Theorem swrdrn3 32877

Description: Express the range of a subword. Stronger version of swrdrn2 32876. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdrn3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdrn3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
2		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3	2	elfzelzd 13486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
5	4	elfzelzd 13486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		fzoaddel2 13681	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁))
9		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
10	9	elfzelzd 13486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	12	elfzelzd 13486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	11, 14	pncan3d 11536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) = 𝑁)
16	15	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = (𝑀..^𝑁))
17	8, 16	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
18	13, 10	zsubcld 12643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
19		fzosubel3 13687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑀) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 − 𝑀) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → 𝑖 = (𝑗 − 𝑀))
22	21	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀))
23	22	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → (𝑗 = (𝑖 + 𝑀) ↔ 𝑗 = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀)))
24		fzossz 13640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ ℤ
25	24, 8	sselid 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
27	26, 11	npcand 11537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑗)
28	27	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀))
29	20, 23, 28	rspcedvd 3590	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
30		eqcom 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑊‘𝑗) ↔ (𝑊‘𝑗) = 𝑦)
31		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → 𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
32	31	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑊‘𝑗) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
33	32	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑦 = (𝑊‘𝑗) ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
34	30, 33	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → ((𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
35	7, 29, 34	rexxfrd 5364	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
37		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) ∈ V
38	36, 37	elrnmpti 5926	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
39	35, 38	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
40		wrdf 14483	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
42	41	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
43		elfzuz 13481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
44	43	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
45		fzoss1 13647	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
47		elfzuz3 13482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
48	47	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
49		fzoss2 13648	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
51	46, 50	sstrd 3957	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
52	42, 51	fvelimabd 6934	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦))
53		swrdval2 14611	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
54	53	rneqd 5902	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
55	54	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
56	39, 52, 55	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁))))
57	56	eqrdv 2727	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068   + caddc 11071   − cmin 11405  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   substr csubstr 14605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-substr 14606

This theorem is referenced by:  swrdrndisj  32879  cycpmco2rn  33082