MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmhmima 20658
Description: The image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x 𝑋 = (LSubSpβ€˜π‘†)
lmhmima.y π‘Œ = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmima ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ)
Proof of Theorem lmhmima
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 20642 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 20644 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3 simpr 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
4 lmhmima.x . . . . 5 𝑋 = (LSubSpβ€˜π‘†)
54lsssubg 20568 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
62, 3, 5syl2an2r 684 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
7 ghmima 19113 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
81, 6, 7syl2an2r 684 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lmhmf 20645 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
13 ffn 6718 . . . . . . . 8 (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
159, 4lssss 20547 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑋 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
1714, 16fvelimabd 6966 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜π‘) = 𝑏))
1817adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ (𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜π‘) = 𝑏))
19 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
2220, 21lmhmsca 20641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
2423fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2524eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
2625biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2726adantrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2816sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2928adantrl 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
3320, 30, 9, 31, 32lmhmlin 20646 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)))
3419, 27, 29, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)))
3519, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
36 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
3736, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
382adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
40 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
4120, 31, 30, 4lssvscl 20566 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐) ∈ π‘ˆ)
4239, 36, 27, 40, 41syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐) ∈ π‘ˆ)
43 fnfvima 7235 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐) ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
4435, 37, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
4534, 44eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
4645anassrs 469 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
47 oveq2 7417 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏))
4847eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
4946, 48syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
5049rexlimdva 3156 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
5118, 50sylbid 239 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ (𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
5251impr 456 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
5352ralrimivva 3201 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
54 lmhmlmod2 20643 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
5554adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
56 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
57 lmhmima.y . . . 4 π‘Œ = (LSubSpβ€˜π‘‡)
5821, 56, 10, 32, 57islss4 20573 . . 3 (𝑇 ∈ LMod β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ ↔ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))))
5955, 58syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ ↔ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))))
608, 53, 59mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  SubGrpcsubg 19000   GrpHom cghm 19089  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542   LMHom clmhm 20630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lmhm 20633
This theorem is referenced by:  lmhmlsp  20660  lmhmrnlss  20661
  Copyright terms: Public domain W3C validator