Theorem swrdrn3 33036

Description: Express the range of a subword. Stronger version of swrdrn2 33035. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdrn3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdrn3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
2		simpl3 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3	2	elfzelzd 13474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simpl2 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
5	4	elfzelzd 13474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		fzoaddel2 13670	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
8		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁))
9		simpl2 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
10	9	elfzelzd 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simpl3 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	12	elfzelzd 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	11, 14	pncan3d 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) = 𝑁)
16	15	oveq2d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = (𝑀..^𝑁))
17	8, 16	eleqtrrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
18	13, 10	zsubcld 12633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
19		fzosubel3 13676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑀) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
20	17, 18, 19	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 − 𝑀) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
21		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → 𝑖 = (𝑗 − 𝑀))
22	21	oveq1d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀))
23	22	eqeq2d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → (𝑗 = (𝑖 + 𝑀) ↔ 𝑗 = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀)))
24		fzossz 13629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ ℤ
25	24, 8	sselid 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
27	26, 11	npcand 11505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑗)
28	27	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀))
29	20, 23, 28	rspcedvd 3563	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
30		eqcom 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑊‘𝑗) ↔ (𝑊‘𝑗) = 𝑦)
31		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → 𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
32	31	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑊‘𝑗) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
33	32	eqeq2d 2752	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑦 = (𝑊‘𝑗) ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
34	30, 33	bitr3id 287	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → ((𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
35	7, 29, 34	rexxfrd 5340	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
36		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
37		fvex 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) ∈ V
38	36, 37	elrnmpti 5910	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
39	35, 38	bitr4di 291	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
40		wrdf 14475	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
41	40	3ad2ant1 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
42	41	ffnd 6659	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
43		elfzuz 13469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
44	43	3ad2ant2 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
45		fzoss1 13636	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
47		elfzuz3 13470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
48	47	3ad2ant3 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
49		fzoss2 13637	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
51	46, 50	sstrd 3926	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
52	42, 51	fvelimabd 6903	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦))
53		swrdval2 14604	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
54	53	rneqd 5886	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
55	54	eleq2d 2827	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
56	39, 52, 55	3bitr4rd 314	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁))))
57	56	eqrdv 2739	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3884  ⟨cop 4563   ↦ cmpt 5155  ran crn 5621   “ cima 5623  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034   + caddc 11037   − cmin 11373  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Word cword 14470   substr csubstr 14598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-substr 14599

This theorem is referenced by:  swrdrndisj  33038  cycpmco2rn  33208