Theorem ghmquskerlem1 19323

Description: Lemma for ghmqusker 19327. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmquskerlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ghmquskerlem1	⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝑋,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusker.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
2		imaeq2 6085	. . . 4 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) → (𝐹 “ 𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)))
3	2	unieqd 4944	. . 3 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) → ∪ (𝐹 “ 𝑞) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)))
4		ghmquskerlem1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
5		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V
6	5	ecelqsi 8831	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
8		ghmqusker.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
10		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
11		ovexd 7483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
12		ghmqusker.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13		ghmgrp1 19258	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	9, 10, 11, 14	qusbas 17605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
16	7, 15	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
17	12	imaexd 7956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
18	17	uniexd 7777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
19	1, 3, 16, 18	fvmptd3 7052	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)))
20		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	20, 21	ghmf 19260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
23	12, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
24	23	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
25		ghmqusker.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
26		ghmqusker.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
27	26	ghmker 19282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
28	12, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
29	25, 28	eqeltrid 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
30		nsgsubg 19198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
31		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
32	20, 31	eqger 19218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
33	29, 30, 32	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
34	33	ecss 8811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ⊆ (Base‘𝐺))
35	24, 34	fvelimabd 6995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦))
36		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = 𝑦)
37	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
38		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
39	37, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐺 ∈ Grp)
40	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
41	20, 38, 39, 40	grpinvcld 19028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
42	34	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
43		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
44		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
45	20, 43, 44	ghmlin 19261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
46	37, 41, 42, 45	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
47	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
48	20	subgss 19167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
49	29, 30, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
51		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑧 ∈ V
52		elecg 8807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧))
53	51, 52	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧))
54	53	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧)
55	4, 54	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧)
56	20, 38, 43, 31	eqgval 19217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾)))
57	56	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾))
58	57	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾)
59	39, 50, 55, 58	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾)
60	59, 25	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
61		fniniseg 7093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝐺) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )))
62	61	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
63	47, 60, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
64	63	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )
65	46, 64	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = 0 )
66	65	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ))
67		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
68	20, 38, 67	ghminv 19263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
69	37, 40, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
70	69	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = (((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
71	70	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))))
72		ghmgrp2 19259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
73	37, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐻 ∈ Grp)
74	37, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
75	74, 40	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
76	74, 42	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
77	21, 44, 67	grpasscan1 19041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
78	73, 75, 76, 77	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
79	71, 78	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
80	21, 44, 26	grprid 19008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
81	73, 75, 80	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
82	66, 79, 81	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
84	36, 83	eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
85	84	r19.29an 3164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
86		ecref 8808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾))
87	33, 4, 86	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾))
89		fveqeq2 6929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝑧 = 𝑋) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
91		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
92	91	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑦)
93	88, 90, 92	rspcedvd 3637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
94	85, 93	impbida 800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)))
95		velsn 4664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)} ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
96	94, 95	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
97	35, 96	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
98	97	eqrdv 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = {(𝐹‘𝑋)})
99	98	unieqd 4944	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = ∪ {(𝐹‘𝑋)})
100		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
101	100	unisn 4950	. . 3 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑋)} = (𝐹‘𝑋)
102	99, 101	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑋))
103	19, 102	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   Er wer 8760  [cec 8761   / cqs 8762  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499   /_s cqus 17565  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160  NrmSGrpcnsg 19161   ~_QG cqg 19162   GrpHom cghm 19252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253

This theorem is referenced by:  ghmquskerco  19324  ghmquskerlem2  19325  ghmquskerlem3  19326  ghmqusker  19327  lmhmqusker  33410  rhmquskerlem  33418