Theorem hv2times 31117

Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hv2times	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Proof of Theorem hv2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12210	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 + 1) ·ℎ 𝐴)
3		ax-1cn 11086	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-hvdistr2 31065	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
6	2, 5	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
7		ax-hvdistr1 31064	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
8	3, 7	mp3an1 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = ((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (1 ·ℎ 𝐴)))
10		hvaddcl 31068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
11	10	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 31062	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝐴 +ℎ 𝐴)) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
14	6, 9, 13	3eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031  2c2 12202   ℋchba 30975   +_ℎ cva 30976   ·_ℎ csm 30977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-1cn 11086  ax-hfvadd 31056  ax-hvmulid 31062  ax-hvdistr1 31064  ax-hvdistr2 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-ov 7361  df-2 12210

This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  31120  mayete3i  31784