HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcan2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcan2i 31000
Description: Vector cancellation law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubcan2i ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) = (2 · 𝐴)

Proof of Theorem hvsubcan2i
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 30956 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43oveq2i 7437 . 2 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5 neg1cn 12380 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
65, 2hvmulcli 30950 . . . . 5 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
71, 2, 1, 6hvadd4i 30994 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + (-1 · 𝐵)))
8 hv2times 30997 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴)
109eqcomi 2735 . . . . 5 (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴)
112hvnegidi 30966 . . . . 5 (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0
1210, 11oveq12i 7438 . . . 4 ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = ((2 · 𝐴) + 0)
137, 12eqtri 2754 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((2 · 𝐴) + 0)
14 2cn 12341 . . . . 5 2 ∈ ℂ
1514, 1hvmulcli 30950 . . . 4 (2 · 𝐴) ∈ ℋ
16 ax-hvaddid 30940 . . . 4 ((2 · 𝐴) ∈ ℋ → ((2 · 𝐴) + 0) = (2 · 𝐴))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ((2 · 𝐴) + 0) = (2 · 𝐴)
1813, 17eqtri 2754 . 2 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (2 · 𝐴)
194, 18eqtri 2754 1 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) = (2 · 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7426  1c1 11161  -cneg 11497  2c2 12321  chba 30855   + cva 30856   · csm 30857  0c0v 30860   cmv 30861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-2 12329  df-hvsub 30907
This theorem is referenced by:  normpar2i  31092
  Copyright terms: Public domain W3C validator