![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hv2times | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hv2times | โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = (๐ด +โ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-2 12305 | . . . 4 โข 2 = (1 + 1) | |
2 | 1 | oveq1i 7430 | . . 3 โข (2 ยทโ ๐ด) = ((1 + 1) ยทโ ๐ด) |
3 | ax-1cn 11196 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
4 | ax-hvdistr2 30818 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง 1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((1 + 1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) | |
5 | 3, 3, 4 | mp3an12 1448 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((1 + 1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
6 | 2, 5 | eqtrid 2780 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
7 | ax-hvdistr1 30817 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) | |
8 | 3, 7 | mp3an1 1445 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
9 | 8 | anidms 566 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
10 | hvaddcl 30821 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด +โ ๐ด) โ โ) | |
11 | 10 | anidms 566 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด +โ ๐ด) โ โ) |
12 | ax-hvmulid 30815 | . . 3 โข ((๐ด +โ ๐ด) โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = (๐ด +โ ๐ด)) | |
13 | 11, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = (๐ด +โ ๐ด)) |
14 | 6, 9, 13 | 3eqtr2d 2774 | 1 โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = (๐ด +โ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7420 โcc 11136 1c1 11139 + caddc 11141 2c2 12297 โchba 30728 +โ cva 30729 ยทโ csm 30730 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 ax-1cn 11196 ax-hfvadd 30809 ax-hvmulid 30815 ax-hvdistr1 30817 ax-hvdistr2 30818 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-fv 6556 df-ov 7423 df-2 12305 |
This theorem is referenced by: hvsubcan2i 30873 mayete3i 31537 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |