HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2times 31080
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2times (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem hv2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12329 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7441 . . 3 (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 ax-hvdistr2 31028 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1453 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
62, 5eqtrid 2789 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7 ax-hvdistr1 31027 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
83, 7mp3an1 1450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
98anidms 566 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
10 hvaddcl 31031 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ)
1110anidms 566 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 31025 . . 3 ((𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
146, 9, 133eqtr2d 2783 1 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-hfvadd 31019  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-2 12329
This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  31083  mayete3i  31747
  Copyright terms: Public domain W3C validator