Theorem mdegldg 25229

Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdegldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegldg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ℎ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ℎ,𝑚   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mdegval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdegval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		mdegval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 25226	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
8	7	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
9	5, 6	tdeglem1 25218	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
11	10	ffund 6602	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → Fun 𝐻)
12		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ∈ 𝐵)
13		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
14	2, 3, 4, 12, 13	mplelsfi 21199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	fsuppimpd 9113	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16		imafi 8940	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
18		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ 𝑌)
19		mdegldg.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
20	2, 3	mplrcl 21198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
21	20	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ V)
22		ringgrp 19786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
24	2, 5, 4, 19, 21, 23	mpl0 21210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
25	18, 24	neeqtrd 3015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
26		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	2, 26, 3, 5, 12	mplelf 21202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
28	27	ffnd 6599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
29	4	fvexi 6785	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
30		ovex 7304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
31	5, 30	rabex2 5262	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
32		fnsuppeq0 7999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
33	31, 32	mp3an2 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
34	28, 29, 33	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
35	34	necon3bid 2990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
36	25, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
37	10	ffnd 6599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
38		suppssdm 7984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
39	38, 27	fssdm 6618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
40		fnimaeq0 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
42	41	necon3bid 2990	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
43	36, 42	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
44		imassrn 5979	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
45	10	frnd 6606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
46	44, 45	sstrid 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
47		nn0ssre 12237	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
48		ressxr 11020	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
49	47, 48	sstri 3935	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
50	46, 49	sstrdi 3938	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
51		xrltso 12874	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
52		fisupcl 9206	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
53	51, 52	mpan 687	. . . 4 ⊢ (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
54	17, 43, 50, 53	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
55	8, 54	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
56	37, 39	fvelimabd 6839	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))
57		rexsupp 7989	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
58	31, 29, 57	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
59	28, 58	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
60	56, 59	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹))))
61	55, 60	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∃wrex 3067  {crab 3070  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  {csn 4567   ↦ cmpt 5162   Or wor 5503   × cxp 5588  ^◡ccnv 5589  ran crn 5591   “ cima 5593  Fun wfun 6426   Fn wfn 6427  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   supp csupp 7968   ↑_m cmap 8598  Fincfn 8716  supcsup 9177  ℝcr 10871  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16910  0_gc0g 17148   Σ_g cgsu 17149  Grpcgrp 18575  Ringcrg 19781  ℂ_fldccnfld 20595   mPoly cmpl 21107   mDeg cmdg 25213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-cnfld 20596  df-psr 21110  df-mpl 21112  df-mdeg 25215

This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  25234  deg1ldg  25255