HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2times 30808
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2times (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))

Proof of Theorem hv2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12274 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7412 . . 3 (2 ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด)
3 ax-1cn 11165 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 ax-hvdistr2 30756 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
53, 3, 4mp3an12 1447 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
62, 5eqtrid 2776 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
7 ax-hvdistr1 30755 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
83, 7mp3an1 1444 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
98anidms 566 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
10 hvaddcl 30759 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
1110anidms 566 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 30753 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
1311, 12syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
146, 9, 133eqtr2d 2770 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  1c1 11108   + caddc 11110  2c2 12266   โ„‹chba 30666   +โ„Ž cva 30667   ยทโ„Ž csm 30668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-1cn 11165  ax-hfvadd 30747  ax-hvmulid 30753  ax-hvdistr1 30755  ax-hvdistr2 30756
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-2 12274
This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  30811  mayete3i  31475
  Copyright terms: Public domain W3C validator