HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2times 30052
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2times (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))

Proof of Theorem hv2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12224 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7371 . . 3 (2 ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด)
3 ax-1cn 11117 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 ax-hvdistr2 30000 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
53, 3, 4mp3an12 1452 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 + 1) ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
62, 5eqtrid 2785 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
7 ax-hvdistr1 29999 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
83, 7mp3an1 1449 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
98anidms 568 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = ((1 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (1 ยทโ„Ž ๐ด)))
10 hvaddcl 30003 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
1110anidms 568 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 29997 . . 3 ((๐ด +โ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
1311, 12syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž ๐ด)) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
146, 9, 133eqtr2d 2779 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062  2c2 12216   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-1cn 11117  ax-hfvadd 29991  ax-hvmulid 29997  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-2 12224
This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  30055  mayete3i  30719
  Copyright terms: Public domain W3C validator