MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmqusnsglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmqusnsglem1 19311
Description: Lemma for ghmqusnsg 19313. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmqusnsg.0 0 = (0g𝐻)
ghmqusnsg.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
ghmqusnsg.n (𝜑𝑁𝐾)
ghmqusnsg.1 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem1.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ghmqusnsglem1 (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐾,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑋,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝐽(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmqusnsg.j . . 3 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
2 imaeq2 6076 . . . 4 (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → (𝐹𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
32unieqd 4925 . . 3 (𝑞 = [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) → (𝐹𝑞) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
4 ghmqusnsglem1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
5 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
65ecelqsi 8812 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
8 ghmqusnsg.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
10 eqidd 2736 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
11 ovexd 7466 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
12 ghmqusnsg.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13 ghmgrp1 19249 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
159, 10, 11, 14qusbas 17592 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
167, 15eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ (Base‘𝑄))
1712imaexd 7939 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
1817uniexd 7761 . . 3 (𝜑 (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V)
191, 3, 16, 18fvmptd3 7039 . 2 (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)))
20 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2220, 21ghmf 19251 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
2312, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
2423ffnd 6738 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (Base‘𝐺))
25 ghmqusnsg.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
26 nsgsubg 19189 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
2820, 27eqger 19209 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
2925, 26, 283syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
3029ecss 8792 . . . . . . 7 (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ⊆ (Base‘𝐺))
3124, 30fvelimabd 6982 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦))
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝑧) = 𝑦)
3312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
34 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
3533, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
3720, 34, 35, 36grpinvcld 19019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
3830sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
39 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝐺) = (+g𝐺)
40 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝐻) = (+g𝐻)
4120, 39, 40ghmlin 19252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
4233, 37, 38, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
4324adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 Fn (Base‘𝐺))
44 ghmqusnsg.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁𝐾)
45 ghmqusnsg.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4644, 45sseqtrdi 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ⊆ (𝐹 “ { 0 }))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (𝐹 “ { 0 }))
4820subgss 19158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
4925, 26, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺))
51 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 ∈ V
52 elecg 8788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
5351, 52mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧))
5453biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
554, 54sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧)
5620, 34, 39, 27eqgval 19208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)))
5756biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑁))
5857simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ⊆ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑋(𝐺 ~QG 𝑁)𝑧) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
5935, 50, 55, 58syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑁)
6047, 59sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝐹 “ { 0 }))
61 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn (Base‘𝐺) → ((((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ ((((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧)) = 0 )))
6261biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 Fn (Base‘𝐺) ∧ (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝐹 “ { 0 })) → ((((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧)) = 0 ))
6343, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐹‘(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧)) = 0 ))
6463simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑧)) = 0 )
6542, 64eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧)) = 0 )
6665oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹𝑋)(+g𝐻)((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧))) = ((𝐹𝑋)(+g𝐻) 0 ))
67 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝐻) = (invg𝐻)
6820, 34, 67ghminv 19254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋)) = ((invg𝐻)‘(𝐹𝑋)))
6933, 36, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋)) = ((invg𝐻)‘(𝐹𝑋)))
7069oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧)) = (((invg𝐻)‘(𝐹𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
7170oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹𝑋)(+g𝐻)((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧))) = ((𝐹𝑋)(+g𝐻)(((invg𝐻)‘(𝐹𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧))))
72 ghmgrp2 19250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
7333, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐻 ∈ Grp)
7433, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
7574, 36ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
7674, 38ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
7721, 40, 67grpasscan1 19032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹𝑋)(+g𝐻)(((invg𝐻)‘(𝐹𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
7873, 75, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹𝑋)(+g𝐻)(((invg𝐻)‘(𝐹𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
7971, 78eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹𝑋)(+g𝐻)((𝐹‘((invg𝐺)‘𝑋))(+g𝐻)(𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
80 ghmqusnsg.0 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝐻)
8121, 40, 80, 73, 75grpridd 19001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → ((𝐹𝑋)(+g𝐻) 0 ) = (𝐹𝑋))
8266, 79, 813eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑋))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑋))
8432, 83eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑋))
8584r19.29an 3156 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑋))
86 fveqeq2 6916 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐹𝑧) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑋) = 𝑦))
87 ecref 8789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
8829, 4, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝐹𝑋)) → 𝑋 ∈ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁))
90 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝐹𝑋)) → 𝑦 = (𝐹𝑋))
9190eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝐹𝑋)) → (𝐹𝑋) = 𝑦)
9286, 89, 91rspcedvdw 3625 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝐹𝑋)) → ∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦)
9385, 92impbida 801 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑋)))
94 velsn 4647 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {(𝐹𝑋)} ↔ 𝑦 = (𝐹𝑋))
9593, 94bitr4di 289 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ [ 𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ {(𝐹𝑋)}))
9631, 95bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ {(𝐹𝑋)}))
9796eqrdv 2733 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = {(𝐹𝑋)})
9897unieqd 4925 . . 3 (𝜑 (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = {(𝐹𝑋)})
99 fvex 6920 . . . 4 (𝐹𝑋) ∈ V
10099unisn 4931 . . 3 {(𝐹𝑋)} = (𝐹𝑋)
10198, 100eqtrdi 2791 . 2 (𝜑 (𝐹 “ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑋))
10219, 101eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝐽‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153   GrpHom cghm 19243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244
This theorem is referenced by:  ghmqusnsglem2  19312  ghmqusnsg  19313  rhmqusnsg  21313  rhmqusspan  42167
  Copyright terms: Public domain W3C validator