HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 30981
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a ๐ด โˆˆ Cโ„‹
mayete3.b ๐ต โˆˆ Cโ„‹
mayete3.c ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.d ๐ท โˆˆ Cโ„‹
mayete3.f ๐น โˆˆ Cโ„‹
mayete3.g ๐บ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.ac ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
mayete3.af ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.cf ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.ab ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
mayete3.cd ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
mayete3.fg ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
mayete3.x ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
mayete3.y ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
mayete3.z ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3965 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
42, 3chjcli 30710 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆˆ Cโ„‹
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น โˆˆ Cโ„‹
64, 5chjcli 30710 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆˆ Cโ„‹
76cheli 30485 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
97, 8eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
111, 10sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 30259 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
13 2cn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
14 2ne0 12316 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
15 recid2 11887 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((1 / 2) ยท 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ยท 2) = 1
1716oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)
18 halfcn 12427 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
19 ax-hvmulass 30260 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2018, 13, 19mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2117, 20eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2212, 21eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
24 hv2times 30314 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ))
2524oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
27 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘Œ
2827sseli 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
3029elin2 4198 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)))
31 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ต โˆˆ Cโ„‹
342, 33pjdsi 30965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
3532, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ท โˆˆ Cโ„‹
383, 37pjdsi 30965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
3936, 38mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
4035, 39oveqan12d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
4131, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
42 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โŠ† (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)
4342sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต))
442, 33chjcli 30710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆˆ Cโ„‹
4544cheli 30485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
462pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4733pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
483pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4937pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
50 hvadd4 30289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5341, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
565, 55pjdsi 30965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โˆง ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5754, 56mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5853, 57oveqan12d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
5930, 58sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
61 hvaddcl 30265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6246, 48, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
63 hvaddcl 30265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6447, 49, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
655pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
6655pjhcli 30671 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
67 hvadd4 30289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
7026, 60, 693eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
71 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘‹
7271sseli 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
7372, 8eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
772, 3, 5pjds3i 30966 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โˆง (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7875, 76, 77mpanr12 704 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7973, 74, 78sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
8070, 79oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))))
81 hvmulcl 30266 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8213, 81mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
83 hvpncan 30292 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8482, 83mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8680, 85eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
87 hvaddcl 30265 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
8862, 65, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
89 hvaddcl 30265 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
9064, 66, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
91 hvpncan2 30293 . . . . . . . . . . 11 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9288, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9486, 93eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9533pjcli 30670 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
9637pjcli 30670 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
9733chshii 30480 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
9837chshii 30480 . . . . . . . . . . . 12 ๐ท โˆˆ Sโ„‹
9997, 98shsvai 30617 . . . . . . . . . . 11 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10095, 96, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10155pjcli 30670 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ)
10297, 98shscli 30570 . . . . . . . . . . 11 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
10355chshii 30480 . . . . . . . . . . 11 ๐บ โˆˆ Sโ„‹
104102, 103shsvai 30617 . . . . . . . . . 10 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
105100, 101, 104syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10794, 106eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
108102, 103shscli 30570 . . . . . . . 8 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹
109 shmulcl 30471 . . . . . . . 8 ((((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
110108, 18, 109mp3an12 1452 . . . . . . 7 ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
11223, 111eqeltrd 2834 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
113112ssriv 3987 . . . 4 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
11433, 37chsleji 30711 . . . . 5 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท)
11533, 37chjcli 30710 . . . . . . 7 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Cโ„‹
116115chshii 30480 . . . . . 6 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
117102, 116, 103shlessi 30630 . . . . 5 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
119113, 118sstri 3992 . . 3 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
120115, 55chsleji 30711 . . 3 ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
121119, 120sstri 3992 . 2 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
122 mayete3.z . 2 ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
123121, 122sseqtrri 4020 1 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   / cdiv 11871  2c2 12267   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174   โˆ’โ„Ž cmv 30178   Sโ„‹ csh 30181   Cโ„‹ cch 30182  โŠฅcort 30183   +โ„‹ cph 30184   โˆจโ„‹ chj 30186  projโ„Žcpjh 30190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-chj 30563  df-pjh 30648
This theorem is referenced by:  mayetes3i  30982
  Copyright terms: Public domain W3C validator