Theorem ghmqusnsglem1 19433

Description: Lemma for ghmqusnsg 19435. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusnsg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusnsg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmqusnsg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
ghmqusnsg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ghmqusnsglem1	⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐾,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑋,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝐽(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusnsg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
2		imaeq2 6054	. . . 4 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → (𝐹 “ 𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
3	2	unieqd 4880	. . 3 ⊢ (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → ∪ (𝐹 “ 𝑞) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
4		ghmqusnsglem1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
5		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
6	5	ecelqsi 8776	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
8		ghmqusnsg.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
10		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
11		ovexd 7451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
12		ghmqusnsg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13		ghmgrp1 19371	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	9, 10, 11, 14	qusbas 17656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
16	7, 15	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ (Base‘𝑄))
17	12	imaexd 7919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
18	17	uniexd 7750	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
19	1, 3, 16, 18	fvmptd3 7013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
22	20, 21	ghmf 19373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
23	12, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
24	23	ffnd 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
25		ghmqusnsg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
26		nsgsubg 19307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
28	20, 27	eqger 19329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
29	25, 26, 28	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
30	29	ecss 8755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ⊆ (Base‘𝐺))
31	24, 30	fvelimabd 6954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦))
32		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = 𝑦)
33	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
34		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
35	33, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
36	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
37	20, 34, 35, 36	grpinvcld 19138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
38	30	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
39		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
40		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
41	20, 39, 40	ghmlin 19374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
42	33, 37, 38, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
43	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
44		ghmqusnsg.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
45		ghmqusnsg.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
46	44, 45	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ (◡𝐹 “ { 0 }))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (◡𝐹 “ { 0 }))
48	20	subgss 19276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
49	25, 26, 48	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
51		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑧 ∈ V
52		elecg 8748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
53	51, 52	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
54	53	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
55	4, 54	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
56	20, 34, 39, 27	eqgval 19328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)))
57	56	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁))
58	57	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
59	35, 50, 55, 58	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
60	47, 59	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
61		fniniseg 7055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝐺) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )))
62	61	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
63	43, 60, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 ))
64	63	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑧)) = 0 )
65	42, 64	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = 0 )
66	65	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ))
67		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
68	20, 34, 67	ghminv 19376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
69	33, 36, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋)))
70	69	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = (((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
71	70	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))))
72		ghmgrp2 19372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
73	33, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐻 ∈ Grp)
74	33, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
75	74, 36	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
76	74, 38	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
77	21, 40, 67	grpasscan1 19151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
78	73, 75, 76, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)(((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
79	71, 78	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻)((𝐹‘((invg‘𝐺)‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
80		ghmqusnsg.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
81	21, 40, 80, 73, 75	grpridd 19120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝐻) 0 ) = (𝐹‘𝑋))
82	66, 79, 81	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑋))
84	32, 83	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
85	84	r19.29an 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
86		fveqeq2 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑦))
87		ecref 8749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
88	29, 4, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
89	88	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
90		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
91	90	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑦)
92	86, 89, 91	rspcedvdw 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)) → ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
93	85, 92	impbida 813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋)))
94		velsn 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)} ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑋))
95	93, 94	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
96	31, 95	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑋)}))
97	96	eqrdv 2758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = {(𝐹‘𝑋)})
98	97	unieqd 4880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = ∪ {(𝐹‘𝑋)})
99		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
100	99	unisn 4886	. . 3 ⊢ ∪ {(𝐹‘𝑋)} = (𝐹‘𝑋)
101	98, 100	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))
102	19, 101	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6530  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702  Basecbs 17326  +_gcplusg 17367  0_gc0g 17549   /_s cqus 17616  Grpcgrp 19083  inv_gcminusg 19084  SubGrpcsubg 19269  NrmSGrpcnsg 19270   ~_QG cqg 19271   GrpHom cghm 19366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-0g 17551  df-imas 17619  df-qus 17620  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-subg 19272  df-nsg 19273  df-eqg 19274  df-ghm 19367

This theorem is used by:  ghmqusnsglem2  19434  ghmqusnsg  19435  rhmqusnsg  21520  rhmqusspan  43116