Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdrn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdrn3 32114
Description: Express the range of a subword. Stronger version of swrdrn2 32113. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
swrdrn3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdrn3
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
2 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32elfzelzd 13501 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
54elfzelzd 13501 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 fzoaddel2 13687 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
71, 3, 5, 6syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
8 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁))
9 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
109elfzelzd 13501 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1110zcnd 12666 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1312elfzelzd 13501 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413zcnd 12666 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1511, 14pncan3d 11573 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1615oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀..^(𝑀 + (𝑁𝑀))) = (𝑀..^𝑁))
178, 16eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁𝑀))))
1813, 10zsubcld 12670 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
19 fzosubel3 13692 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → (𝑗𝑀) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗𝑀) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
21 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗𝑀)) → 𝑖 = (𝑗𝑀))
2221oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = ((𝑗𝑀) + 𝑀))
2322eqeq2d 2743 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗𝑀)) → (𝑗 = (𝑖 + 𝑀) ↔ 𝑗 = ((𝑗𝑀) + 𝑀)))
24 fzossz 13651 . . . . . . . . . 10 (𝑀..^𝑁) ⊆ ℤ
2524, 8sselid 3980 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
2625zcnd 12666 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2726, 11npcand 11574 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑗𝑀) + 𝑀) = 𝑗)
2827eqcomd 2738 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 = ((𝑗𝑀) + 𝑀))
2920, 23, 28rspcedvd 3614 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
30 eqcom 2739 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑊𝑗) ↔ (𝑊𝑗) = 𝑦)
31 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → 𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
3231fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑊𝑗) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
3332eqeq2d 2743 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑦 = (𝑊𝑗) ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
3430, 33bitr3id 284 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → ((𝑊𝑗) = 𝑦𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
357, 29, 34rexxfrd 5407 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑗) = 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
36 eqid 2732 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
37 fvex 6904 . . . . 5 (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5959 . . . 4 (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
3935, 38bitr4di 288 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑗) = 𝑦𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
40 wrdf 14468 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
41403ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
4241ffnd 6718 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
43 elfzuz 13496 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
44433ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
45 fzoss1 13658 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
4644, 45syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
47 elfzuz3 13497 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
48473ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
49 fzoss2 13659 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5146, 50sstrd 3992 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5242, 51fvelimabd 6965 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑗) = 𝑦))
53 swrdval2 14595 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
5453rneqd 5937 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
5554eleq2d 2819 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
5639, 52, 553bitr4rd 311 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁))))
5756eqrdv 2730 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  wss 3948  cop 4634  cmpt 5231  ran crn 5677  cima 5679  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109   + caddc 11112  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  chash 14289  Word cword 14463   substr csubstr 14589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-substr 14590
This theorem is referenced by:  swrdrndisj  32116  cycpmco2rn  32279
  Copyright terms: Public domain W3C validator