MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  galactghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem galactghm 19271
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group 𝐺 and the symmetric group (SymGrp‘𝑌). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
galactghm.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑌)
galactghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
galactghm ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐻   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑦)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2732 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2732 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2732 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 gagrp 19155 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
6 gaset 19156 . . 3 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7 galactghm.h . . . 4 𝐻 = (SymGrp‘𝑌)
87symggrp 19267 . . 3 (𝑌 ∈ V → 𝐻 ∈ Grp)
96, 8syl 17 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐻 ∈ Grp)
10 eqid 2732 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦))
111, 10gapm 19169 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌)
126adantr 481 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ V)
137, 2elsymgbas 19240 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → ((𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌))
1412, 13syl 17 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌))
1511, 14mpbird 256 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
16 galactghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)))
1715, 16fmptd 7113 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
18 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑤𝑋𝑦𝑌) ↔ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑦𝑌))
191, 3gaass 19160 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑦𝑌)) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2018, 19sylan2br 595 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑦𝑌)) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2120anassrs 468 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2221mpteq2dva 5248 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
23 oveq1 7415 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧(+g𝐺)𝑤) → (𝑥 𝑦) = ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦))
2423mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝑥 = (𝑧(+g𝐺)𝑤) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
255adantr 481 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
26 simprl 769 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
27 simprr 771 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
281, 3grpcl 18826 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋)
306adantr 481 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
3130mptexd 7225 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) ∈ V)
3216, 24, 29, 31fvmptd3 7021 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
3317adantr 481 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
3433, 26ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
3533, 27ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐻))
367, 2, 4symgov 19250 . . . . 5 (((𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)))
381gaf 19158 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3938ad2antrr 724 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
4027adantr 481 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑤𝑋)
41 simpr 485 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
4239, 40, 41fovcdmd 7578 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑤 𝑦) ∈ 𝑌)
43 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 𝑦) = (𝑤 𝑦))
4443mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
4530mptexd 7225 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)) ∈ V)
4616, 44, 27, 45fvmptd3 7021 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
47 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑦))
4847mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
4930mptexd 7225 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) ∈ V)
5016, 48, 26, 49fvmptd3 7021 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
51 oveq2 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 𝑦) = (𝑧 𝑥))
5251cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧 𝑥))
5350, 52eqtrdi 2788 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧 𝑥)))
54 oveq2 7416 . . . . 5 (𝑥 = (𝑤 𝑦) → (𝑧 𝑥) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
5542, 46, 53, 54fmptco 7126 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
5637, 55eqtrd 2772 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
5722, 32, 563eqtr4d 2782 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)))
581, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 57isghmd 19100 1 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cmpt 5231   × cxp 5674  ccom 5680  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Grpcgrp 18818   GrpHom cghm 19088   GrpAct cga 19152  SymGrpcsymg 19233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-ghm 19089  df-ga 19153  df-symg 19234
This theorem is referenced by:  cayleylem1  19279
  Copyright terms: Public domain W3C validator