Theorem mdegldg 25231

Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdegldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 25228	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	5, 6	tdeglem1 25220	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
11	10	ffund 6604	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → Fun 𝐻)
12		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
14	2, 3, 4, 12, 13	mplelsfi 21201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	fsuppimpd 9135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16		imafi 8958	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
18		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ 𝑌)
19		mdegldg.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
20	2, 3	mplrcl 21200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
21	20	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ V)
22		ringgrp 19788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
24	2, 5, 4, 19, 21, 23	mpl0 21212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
25	18, 24	neeqtrd 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
26		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	2, 26, 3, 5, 12	mplelf 21204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
28	27	ffnd 6601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
29	4	fvexi 6788	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
30		ovex 7308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
31	5, 30	rabex2 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
32		fnsuppeq0 8008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
33	31, 32	mp3an2 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
34	28, 29, 33	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
35	34	necon3bid 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
36	25, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
37	10	ffnd 6601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
38		suppssdm 7993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
39	38, 27	fssdm 6620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
40		fnimaeq0 6566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
42	41	necon3bid 2988	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
43	36, 42	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
44		imassrn 5980	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
45	10	frnd 6608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
46	44, 45	sstrid 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
47		nn0ssre 12237	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
48		ressxr 11019	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
49	47, 48	sstri 3930	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
50	46, 49	sstrdi 3933	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
51		xrltso 12875	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
52		fisupcl 9228	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
53	51, 52	mpan 687	. . . 4 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
54	17, 43, 50, 53	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
55	8, 54	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
56	37, 39	fvelimabd 6842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))
57		rexsupp 7998	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
58	31, 29, 57	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
59	28, 58	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
60	56, 59	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
61	55, 60	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   Or wor 5502   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   “ cima 5592  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  supcsup 9199  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Grpcgrp 18577  Ringcrg 19783  ℂ_fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mDeg cmdg 25215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-cnfld 20598  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-mdeg 25217

This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  25236  deg1ldg  25257