Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2731 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) = (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) |
2 | 1 | elrnmpt 5955 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ β V β (π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β βπ¦ β π΅ π§ = (β‘πΉ β {π¦}))) |
3 | 2 | elv 3479 |
. . . . . . 7
β’ (π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β βπ¦ β π΅ π§ = (β‘πΉ β {π¦})) |
4 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β§ π§ = (β‘πΉ β {π¦})) β π§ = (β‘πΉ β {π¦})) |
5 | | simpl3 1192 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β π΅ β ran πΉ) |
6 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β π¦ β π΅) |
7 | 5, 6 | sseldd 3983 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β π¦ β ran πΉ) |
8 | | inisegn0 6097 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ β ran πΉ β (β‘πΉ β {π¦}) β β
) |
9 | 7, 8 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β (β‘πΉ β {π¦}) β β
) |
10 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β§ π§ = (β‘πΉ β {π¦})) β (β‘πΉ β {π¦}) β β
) |
11 | 4, 10 | eqnetrd 3007 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β§ π§ = (β‘πΉ β {π¦})) β π§ β β
) |
12 | 11 | r19.29an 3157 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ βπ¦ β π΅ π§ = (β‘πΉ β {π¦})) β π§ β β
) |
13 | 3, 12 | sylan2b 593 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β π§ β β
) |
14 | 13 | ralrimiva 3145 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))π§ β β
) |
15 | | simp2 1136 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β πΉ Fn π΄) |
16 | | simp1 1135 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β π΄ β π) |
17 | 15, 16 | jca 511 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (πΉ Fn π΄ β§ π΄ β π)) |
18 | | fnex 7221 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΉ Fn π΄ β§ π΄ β π) β πΉ β V) |
19 | | rnexg 7899 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΉ β V β ran πΉ β V) |
20 | 17, 18, 19 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β ran πΉ β V) |
21 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β π΅ β ran πΉ) |
22 | 20, 21 | ssexd 5324 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β π΅ β V) |
23 | | mptexg 7225 |
. . . . . . . 8
β’ (π΅ β V β (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V) |
24 | | rnexg 7899 |
. . . . . . . 8
β’ ((π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V) |
25 | 22, 23, 24 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V) |
26 | | fvi 6967 |
. . . . . . 7
β’ (ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) = ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) = ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
28 | 27 | raleqdv 3324 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))π§ β β
β βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))π§ β β
)) |
29 | 14, 28 | mpbird 257 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))π§ β β
) |
30 | | fvex 6904 |
. . . . 5
β’ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β V |
31 | 30 | ac5b 10477 |
. . . 4
β’
(βπ§ β (
I βran (π¦ β
π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))π§ β β
β βπ(π:( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))βΆβͺ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))(πβπ§) β π§)) |
32 | 29, 31 | syl 17 |
. . 3
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βπ(π:( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))βΆβͺ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))(πβπ§) β π§)) |
33 | 27 | unieqd 4922 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βͺ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) = βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
34 | 27, 33 | feq23d 6712 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (π:( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))βΆβͺ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))) |
35 | 27 | raleqdv 3324 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))(πβπ§) β π§ β βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§)) |
36 | 34, 35 | anbi12d 630 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β ((π:( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))βΆβͺ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))(πβπ§) β π§) β (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§))) |
37 | 36 | exbidv 1923 |
. . 3
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (βπ(π:( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))βΆβͺ ( I
βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ( I βran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))(πβπ§) β π§) β βπ(π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§))) |
38 | 32, 37 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βπ(π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§)) |
39 | | vex 3477 |
. . . . . . . . 9
β’ π β V |
40 | 39 | rnex 7907 |
. . . . . . . 8
β’ ran π β V |
41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran π β V) |
42 | | simplr 766 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
43 | | frn 6724 |
. . . . . . . . 9
β’ (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β ran π β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran π β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
45 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²π¦(π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) |
46 | | nfcv 2902 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π¦π |
47 | | nfmpt1 5256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²π¦(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) |
48 | 47 | nfrn 5951 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π¦ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) |
49 | 48 | nfuni 4915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π¦βͺ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) |
50 | 46, 48, 49 | nff 6713 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²π¦ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) |
51 | 45, 50 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π¦((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
52 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²π¦(πβπ§) β π§ |
53 | 48, 52 | nfralw 3307 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π¦βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§ |
54 | 51, 53 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π¦(((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) |
55 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β πΉ β V) |
56 | 55 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β πΉ β V) |
57 | | cnvexg 7919 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΉ β V β β‘πΉ β V) |
58 | | imaexg 7910 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (β‘πΉ β V β (β‘πΉ β {π¦}) β V) |
59 | 56, 57, 58 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β (β‘πΉ β {π¦}) β V) |
60 | | cnvimass 6080 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (β‘πΉ β {π¦}) β dom πΉ |
61 | 60 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β (β‘πΉ β {π¦}) β dom πΉ) |
62 | 15 | fndmd 6654 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β dom πΉ = π΄) |
63 | 62 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β dom πΉ = π΄) |
64 | 61, 63 | sseqtrd 4022 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β (β‘πΉ β {π¦}) β π΄) |
65 | 59, 64 | elpwd 4608 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β (β‘πΉ β {π¦}) β π« π΄) |
66 | 65 | ex 412 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π¦ β π΅ β (β‘πΉ β {π¦}) β π« π΄)) |
67 | 54, 66 | ralrimi 3253 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ¦ β π΅ (β‘πΉ β {π¦}) β π« π΄) |
68 | 1 | rnmptss 7124 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ¦ β
π΅ (β‘πΉ β {π¦}) β π« π΄ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π« π΄) |
69 | 67, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π« π΄) |
70 | | sspwuni 5103 |
. . . . . . . . 9
β’ (ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π« π΄ β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π΄) |
71 | 69, 70 | sylib 217 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π΄) |
72 | 44, 71 | sstrd 3992 |
. . . . . . 7
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran π β π΄) |
73 | 41, 72 | elpwd 4608 |
. . . . . 6
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran π β π« π΄) |
74 | | fnfun 6649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (πΉ Fn π΄ β Fun πΉ) |
75 | 15, 74 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β Fun πΉ) |
76 | 75 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β Fun πΉ) |
77 | | sndisj 5139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
Disj π¦ β
π΅ {π¦} |
78 | | disjpreima 32083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Fun
πΉ β§ Disj π¦ β π΅ {π¦}) β Disj π¦ β π΅ (β‘πΉ β {π¦})) |
79 | 76, 77, 78 | sylancl 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β Disj π¦ β π΅ (β‘πΉ β {π¦})) |
80 | | disjrnmpt 32084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(Disj π¦
β π΅ (β‘πΉ β {π¦}) β Disj π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))π§) |
81 | 79, 80 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β Disj π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))π§) |
82 | | simpllr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
83 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
84 | | simp-4r 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) |
85 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π§ = π’ β (πβπ§) = (πβπ’)) |
86 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π§ = π’ β π§ = π’) |
87 | 85, 86 | eleq12d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π§ = π’ β ((πβπ§) β π§ β (πβπ’) β π’)) |
88 | 87 | rspcv 3608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β (βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§ β (πβπ’) β π’)) |
89 | 88 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πβπ’) β π’) |
90 | 82, 84, 89 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β (πβπ’) β π’) |
91 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β (πβπ’) = (πβπ£)) |
92 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π§ = π£ β (πβπ§) = (πβπ£)) |
93 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π§ = π£ β π§ = π£) |
94 | 92, 93 | eleq12d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π§ = π£ β ((πβπ§) β π§ β (πβπ£) β π£)) |
95 | 94 | rspcv 3608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β (βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§ β (πβπ£) β π£)) |
96 | 95 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πβπ£) β π£) |
97 | 83, 84, 96 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β (πβπ£) β π£) |
98 | 91, 97 | eqeltrd 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β (πβπ’) β π£) |
99 | 86, 93 | disji 5131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((Disj π§
β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))π§ β§ (π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ ((πβπ’) β π’ β§ (πβπ’) β π£)) β π’ = π£) |
100 | 81, 82, 83, 90, 98, 99 | syl122anc 1378 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ (πβπ’) = (πβπ£)) β π’ = π£) |
101 | 100 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β ((πβπ’) = (πβπ£) β π’ = π£)) |
102 | 101 | anasss 466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ (π’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ π£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))) β ((πβπ’) = (πβπ£) β π’ = π£)) |
103 | 102 | ralrimivva 3199 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βπ£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))((πβπ’) = (πβπ£) β π’ = π£)) |
104 | 42, 103 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βπ£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))((πβπ’) = (πβπ£) β π’ = π£))) |
105 | | dff13 7257 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))β1-1ββͺ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ’ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βπ£ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))((πβπ’) = (πβπ£) β π’ = π£))) |
106 | 104, 105 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))β1-1ββͺ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
107 | | f1f1orn 6844 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))β1-1ββͺ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))β1-1-ontoβran
π) |
108 | 106, 107 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))β1-1-ontoβran
π) |
109 | | f1oen3g 8966 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β V β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))β1-1-ontoβran
π) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β ran π) |
110 | 39, 108, 109 | sylancr 586 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β ran π) |
111 | 110 | ensymd 9005 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran π β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
112 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V) |
113 | 112 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V) |
114 | 59 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π¦ β π΅ β (β‘πΉ β {π¦}) β V)) |
115 | 54, 114 | ralrimi 3253 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ¦ β π΅ (β‘πΉ β {π¦}) β V) |
116 | 75 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β Fun πΉ) |
117 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β π¦ β π‘) |
118 | 21 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β π΅ β ran πΉ) |
119 | | simpllr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β π¦ β π΅) |
120 | 118, 119 | sseldd 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β π¦ β ran πΉ) |
121 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β π‘ β π΅) |
122 | 118, 121 | sseldd 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β π‘ β ran πΉ) |
123 | 116, 117,
120, 122 | preimane 32163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π΄ β
π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β§ π¦ β π‘) β (β‘πΉ β {π¦}) β (β‘πΉ β {π‘})) |
124 | 123 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β (π¦ β π‘ β (β‘πΉ β {π¦}) β (β‘πΉ β {π‘}))) |
125 | 124 | necon4d 2963 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β§ π‘ β π΅) β ((β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘}) β π¦ = π‘)) |
126 | 125 | ralrimiva 3145 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π¦ β π΅) β βπ‘ β π΅ ((β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘}) β π¦ = π‘)) |
127 | 126 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π¦ β π΅ β βπ‘ β π΅ ((β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘}) β π¦ = π‘))) |
128 | 54, 127 | ralrimi 3253 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ¦ β π΅ βπ‘ β π΅ ((β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘}) β π¦ = π‘)) |
129 | 115, 128 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (βπ¦ β π΅ (β‘πΉ β {π¦}) β V β§ βπ¦ β π΅ βπ‘ β π΅ ((β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘}) β π¦ = π‘))) |
130 | | sneq 4638 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = π‘ β {π¦} = {π‘}) |
131 | 130 | imaeq2d 6059 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ = π‘ β (β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘})) |
132 | 1, 131 | f1mpt 7263 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})):π΅β1-1βV β (βπ¦ β π΅ (β‘πΉ β {π¦}) β V β§ βπ¦ β π΅ βπ‘ β π΅ ((β‘πΉ β {π¦}) = (β‘πΉ β {π‘}) β π¦ = π‘))) |
133 | 129, 132 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})):π΅β1-1βV) |
134 | | f1f1orn 6844 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})):π΅β1-1βV β (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})):π΅β1-1-ontoβran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
135 | 133, 134 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})):π΅β1-1-ontoβran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
136 | | f1oen3g 8966 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β V β§ (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})):π΅β1-1-ontoβran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β π΅ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
137 | 113, 135,
136 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β π΅ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
138 | 137 | ensymd 9005 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π΅) |
139 | | entr 9006 |
. . . . . . . 8
β’ ((ran
π β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β π΅) β ran π β π΅) |
140 | 111, 138,
139 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β ran π β π΅) |
141 | | imass2 6101 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (ran
π β βͺ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β (πΉ β ran π) β (πΉ β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))) |
142 | 43, 141 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β (πΉ β ran π) β (πΉ β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))) |
143 | 42, 142 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πΉ β ran π) β (πΉ β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})))) |
144 | | imauni 7248 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΉ β βͺ ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) = βͺ
π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πΉ β π§) |
145 | | imaeq2 6055 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π§ = (β‘πΉ β {π¦}) β (πΉ β π§) = (πΉ β (β‘πΉ β {π¦}))) |
146 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β πΉ β V) |
147 | 146, 57, 58 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β (β‘πΉ β {π¦}) β V) |
148 | 145, 147 | iunrnmptss 32065 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βͺ
π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πΉ β π§) β βͺ
π¦ β π΅ (πΉ β (β‘πΉ β {π¦}))) |
149 | | funimacnv 6629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (Fun
πΉ β (πΉ β (β‘πΉ β {π¦})) = ({π¦} β© ran πΉ)) |
150 | 75, 149 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (πΉ β (β‘πΉ β {π¦})) = ({π¦} β© ran πΉ)) |
151 | 150 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β (πΉ β (β‘πΉ β {π¦})) = ({π¦} β© ran πΉ)) |
152 | 6 | snssd 4812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β {π¦} β π΅) |
153 | 152, 5 | sstrd 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β {π¦} β ran πΉ) |
154 | | df-ss 3965 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ({π¦} β ran πΉ β ({π¦} β© ran πΉ) = {π¦}) |
155 | 153, 154 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β ({π¦} β© ran πΉ) = {π¦}) |
156 | 151, 155 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π¦ β π΅) β (πΉ β (β‘πΉ β {π¦})) = {π¦}) |
157 | 156 | iuneq2dv 5021 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βͺ
π¦ β π΅ (πΉ β (β‘πΉ β {π¦})) = βͺ
π¦ β π΅ {π¦}) |
158 | | iunid 5063 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ βͺ π¦ β π΅ {π¦} = π΅ |
159 | 157, 158 | eqtrdi 2787 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βͺ
π¦ β π΅ (πΉ β (β‘πΉ β {π¦})) = π΅) |
160 | 148, 159 | sseqtrd 4022 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βͺ
π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πΉ β π§) β π΅) |
161 | 160 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βͺ
π§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πΉ β π§) β π΅) |
162 | 144, 161 | eqsstrid 4030 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πΉ β βͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β π΅) |
163 | 143, 162 | sstrd 3992 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πΉ β ran π) β π΅) |
164 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
165 | 164 | ffund 6721 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β Fun π) |
166 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β π‘ β π΅) |
167 | 55, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β β‘πΉ β V) |
168 | 167 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β β‘πΉ β V) |
169 | | imaexg 7910 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (β‘πΉ β V β (β‘πΉ β {π‘}) β V) |
170 | 168, 169 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (β‘πΉ β {π‘}) β V) |
171 | 1, 131 | elrnmpt1s 5956 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π‘ β π΅ β§ (β‘πΉ β {π‘}) β V) β (β‘πΉ β {π‘}) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
172 | 166, 170,
171 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (β‘πΉ β {π‘}) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
173 | 164 | fdmd 6728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β dom π = ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) |
174 | 172, 173 | eleqtrrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (β‘πΉ β {π‘}) β dom π) |
175 | | fvelrn 7078 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((Fun
π β§ (β‘πΉ β {π‘}) β dom π) β (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β ran π) |
176 | 165, 174,
175 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β ran π) |
177 | 15 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β πΉ Fn π΄) |
178 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) |
179 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ = (β‘πΉ β {π‘}) β (πβπ§) = (πβ(β‘πΉ β {π‘}))) |
180 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ = (β‘πΉ β {π‘}) β π§ = (β‘πΉ β {π‘})) |
181 | 179, 180 | eleq12d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π§ = (β‘πΉ β {π‘}) β ((πβπ§) β π§ β (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β (β‘πΉ β {π‘}))) |
182 | 181 | rspcv 3608 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((β‘πΉ β {π‘}) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β (βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§ β (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β (β‘πΉ β {π‘}))) |
183 | 182 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((β‘πΉ β {π‘}) β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β (β‘πΉ β {π‘})) |
184 | 172, 178,
183 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β (β‘πΉ β {π‘})) |
185 | | fniniseg 7061 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΉ Fn π΄ β ((πβ(β‘πΉ β {π‘})) β (β‘πΉ β {π‘}) β ((πβ(β‘πΉ β {π‘})) β π΄ β§ (πΉβ(πβ(β‘πΉ β {π‘}))) = π‘))) |
186 | 185 | simplbda 499 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΉ Fn π΄ β§ (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β (β‘πΉ β {π‘})) β (πΉβ(πβ(β‘πΉ β {π‘}))) = π‘) |
187 | 177, 184,
186 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (πΉβ(πβ(β‘πΉ β {π‘}))) = π‘) |
188 | | fveqeq2 6900 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = (πβ(β‘πΉ β {π‘})) β ((πΉβπ) = π‘ β (πΉβ(πβ(β‘πΉ β {π‘}))) = π‘)) |
189 | 188 | rspcev 3612 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πβ(β‘πΉ β {π‘})) β ran π β§ (πΉβ(πβ(β‘πΉ β {π‘}))) = π‘) β βπ β ran π(πΉβπ) = π‘) |
190 | 176, 187,
189 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β βπ β ran π(πΉβπ) = π‘) |
191 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β ran π β π΄) |
192 | 177, 191 | fvelimabd 6965 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β (π‘ β (πΉ β ran π) β βπ β ran π(πΉβπ) = π‘)) |
193 | 190, 192 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β§ π‘ β π΅) β π‘ β (πΉ β ran π)) |
194 | 193 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (π‘ β π΅ β π‘ β (πΉ β ran π))) |
195 | 194 | ssrdv 3988 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β π΅ β (πΉ β ran π)) |
196 | 163, 195 | eqssd 3999 |
. . . . . . 7
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (πΉ β ran π) = π΅) |
197 | 140, 196 | jca 511 |
. . . . . 6
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β (ran π β π΅ β§ (πΉ β ran π) = π΅)) |
198 | | breq1 5151 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = ran π β (π₯ β π΅ β ran π β π΅)) |
199 | | imaeq2 6055 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = ran π β (πΉ β π₯) = (πΉ β ran π)) |
200 | 199 | eqeq1d 2733 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = ran π β ((πΉ β π₯) = π΅ β (πΉ β ran π) = π΅)) |
201 | 198, 200 | anbi12d 630 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = ran π β ((π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅) β (ran π β π΅ β§ (πΉ β ran π) = π΅))) |
202 | 201 | rspcev 3612 |
. . . . . 6
β’ ((ran
π β π« π΄ β§ (ran π β π΅ β§ (πΉ β ran π) = π΅)) β βπ₯ β π« π΄(π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅)) |
203 | 73, 197, 202 | syl2anc 583 |
. . . . 5
β’ ((((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ₯ β π« π΄(π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅)) |
204 | 203 | anasss 466 |
. . . 4
β’ (((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β§ (π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§)) β βπ₯ β π« π΄(π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅)) |
205 | 204 | ex 412 |
. . 3
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β ((π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ₯ β π« π΄(π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅))) |
206 | 205 | exlimdv 1935 |
. 2
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β (βπ(π:ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))βΆβͺ ran
(π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦})) β§ βπ§ β ran (π¦ β π΅ β¦ (β‘πΉ β {π¦}))(πβπ§) β π§) β βπ₯ β π« π΄(π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅))) |
207 | 38, 206 | mpd 15 |
1
β’ ((π΄ β π β§ πΉ Fn π΄ β§ π΅ β ran πΉ) β βπ₯ β π« π΄(π₯ β π΅ β§ (πΉ β π₯) = π΅)) |