Theorem mayete3i 32330

Description: Mayet's equation E₃. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayete3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayete3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayete3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayete3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayete3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayete3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayete3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayete3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayete3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayete3i	⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
2		mayete3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mayete3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcli 32059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
5		mayete3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6	4, 5	chjcli 32059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
7	6	cheli 31834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		mayete3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
9	7, 8	eleq2s 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ ℋ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
11	1, 10	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 31608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
13		2cn 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
15		recid2 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
17	16	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = (1 ·ℎ 𝑥)
18		halfcn 12560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19		ax-hvmulass 31609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
20	18, 13, 19	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
21	17, 20	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
22	12, 21	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
23	11, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
24		hv2times 31663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ 𝑥))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
26	11, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
27		inss2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	sseli 3904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
29		mayete3.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
30	29	elin2 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
31		elin 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
32		mayete3.ab	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33		mayete3.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
34	2, 33	pjdsi 32314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
35	32, 34	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
36		mayete3.cd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37		mayete3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
38	3, 37	pjdsi 32314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
39	36, 38	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
40	35, 39	oveqan12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
41	31, 40	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
42		inss1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
43	42	sseli 3904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
44	2, 33	chjcli 32059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
45	44	cheli 31834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
46	2	pjhcli 32020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
47	33	pjhcli 32020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
48	3	pjhcli 32020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
49	37	pjhcli 32020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50		hvadd4 31638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
51	46, 47, 48, 49, 50	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
52	43, 45, 51	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
53	41, 52	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
54		mayete3.fg	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55		mayete3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
56	5, 55	pjdsi 32314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
57	54, 56	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
58	53, 57	oveqan12d 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
59	30, 58	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
60	28, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
61		hvaddcl 31614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
62	46, 48, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63		hvaddcl 31614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
64	47, 49, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
65	5	pjhcli 32020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
66	55	pjhcli 32020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67		hvadd4 31638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
68	62, 64, 65, 66, 67	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
69	11, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
70	26, 60, 69	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
71		inss1 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
72	71	sseli 3904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
73	72, 8	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
74		mayete3.ac	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75		mayete3.af	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76		mayete3.cf	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
77	2, 3, 5	pjds3i 32315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
78	75, 76, 77	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
79	73, 74, 78	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
80	70, 79	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))))
81		hvmulcl 31615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
82	13, 81	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
83		hvpncan 31641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
84	82, 83	mpancom 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
85	11, 84	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
86	80, 85	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = (2 ·ℎ 𝑥))
87		hvaddcl 31614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
88	62, 65, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89		hvaddcl 31614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
90	64, 66, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91		hvpncan2 31642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
92	88, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
93	11, 92	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
94	86, 93	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
95	33	pjcli 32019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
96	37	pjcli 32019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
97	33	chshii 31829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
98	37	chshii 31829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
99	97, 98	shsvai 31966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
100	95, 96, 99	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
101	55	pjcli 32019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
102	97, 98	shscli 31919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
103	55	chshii 31829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
104	102, 103	shsvai 31966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
105	100, 101, 104	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
106	11, 105	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
107	94, 106	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
108	102, 103	shscli 31919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
109		shmulcl 31820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
110	108, 18, 109	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
111	107, 110	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
112	23, 111	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
113	112	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
114	33, 37	chsleji 32060	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷)
115	33, 37	chjcli 32059	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
116	115	chshii 31829	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
117	102, 116, 103	shlessi 31979	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) → ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
118	114, 117	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
119	113, 118	sstri 3917	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
120	115, 55	chsleji 32060	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
121	119, 120	sstri 3917	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
122		mayete3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
123	121, 122	sseqtrri 3957	1 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   / cdiv 11973  2c2 12397   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   −_ℎ cmv 31527   S_ℋ csh 31530   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532   +_ℋ cph 31533   ∨_ℋ chj 31535  proj_ℎcpjh 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-chj 31912  df-pjh 31997

This theorem is used by:  mayetes3i  32331