Theorem hvsubcan2i 31153

Description: Vector cancellation law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2i	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvsubcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31109	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7367	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12135	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 31103	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	1, 2, 1, 6	hvadd4i 31147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		hv2times 31150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴)
10	9	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐴) = (2 ·ℎ 𝐴)
11	2	hvnegidi 31119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	10, 11	oveq12i 7368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
13	7, 12	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
14		2cn 12247	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	14, 1	hvmulcli 31103	. . . 4 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16		ax-hvaddid 31093	. . . 4 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴)
18	13, 17	eqtri 2762	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (2 ·ℎ 𝐴)
19	4, 18	eqtri 2762	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030  -cneg 11369  2c2 12227   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  0_ℎc0v 31013   −_ℎ cmv 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-2 12235  df-hvsub 31060

This theorem is referenced by:  normpar2i  31245