![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hv2times | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hv2times | โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = (๐ด +โ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-2 12224 | . . . 4 โข 2 = (1 + 1) | |
2 | 1 | oveq1i 7371 | . . 3 โข (2 ยทโ ๐ด) = ((1 + 1) ยทโ ๐ด) |
3 | ax-1cn 11117 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
4 | ax-hvdistr2 30000 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง 1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((1 + 1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) | |
5 | 3, 3, 4 | mp3an12 1452 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((1 + 1) ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
6 | 2, 5 | eqtrid 2785 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
7 | ax-hvdistr1 29999 | . . . 4 โข ((1 โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) | |
8 | 3, 7 | mp3an1 1449 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
9 | 8 | anidms 568 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = ((1 ยทโ ๐ด) +โ (1 ยทโ ๐ด))) |
10 | hvaddcl 30003 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ด +โ ๐ด) โ โ) | |
11 | 10 | anidms 568 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด +โ ๐ด) โ โ) |
12 | ax-hvmulid 29997 | . . 3 โข ((๐ด +โ ๐ด) โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = (๐ด +โ ๐ด)) | |
13 | 11, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (1 ยทโ (๐ด +โ ๐ด)) = (๐ด +โ ๐ด)) |
14 | 6, 9, 13 | 3eqtr2d 2779 | 1 โข (๐ด โ โ โ (2 ยทโ ๐ด) = (๐ด +โ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7361 โcc 11057 1c1 11060 + caddc 11062 2c2 12216 โchba 29910 +โ cva 29911 ยทโ csm 29912 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 ax-1cn 11117 ax-hfvadd 29991 ax-hvmulid 29997 ax-hvdistr1 29999 ax-hvdistr2 30000 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-fv 6508 df-ov 7364 df-2 12224 |
This theorem is referenced by: hvsubcan2i 30055 mayete3i 30719 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |