Theorem gaset 19335

Description: The right argument of a group action is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gaset	⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)

Proof of Theorem gaset

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isga 19333	. . 3 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ( ⊕ :((Base‘𝐺) × 𝑌)⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 (((0g‘𝐺) ⊕ 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ⊕ 𝑥) = (𝑦 ⊕ (𝑧 ⊕ 𝑥))))))
5	4	simplbi 500	. 2 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ V))
6	5	simprd 499	1 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  Vcvv 3456   × cxp 5647  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977   GrpAct cga 19331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-ga 19332

This theorem is referenced by:  gass  19343  gasubg  19344  galactghm  19446  fxpgaval  33349  fxpsubm  33354  fxpsubg  33355  fxpsubrg  33356  fxpsdrg  33357