Theorem ghmqusnsglem1 19219

Description: Lemma for ghmqusnsg 19221. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusnsg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusnsg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmqusnsg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
ghmqusnsg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ghmqusnsglem1	⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐾,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑋,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝐽(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusnsg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
2		imaeq2 6030	. . . 4 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → (𝐹 “ 𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
3	2	unieqd 4887	. . 3 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → ∪ (𝐹 “ 𝑞) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
4		ghmqusnsglem1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
5		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
6	5	ecelqsi 8746	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
8		ghmqusnsg.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
10		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
11		ovexd 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
12		ghmqusnsg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13		ghmgrp1 19157	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	9, 10, 11, 14	qusbas 17515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
16	7, 15	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ (Base‘𝑄))
17	12	imaexd 7895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
18	17	uniexd 7721	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
19	1, 3, 16, 18	fvmptd3 6994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
20		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	20, 21	ghmf 19159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
23	12, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
24	23	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
25		ghmqusnsg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
26		nsgsubg 19097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
28	20, 27	eqger 19117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
29	25, 26, 28	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
30	29	ecss 8725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ⊆ (Base‘𝐺))
31	24, 30	fvelimabd 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦))
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = 𝑦)
33	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
34		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
35	33, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
36	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
37	20, 34, 35, 36	grpinvcld 18927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
38	30	sselda 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
39		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
40		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
41	20, 39, 40	ghmlin 19160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
42	33, 37, 38, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
43	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
44		ghmqusnsg.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
45		ghmqusnsg.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
46	44, 45	sseqtrdi 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ (◡𝐹 “ { 0 }))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (◡𝐹 “ { 0 }))
48	20	subgss 19066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
49	25, 26, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
51		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑧 ∈ V
52		elecg 8718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
53	51, 52	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
54	53	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
55	4, 54	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
56	20, 34, 39, 27	eqgval 19116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)))
57	56	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁))
58	57	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
59	35, 50, 55, 58	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
60	47, 59	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
61		fniniseg 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝐺) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )))
62	61	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
63	43, 60, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
64	63	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )
65	42, 64	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = 0 )
66	65	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ))
67		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
68	20, 34, 67	ghminv 19162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
69	33, 36, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
70	69	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = (((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
71	70	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))))
72		ghmgrp2 19158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
73	33, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐻 ∈ Grp)
74	33, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
75	74, 36	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
76	74, 38	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
77	21, 40, 67	grpasscan1 18940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
78	73, 75, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
79	71, 78	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
80		ghmqusnsg.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
81	21, 40, 80, 73, 75	grpridd 18909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
82	66, 79, 81	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
84	32, 83	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
85	84	r19.29an 3138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
86		fveqeq2 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
87		ecref 8719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
88	29, 4, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
90		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
91	90	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑦)
92	86, 89, 91	rspcedvdw 3594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
93	85, 92	impbida 800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)))
94		velsn 4608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)} ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
95	93, 94	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
96	31, 95	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
97	96	eqrdv 2728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = {(𝐹‘𝑋)})
98	97	unieqd 4887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = ∪ {(𝐹‘𝑋)})
99		fvex 6874	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
100	99	unisn 4893	. . 3 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑋)} = (𝐹‘𝑋)
101	98, 100	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))
102	19, 101	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   Er wer 8671  [cec 8672   / cqs 8673  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409   /_s cqus 17475  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059  NrmSGrpcnsg 19060   ~_QG cqg 19061   GrpHom cghm 19151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152

This theorem is referenced by:  ghmqusnsglem2  19220  ghmqusnsg  19221  rhmqusnsg  21202  rhmqusspan  42180