Theorem mayete3i 31799

Description: Mayet's equation E₃. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayete3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayete3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayete3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayete3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayete3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayete3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayete3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayete3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayete3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayete3i	⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
2		mayete3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mayete3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcli 31528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
5		mayete3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6	4, 5	chjcli 31528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
7	6	cheli 31303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		mayete3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
9	7, 8	eleq2s 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ ℋ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
11	1, 10	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 31077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
13		2cn 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
15		recid2 11824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
17	16	oveq1i 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = (1 ·ℎ 𝑥)
18		halfcn 12391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19		ax-hvmulass 31078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
20	18, 13, 19	mp3an12 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
21	17, 20	eqtr3id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
22	12, 21	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
24		hv2times 31132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ 𝑥))
25	24	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
27		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
29		mayete3.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
30	29	elin2 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
31		elin 3905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
32		mayete3.ab	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33		mayete3.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
34	2, 33	pjdsi 31783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
35	32, 34	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
36		mayete3.cd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37		mayete3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
38	3, 37	pjdsi 31783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
39	36, 38	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
40	35, 39	oveqan12d 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
41	31, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
42		inss1 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
43	42	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
44	2, 33	chjcli 31528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
45	44	cheli 31303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
46	2	pjhcli 31489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
47	33	pjhcli 31489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
48	3	pjhcli 31489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
49	37	pjhcli 31489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50		hvadd4 31107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
51	46, 47, 48, 49, 50	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
52	43, 45, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
53	41, 52	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
54		mayete3.fg	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55		mayete3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
56	5, 55	pjdsi 31783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
57	54, 56	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
58	53, 57	oveqan12d 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
59	30, 58	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
60	28, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
61		hvaddcl 31083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
62	46, 48, 61	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63		hvaddcl 31083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
64	47, 49, 63	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
65	5	pjhcli 31489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
66	55	pjhcli 31489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67		hvadd4 31107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
68	62, 64, 65, 66, 67	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
69	11, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
70	26, 60, 69	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
71		inss1 4177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
72	71	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
73	72, 8	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
74		mayete3.ac	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75		mayete3.af	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76		mayete3.cf	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
77	2, 3, 5	pjds3i 31784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
78	75, 76, 77	mpanr12 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
79	73, 74, 78	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
80	70, 79	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))))
81		hvmulcl 31084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
82	13, 81	mpan 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
83		hvpncan 31110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
84	82, 83	mpancom 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
85	11, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
86	80, 85	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = (2 ·ℎ 𝑥))
87		hvaddcl 31083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
88	62, 65, 87	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89		hvaddcl 31083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
90	64, 66, 89	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91		hvpncan2 31111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
92	88, 90, 91	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
93	11, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
94	86, 93	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
95	33	pjcli 31488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
96	37	pjcli 31488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
97	33	chshii 31298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
98	37	chshii 31298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
99	97, 98	shsvai 31435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
100	95, 96, 99	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
101	55	pjcli 31488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
102	97, 98	shscli 31388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
103	55	chshii 31298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
104	102, 103	shsvai 31435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
105	100, 101, 104	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
106	11, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
107	94, 106	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
108	102, 103	shscli 31388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
109		shmulcl 31289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
110	108, 18, 109	mp3an12 1454	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
111	107, 110	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
112	23, 111	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
113	112	ssriv 3925	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
114	33, 37	chsleji 31529	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷)
115	33, 37	chjcli 31528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
116	115	chshii 31298	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
117	102, 116, 103	shlessi 31448	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) → ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
118	114, 117	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
119	113, 118	sstri 3931	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
120	115, 55	chsleji 31529	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
121	119, 120	sstri 3931	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
122		mayete3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
123	121, 122	sseqtrri 3971	1 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807  2c2 12236   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991   ·_ℎ csm 30992   −_ℎ cmv 30996   S_ℋ csh 30999   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001   +_ℋ cph 31002   ∨_ℋ chj 31004  proj_ℎcpjh 31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-shs 31379  df-chj 31381  df-pjh 31466

This theorem is referenced by:  mayetes3i  31800