Theorem ghmquskerlem1 19324

Description: Lemma for ghmqusker 19328. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmquskerlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ghmquskerlem1	⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝑋,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusker.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
2		imaeq2 6046	. . . 4 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) → (𝐹 “ 𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)))
3	2	unieqd 4879	. . 3 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) → ∪ (𝐹 “ 𝑞) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)))
4		ghmquskerlem1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
5		ovex 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V
6	5	ecelqsi 8752	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
8		ghmqusker.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
10		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
11		ovexd 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
12		ghmqusker.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13		ghmgrp1 19259	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	9, 10, 11, 14	qusbas 17576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
16	7, 15	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
17	12	imaexd 7898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
18	17	uniexd 7726	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
19	1, 3, 16, 18	fvmptd3 7000	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)))
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	20, 21	ghmf 19261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
23	12, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
24	23	ffnd 6693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
25		ghmqusker.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
26		ghmqusker.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
27	26	ghmker 19283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
28	12, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
29	25, 28	eqeltrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
30		nsgsubg 19200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
32	20, 31	eqger 19220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
33	29, 30, 32	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
34	33	ecss 8731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ⊆ (Base‘𝐺))
35	24, 34	fvelimabd 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦))
36		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = 𝑦)
37	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
38		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
39	37, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐺 ∈ Grp)
40	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
41	20, 38, 39, 40	grpinvcld 19031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
42	34	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
43		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
45	20, 43, 44	ghmlin 19262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
46	37, 41, 42, 45	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
47	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
48	20	subgss 19170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
49	29, 30, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
51		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑧 ∈ V
52		elecg 8724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧))
53	51, 52	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧))
54	53	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧)
55	4, 54	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧)
56	20, 38, 43, 31	eqgval 19219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾)))
57	56	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾))
58	57	simp3d 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝐾)𝑧) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾)
59	39, 50, 55, 58	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐾)
60	59, 25	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
61		fniniseg 7042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝐺) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )))
62	61	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
63	47, 60, 62	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
64	63	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )
65	46, 64	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = 0 )
66	65	oveq2d 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ))
67		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
68	20, 38, 67	ghminv 19264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
69	37, 40, 68	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
70	69	oveq1d 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = (((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
71	70	oveq2d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))))
72		ghmgrp2 19260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
73	37, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐻 ∈ Grp)
74	37, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
75	74, 40	ffvelcdmd 7067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
76	74, 42	ffvelcdmd 7067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
77	21, 44, 67	grpasscan1 19044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
78	73, 75, 76, 77	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
79	71, 78	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
80	21, 44, 26	grprid 19011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
81	73, 75, 80	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
82	66, 79, 81	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
83	82	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
84	36, 83	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
85	84	r19.29an 3167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
86		ecref 8725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾))
87	33, 4, 86	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾))
88	87	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾))
89		fveqeq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
90	89	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) ∧ 𝑧 = 𝑋) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
91		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
92	91	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑦)
93	88, 90, 92	rspcedvd 3584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
94	85, 93	impbida 810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)))
95		velsn 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)} ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
96	94, 95	bitr4di 291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
97	35, 96	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
98	97	eqrdv 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = {(𝐹‘𝑋)})
99	98	unieqd 4879	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = ∪ {(𝐹‘𝑋)})
100		fvex 6881	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
101	100	unisn 4885	. . 3 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑋)} = (𝐹‘𝑋)
102	99, 101	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑋))
103	19, 102	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651   Fn wfn 6517  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   Er wer 8676  [cec 8677   / cqs 8678  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287  0_gc0g 17469   /_s cqus 17536  Grpcgrp 18976  inv_gcminusg 18977  SubGrpcsubg 19163  NrmSGrpcnsg 19164   ~_QG cqg 19165   GrpHom cghm 19254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-ec 8681  df-qs 8685  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-0g 17471  df-imas 17539  df-qus 17540  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-nsg 19167  df-eqg 19168  df-ghm 19255

This theorem is referenced by:  ghmquskerco  19325  ghmquskerlem2  19326  ghmquskerlem3  19327  ghmqusker  19328  lmhmqusker  33604  rhmquskerlem  33612