Theorem hv2times 31093

Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hv2times	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hv2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12356	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 + 1) ·ℎ 𝐴)
3		ax-1cn 11242	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-hvdistr2 31041	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1451	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
6	2, 5	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
7		ax-hvdistr1 31040	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
8	3, 7	mp3an1 1448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
10		hvaddcl 31044	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
11	10	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 31038	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187  2c2 12348   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-1cn 11242  ax-hfvadd 31032  ax-hvmulid 31038  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-2 12356

This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  31096  mayete3i  31760