Theorem swrdrn3 14806

Description: Express the range of a subword. Stronger version of swrdrn2 33563. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdrn3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdrn3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
2		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3	2	elfzelzd 13660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
5	4	elfzelzd 13660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		fzoaddel2 13858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁))
9		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
10	9	elfzelzd 13660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	12	elfzelzd 13660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	11, 14	pncan3d 11675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) = 𝑁)
16	15	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = (𝑀..^𝑁))
17	8, 16	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
18	13, 10	zsubcld 12811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
19		fzosubel3 13864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (𝑀..^(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑀) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 − 𝑀) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → 𝑖 = (𝑗 − 𝑀))
22	21	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀))
23	22	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑗 − 𝑀)) → (𝑗 = (𝑖 + 𝑀) ↔ 𝑗 = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀)))
24		fzossz 13817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ ℤ
25	24, 8	sselid 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
27	26, 11	npcand 11676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑗)
28	27	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 = ((𝑗 − 𝑀) + 𝑀))
29	20, 23, 28	rspcedvd 3578	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
30		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑊‘𝑗) ↔ (𝑊‘𝑗) = 𝑦)
31		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → 𝑗 = (𝑖 + 𝑀))
32	31	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑊‘𝑗) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
33	32	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → (𝑦 = (𝑊‘𝑗) ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
34	30, 33	bitr3id 288	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 𝑀)) → ((𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
35	7, 29, 34	rexxfrd 5370	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
36		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
37		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)) ∈ V
38	36, 37	elrnmpti 5943	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))𝑦 = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
39	35, 38	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
40		wrdf 14666	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
41	40	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
42	41	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
43		elfzuz 13655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
44	43	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
45		fzoss1 13824	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
46	44, 45	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
47		elfzuz3 13656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
48	47	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
49		fzoss2 13825	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
50	48, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
51	46, 50	sstrd 3918	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
52	42, 51	fvelimabd 6958	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑗) = 𝑦))
53		swrdval2 14798	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
54	53	rneqd 5919	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
55	54	eleq2d 2846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))))
56	39, 52, 55	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑦 ∈ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ 𝑦 ∈ (𝑊 “ (𝑀..^𝑁))))
57	56	eqrdv 2758	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑊 “ (𝑀..^𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203   + caddc 11206   − cmin 11544  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661   substr csubstr 14792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-substr 14793

This theorem is used by:  swrdrndisj  33564  cycpmco2rn  33732