Theorem hvsubcan2i 31723

Description: Vector cancellation law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2i	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvsubcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7462	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12345	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 31673	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	1, 2, 1, 6	hvadd4i 31717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		hv2times 31720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴)
10	9	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐴) = (2 ·ℎ 𝐴)
11	2	hvnegidi 31689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	10, 11	oveq12i 7463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
13	7, 12	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
14		2cn 12458	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	14, 1	hvmulcli 31673	. . . 4 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16		ax-hvaddid 31663	. . . 4 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴)
18	13, 17	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (2 ·ℎ 𝐴)
19	4, 18	eqtri 2786	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   -cneg 11581  2c2 12437   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  0_ℎc0v 31583   −_ℎ cmv 31584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-2 12445  df-hvsub 31630

This theorem is used by:  normpar2i  31815