MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmhmima 20802
Description: The image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x 𝑋 = (LSubSpβ€˜π‘†)
lmhmima.y π‘Œ = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmima ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ)
Proof of Theorem lmhmima
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 20786 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 20788 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3 simpr 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
4 lmhmima.x . . . . 5 𝑋 = (LSubSpβ€˜π‘†)
54lsssubg 20712 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
62, 3, 5syl2an2r 681 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
7 ghmima 19151 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
81, 6, 7syl2an2r 681 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
9 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lmhmf 20789 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
1211adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
13 ffn 6716 . . . . . . . 8 (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
159, 4lssss 20691 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑋 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
1714, 16fvelimabd 6964 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜π‘) = 𝑏))
1817adantr 479 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ (𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜π‘) = 𝑏))
19 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
20 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
21 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
2220, 21lmhmsca 20785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
2423fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2524eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
2625biimpa 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2726adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2816sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2928adantrl 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
30 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
31 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
32 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
3320, 30, 9, 31, 32lmhmlin 20790 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)))
3419, 27, 29, 33syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)))
3519, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
36 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
3736, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
382adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
40 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
4120, 31, 30, 4lssvscl 20710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐) ∈ π‘ˆ)
4239, 36, 27, 40, 41syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐) ∈ π‘ˆ)
43 fnfvima 7236 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐) ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
4435, 37, 42, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑐)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
4534, 44eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
4645anassrs 466 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
47 oveq2 7419 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏))
4847eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
4946, 48syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
5049rexlimdva 3153 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜π‘) = 𝑏 β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
5118, 50sylbid 239 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))) β†’ (𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
5251impr 453 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
5352ralrimivva 3198 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
54 lmhmlmod2 20787 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
5554adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
56 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
57 lmhmima.y . . . 4 π‘Œ = (LSubSpβ€˜π‘‡)
5821, 56, 10, 32, 57islss4 20717 . . 3 (𝑇 ∈ LMod β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ ↔ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))))
5955, 58syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ ↔ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))))
608, 53, 59mpbir2and 709 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  SubGrpcsubg 19036   GrpHom cghm 19127  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686   LMHom clmhm 20774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lmhm 20777
This theorem is referenced by:  lmhmlsp  20804  lmhmrnlss  20805
  Copyright terms: Public domain W3C validator