Theorem hvsubcan2i 31673

Description: Vector cancellation law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2i	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvsubcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31629	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7433	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12310	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 31623	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	1, 2, 1, 6	hvadd4i 31667	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		hv2times 31670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴)
10	9	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐴) = (2 ·ℎ 𝐴)
11	2	hvnegidi 31639	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	10, 11	oveq12i 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
13	7, 12	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
14		2cn 12423	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	14, 1	hvmulcli 31623	. . . 4 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16		ax-hvaddid 31613	. . . 4 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴)
18	13, 17	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (2 ·ℎ 𝐴)
19	4, 18	eqtri 2783	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  1c1 11206   -cneg 11547  2c2 12402   ℋchba 31528   +_ℎ cva 31529   ·_ℎ csm 31530  0_ℎc0v 31533   −_ℎ cmv 31534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-hfvadd 31609  ax-hvcom 31610  ax-hvass 31611  ax-hvaddid 31613  ax-hfvmul 31614  ax-hvmulid 31615  ax-hvdistr1 31617  ax-hvdistr2 31618  ax-hvmul0 31619

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353  df-sub 11548  df-neg 11549  df-2 12410  df-hvsub 31580

This theorem is used by:  normpar2i  31765