HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2times 30870
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2times (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))

Proof of Theorem hv2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12305 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7430 . . 3 (2 ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด)
3 ax-1cn 11196 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 ax-hvdistr2 30818 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
53, 3, 4mp3an12 1448 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
62, 5eqtrid 2780 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
7 ax-hvdistr1 30817 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
83, 7mp3an1 1445 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
98anidms 566 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
10 hvaddcl 30821 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
1110anidms 566 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 30815 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
1311, 12syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
146, 9, 133eqtr2d 2774 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141  2c2 12297   โ„‹chba 30728   +โ„Ž cva 30729   ยทโ„Ž csm 30730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-1cn 11196  ax-hfvadd 30809  ax-hvmulid 30815  ax-hvdistr1 30817  ax-hvdistr2 30818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-2 12305
This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  30873  mayete3i  31537
  Copyright terms: Public domain W3C validator