Theorem gaset 19312

Description: The right argument of a group action is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gaset	⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)

Proof of Theorem gaset

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isga 19310	. . 3 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ( ⊕ :((Base‘𝐺) × 𝑌)⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 (((0g‘𝐺) ⊕ 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ⊕ 𝑥) = (𝑦 ⊕ (𝑧 ⊕ 𝑥))))))
5	4	simplbi 497	. 2 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ V))
6	5	simprd 495	1 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479   × cxp 5682  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952   GrpAct cga 19308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-ga 19309

This theorem is referenced by:  gass  19320  gasubg  19321  galactghm  19423