Theorem hv2times 31690

Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hv2times	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hv2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12429	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7450	. . 3 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 + 1) ·ℎ 𝐴)
3		ax-1cn 11282	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-hvdistr2 31638	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
6	2, 5	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
7		ax-hvdistr1 31637	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
8	3, 7	mp3an1 1478	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
9	8	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
10		hvaddcl 31641	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
11	10	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 31635	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225   + caddc 11227  2c2 12421   ℋchba 31548   +_ℎ cva 31549   ·_ℎ csm 31550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-1cn 11282  ax-hfvadd 31629  ax-hvmulid 31635  ax-hvdistr1 31637  ax-hvdistr2 31638

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-2 12429

This theorem is used by:  hvsubcan2i  31693  mayete3i  32357