Theorem hvsubcan2i 30305

Description: Vector cancellation law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan2i	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvsubcan2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30261	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7417	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12323	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30255	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	1, 2, 1, 6	hvadd4i 30299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		hv2times 30302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐴)
10	9	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐴) = (2 ·ℎ 𝐴)
11	2	hvnegidi 30271	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	10, 11	oveq12i 7418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐴) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
13	7, 12	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ)
14		2cn 12284	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	14, 1	hvmulcli 30255	. . . 4 ⊢ (2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16		ax-hvaddid 30245	. . . 4 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2 ·ℎ 𝐴) +ℎ 0ℎ) = (2 ·ℎ 𝐴)
18	13, 17	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (2 ·ℎ 𝐴)
19	4, 18	eqtri 2761	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (2 ·ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  1c1 11108  -cneg 11442  2c2 12264   ℋchba 30160   +_ℎ cva 30161   ·_ℎ csm 30162  0_ℎc0v 30165   −_ℎ cmv 30166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443  df-neg 11444  df-2 12272  df-hvsub 30212

This theorem is referenced by:  normpar2i  30397