Theorem hvsubcan2i 31000

Description: Vector cancellation law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2i	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvsubcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30956	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7437	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12380	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30950	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	1, 2, 1, 6	hvadd4i 30994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		hv2times 30997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴)
10	9	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐴) = (2 ·ℎ 𝐴)
11	2	hvnegidi 30966	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	10, 11	oveq12i 7438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
13	7, 12	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
14		2cn 12341	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	14, 1	hvmulcli 30950	. . . 4 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16		ax-hvaddid 30940	. . . 4 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴)
18	13, 17	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (2 ·ℎ 𝐴)
19	4, 18	eqtri 2754	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7426  1c1 11161  -cneg 11497  2c2 12321   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  0_ℎc0v 30860   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-2 12329  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  normpar2i  31092