Theorem mayete3i 31821

Description: Mayet's equation E₃. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayete3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayete3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayete3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayete3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayete3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayete3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayete3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayete3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayete3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayete3i	⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
2		mayete3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mayete3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcli 31550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
5		mayete3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6	4, 5	chjcli 31550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
7	6	cheli 31325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		mayete3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
9	7, 8	eleq2s 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ ℋ)
10	9	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
11	1, 10	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 31099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
13		2cn 12251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
15		recid2 11819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
17	16	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = (1 ·ℎ 𝑥)
18		halfcn 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19		ax-hvmulass 31100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
20	18, 13, 19	mp3an12 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
21	17, 20	eqtr3id 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
22	12, 21	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
24		hv2times 31154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ 𝑥))
25	24	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
27		inss2 4169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
29		mayete3.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
30	29	elin2 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
31		elin 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
32		mayete3.ab	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33		mayete3.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
34	2, 33	pjdsi 31805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
35	32, 34	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
36		mayete3.cd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37		mayete3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
38	3, 37	pjdsi 31805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
39	36, 38	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
40	35, 39	oveqan12d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
41	31, 40	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
42		inss1 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
43	42	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
44	2, 33	chjcli 31550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
45	44	cheli 31325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
46	2	pjhcli 31511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
47	33	pjhcli 31511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
48	3	pjhcli 31511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
49	37	pjhcli 31511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50		hvadd4 31129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
51	46, 47, 48, 49, 50	syl22anc 845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
52	43, 45, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
53	41, 52	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
54		mayete3.fg	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55		mayete3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
56	5, 55	pjdsi 31805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
57	54, 56	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
58	53, 57	oveqan12d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
59	30, 58	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
60	28, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
61		hvaddcl 31105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
62	46, 48, 61	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63		hvaddcl 31105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
64	47, 49, 63	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
65	5	pjhcli 31511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
66	55	pjhcli 31511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67		hvadd4 31129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
68	62, 64, 65, 66, 67	syl22anc 845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
69	11, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
70	26, 60, 69	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
71		inss1 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
72	71	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
73	72, 8	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
74		mayete3.ac	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75		mayete3.af	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76		mayete3.cf	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
77	2, 3, 5	pjds3i 31806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
78	75, 76, 77	mpanr12 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
79	73, 74, 78	sylancl 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
80	70, 79	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))))
81		hvmulcl 31106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
82	13, 81	mpan 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
83		hvpncan 31132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
84	82, 83	mpancom 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
85	11, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
86	80, 85	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = (2 ·ℎ 𝑥))
87		hvaddcl 31105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
88	62, 65, 87	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89		hvaddcl 31105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
90	64, 66, 89	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91		hvpncan2 31133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
92	88, 90, 91	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
93	11, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
94	86, 93	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
95	33	pjcli 31510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
96	37	pjcli 31510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
97	33	chshii 31320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
98	37	chshii 31320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
99	97, 98	shsvai 31457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
100	95, 96, 99	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
101	55	pjcli 31510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
102	97, 98	shscli 31410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
103	55	chshii 31320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
104	102, 103	shsvai 31457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
105	100, 101, 104	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
106	11, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
107	94, 106	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
108	102, 103	shscli 31410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
109		shmulcl 31311	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
110	108, 18, 109	mp3an12 1460	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
111	107, 110	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
112	23, 111	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
113	112	ssriv 3921	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
114	33, 37	chsleji 31551	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷)
115	33, 37	chjcli 31550	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
116	115	chshii 31320	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
117	102, 116, 103	shlessi 31470	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) → ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
118	114, 117	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
119	113, 118	sstri 3926	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
120	115, 55	chsleji 31551	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
121	119, 120	sstri 3926	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
122		mayete3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
123	121, 122	sseqtrri 3966	1 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038   / cdiv 11802  2c2 12231   ℋchba 31012   +_ℎ cva 31013   ·_ℎ csm 31014   −_ℎ cmv 31018   S_ℋ csh 31021   C_ℋ cch 31022  ⊥cort 31023   +_ℋ cph 31024   ∨_ℋ chj 31026  proj_ℎcpjh 31030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31092  ax-hfvadd 31093  ax-hvcom 31094  ax-hvass 31095  ax-hv0cl 31096  ax-hvaddid 31097  ax-hfvmul 31098  ax-hvmulid 31099  ax-hvmulass 31100  ax-hvdistr1 31101  ax-hvdistr2 31102  ax-hvmul0 31103  ax-hfi 31172  ax-his1 31175  ax-his2 31176  ax-his3 31177  ax-his4 31178  ax-hcompl 31295

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-lm 23216  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cfil 25244  df-cau 25245  df-cmet 25246  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-gdiv 30589  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-vs 30692  df-nmcv 30693  df-ims 30694  df-dip 30794  df-ssp 30815  df-ph 30906  df-cbn 30956  df-hnorm 31061  df-hba 31062  df-hvsub 31064  df-hlim 31065  df-hcau 31066  df-sh 31300  df-ch 31314  df-oc 31345  df-ch0 31346  df-shs 31401  df-chj 31403  df-pjh 31488

This theorem is referenced by:  mayetes3i  31822