![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hv2times | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hv2times | โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = (๐ด +โ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-2 12274 | . . . 4 โข 2 = (1 + 1) | |
2 | 1 | oveq1i 7412 | . . 3 โข (2 ยทโ ๐ด) = ((1 + 1) ยทโ ๐ด) |
3 | ax-1cn 11165 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
4 | ax-hvdistr2 30756 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง 1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((1 + 1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) | |
5 | 3, 3, 4 | mp3an12 1447 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((1 + 1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
6 | 2, 5 | eqtrid 2776 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
7 | ax-hvdistr1 30755 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) | |
8 | 3, 7 | mp3an1 1444 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
9 | 8 | anidms 566 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
10 | hvaddcl 30759 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด +โ ๐ด) โ โ) | |
11 | 10 | anidms 566 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด +โ ๐ด) โ โ) |
12 | ax-hvmulid 30753 | . . 3 โข ((๐ด +โ ๐ด) โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = (๐ด +โ ๐ด)) | |
13 | 11, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = (๐ด +โ ๐ด)) |
14 | 6, 9, 13 | 3eqtr2d 2770 | 1 โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = (๐ด +โ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7402 โcc 11105 1c1 11108 + caddc 11110 2c2 12266 โchba 30666 +โ cva 30667 ยทโ csm 30668 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pr 5418 ax-1cn 11165 ax-hfvadd 30747 ax-hvmulid 30753 ax-hvdistr1 30755 ax-hvdistr2 30756 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-fv 6542 df-ov 7405 df-2 12274 |
This theorem is referenced by: hvsubcan2i 30811 mayete3i 31475 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |