Theorem ghmqusnsglem1 19494

Description: Lemma for ghmqusnsg 19496. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusnsg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusnsg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmqusnsg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
ghmqusnsg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ghmqusnsglem1	⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐾,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑋,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝐽(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusnsg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
2		imaeq2 6047	. . . 4 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → (𝐹 “ 𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
3	2	unieqd 4879	. . 3 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → ∪ (𝐹 “ 𝑞) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
4		ghmqusnsglem1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
5		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
6	5	ecelqsi 8790	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
8		ghmqusnsg.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
10		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
11		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
12		ghmqusnsg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13		ghmgrp1 19432	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	9, 10, 11, 14	qusbas 17717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
16	7, 15	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ (Base‘𝑄))
17	12	imaexd 7928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
18	17	uniexd 7759	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
19	1, 3, 16, 18	fvmptd3 7017	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	20, 21	ghmf 19434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
23	12, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
24	23	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
25		ghmqusnsg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
26		nsgsubg 19368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
28	20, 27	eqger 19390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
29	25, 26, 28	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
30	29	ecss 8769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ⊆ (Base‘𝐺))
31	24, 30	fvelimabd 6958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦))
32		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = 𝑦)
33	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
34		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
35	33, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
36	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
37	20, 34, 35, 36	grpinvcld 19199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
38	30	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
39		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
40		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
41	20, 39, 40	ghmlin 19435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
42	33, 37, 38, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
43	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
44		ghmqusnsg.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
45		ghmqusnsg.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
46	44, 45	sseqtrdi 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ (◡𝐹 “ { 0 }))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (◡𝐹 “ { 0 }))
48	20	subgss 19337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
49	25, 26, 48	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
51		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑧 ∈ V
52		elecg 8762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
53	51, 52	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
54	53	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
55	4, 54	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
56	20, 34, 39, 27	eqgval 19389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)))
57	56	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁))
58	57	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
59	35, 50, 55, 58	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
60	47, 59	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
61		fniniseg 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝐺) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )))
62	61	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
63	43, 60, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
64	63	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )
65	42, 64	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = 0 )
66	65	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ))
67		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
68	20, 34, 67	ghminv 19437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
69	33, 36, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
70	69	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = (((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))))
72		ghmgrp2 19433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
73	33, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐻 ∈ Grp)
74	33, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
75	74, 36	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
76	74, 38	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
77	21, 40, 67	grpasscan1 19212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
78	73, 75, 76, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
79	71, 78	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
80		ghmqusnsg.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
81	21, 40, 80, 73, 75	grpridd 19181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
82	66, 79, 81	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
84	32, 83	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
85	84	r19.29an 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
86		fveqeq2 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
87		ecref 8763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
88	29, 4, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
89	88	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
90		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
91	90	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑦)
92	86, 89, 91	rspcedvdw 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
93	85, 92	impbida 813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)))
94		velsn 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)} ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
95	93, 94	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
96	31, 95	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
97	96	eqrdv 2758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = {(𝐹‘𝑋)})
98	97	unieqd 4879	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = ∪ {(𝐹‘𝑋)})
99		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
100	99	unisn 4885	. . 3 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑋)} = (𝐹‘𝑋)
101	98, 100	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))
102	19, 101	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   Er wer 8714  [cec 8715   / cqs 8716  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   /_s cqus 17677  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  SubGrpcsubg 19330  NrmSGrpcnsg 19331   ~_QG cqg 19332   GrpHom cghm 19427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428

This theorem is used by:  ghmqusnsglem2  19495  ghmqusnsg  19496  rhmqusnsg  21581  rhmqusspan  43236