MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  galactghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem galactghm 19436
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group 𝐺 and the symmetric group (SymGrp‘𝑌). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
galactghm.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑌)
galactghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
galactghm ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐻   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑦)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2734 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2734 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2734 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 gagrp 19322 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
6 gaset 19323 . . 3 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7 galactghm.h . . . 4 𝐻 = (SymGrp‘𝑌)
87symggrp 19432 . . 3 (𝑌 ∈ V → 𝐻 ∈ Grp)
96, 8syl 17 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐻 ∈ Grp)
10 eqid 2734 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦))
111, 10gapm 19336 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌)
126adantr 480 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ V)
137, 2elsymgbas 19405 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → ((𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌))
1412, 13syl 17 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌))
1511, 14mpbird 257 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
16 galactghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)))
1715, 16fmptd 7133 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
18 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑤𝑋𝑦𝑌) ↔ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑦𝑌))
191, 3gaass 19327 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑦𝑌)) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2018, 19sylan2br 595 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑦𝑌)) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2120anassrs 467 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2221mpteq2dva 5247 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
23 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧(+g𝐺)𝑤) → (𝑥 𝑦) = ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦))
2423mpteq2dv 5249 . . . 4 (𝑥 = (𝑧(+g𝐺)𝑤) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
255adantr 480 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
26 simprl 771 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
27 simprr 773 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
281, 3grpcl 18971 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1370 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋)
306adantr 480 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
3130mptexd 7243 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) ∈ V)
3216, 24, 29, 31fvmptd3 7038 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
3317adantr 480 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
3433, 26ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
3533, 27ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐻))
367, 2, 4symgov 19415 . . . . 5 (((𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)))
381gaf 19325 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3938ad2antrr 726 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
4027adantr 480 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑤𝑋)
41 simpr 484 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
4239, 40, 41fovcdmd 7604 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑤 𝑦) ∈ 𝑌)
43 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 𝑦) = (𝑤 𝑦))
4443mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
4530mptexd 7243 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)) ∈ V)
4616, 44, 27, 45fvmptd3 7038 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
47 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑦))
4847mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
4930mptexd 7243 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) ∈ V)
5016, 48, 26, 49fvmptd3 7038 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
51 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 𝑦) = (𝑧 𝑥))
5251cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧 𝑥))
5350, 52eqtrdi 2790 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧 𝑥)))
54 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑥 = (𝑤 𝑦) → (𝑧 𝑥) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
5542, 46, 53, 54fmptco 7148 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
5637, 55eqtrd 2774 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
5722, 32, 563eqtr4d 2784 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)))
581, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 57isghmd 19255 1 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cmpt 5230   × cxp 5686  ccom 5692  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18963   GrpHom cghm 19242   GrpAct cga 19319  SymGrpcsymg 19400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-efmnd 18894  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-ghm 19243  df-ga 19320  df-symg 19401
This theorem is referenced by:  cayleylem1  19444
  Copyright terms: Public domain W3C validator