	35, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
43		imassrn 6038	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
44	10	frnd 6678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
45	43, 44	sstrid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
46		nn0ssre 12417	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
47		ressxr 11188	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
48	46, 47	sstri 3945	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
49	45, 48	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
50		xrltso 13067	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
51		fisupcl 9385	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
52	50, 51	mpan 691	. . . 4 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
53	16, 42, 49, 52	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
54	8, 53	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
55	36, 38	fvelimabd 6915	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))
56		rexsupp 8134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
57	30, 28, 56	mp3an23 1456	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
58	27, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
59	55, 58	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
60	54, 59	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   Or wor 5539   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633   “ cima 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   supp csupp 8112   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  supcsup 9355  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Grpcgrp 18875  Ringcrg 20180  ℂ_fldccnfld 21321   mPoly cmpl 21874   mDeg cmdg 26026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-cnfld 21322  df-psr 21877  df-mpl 21879  df-mdeg 26028

This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  26044  deg1ldg  26065