Theorem hv2times 31041

Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hv2times	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hv2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12188	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 + 1) ·ℎ 𝐴)
3		ax-1cn 11064	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-hvdistr2 30989	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
6	2, 5	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
7		ax-hvdistr1 30988	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
8	3, 7	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
10		hvaddcl 30992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
11	10	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 30986	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009  2c2 12180   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-1cn 11064  ax-hfvadd 30980  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-2 12188

This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  31044  mayete3i  31708