HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 30959
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a ๐ด โˆˆ Cโ„‹
mayete3.b ๐ต โˆˆ Cโ„‹
mayete3.c ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.d ๐ท โˆˆ Cโ„‹
mayete3.f ๐น โˆˆ Cโ„‹
mayete3.g ๐บ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.ac ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
mayete3.af ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.cf ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.ab ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
mayete3.cd ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
mayete3.fg ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
mayete3.x ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
mayete3.y ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
mayete3.z ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
42, 3chjcli 30688 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆˆ Cโ„‹
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น โˆˆ Cโ„‹
64, 5chjcli 30688 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆˆ Cโ„‹
76cheli 30463 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
97, 8eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
111, 10sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 30237 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
13 2cn 12283 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
14 2ne0 12312 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
15 recid2 11883 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((1 / 2) ยท 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ยท 2) = 1
1716oveq1i 7414 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)
18 halfcn 12423 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
19 ax-hvmulass 30238 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2018, 13, 19mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2117, 20eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2212, 21eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
24 hv2times 30292 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ))
2524oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
27 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘Œ
2827sseli 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
3029elin2 4196 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)))
31 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ต โˆˆ Cโ„‹
342, 33pjdsi 30943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
3532, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ท โˆˆ Cโ„‹
383, 37pjdsi 30943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
3936, 38mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
4035, 39oveqan12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
4131, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
42 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โŠ† (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)
4342sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต))
442, 33chjcli 30688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆˆ Cโ„‹
4544cheli 30463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
462pjhcli 30649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4733pjhcli 30649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
483pjhcli 30649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4937pjhcli 30649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
50 hvadd4 30267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5341, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
565, 55pjdsi 30943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โˆง ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5754, 56mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5853, 57oveqan12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
5930, 58sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
61 hvaddcl 30243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6246, 48, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
63 hvaddcl 30243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6447, 49, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
655pjhcli 30649 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
6655pjhcli 30649 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
67 hvadd4 30267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
7026, 60, 693eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
71 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘‹
7271sseli 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
7372, 8eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
772, 3, 5pjds3i 30944 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โˆง (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7875, 76, 77mpanr12 704 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7973, 74, 78sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
8070, 79oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))))
81 hvmulcl 30244 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8213, 81mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
83 hvpncan 30270 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8482, 83mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8680, 85eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
87 hvaddcl 30243 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
8862, 65, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
89 hvaddcl 30243 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
9064, 66, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
91 hvpncan2 30271 . . . . . . . . . . 11 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9288, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9486, 93eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9533pjcli 30648 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
9637pjcli 30648 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
9733chshii 30458 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
9837chshii 30458 . . . . . . . . . . . 12 ๐ท โˆˆ Sโ„‹
9997, 98shsvai 30595 . . . . . . . . . . 11 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10095, 96, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10155pjcli 30648 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ)
10297, 98shscli 30548 . . . . . . . . . . 11 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
10355chshii 30458 . . . . . . . . . . 11 ๐บ โˆˆ Sโ„‹
104102, 103shsvai 30595 . . . . . . . . . 10 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
105100, 101, 104syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10794, 106eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
108102, 103shscli 30548 . . . . . . . 8 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹
109 shmulcl 30449 . . . . . . . 8 ((((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
110108, 18, 109mp3an12 1452 . . . . . . 7 ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
11223, 111eqeltrd 2834 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
113112ssriv 3985 . . . 4 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
11433, 37chsleji 30689 . . . . 5 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท)
11533, 37chjcli 30688 . . . . . . 7 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Cโ„‹
116115chshii 30458 . . . . . 6 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
117102, 116, 103shlessi 30608 . . . . 5 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
119113, 118sstri 3990 . . 3 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
120115, 55chsleji 30689 . . 3 ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
121119, 120sstri 3990 . 2 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
122 mayete3.z . 2 ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
123121, 122sseqtrri 4018 1 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   / cdiv 11867  2c2 12263   โ„‹chba 30150   +โ„Ž cva 30151   ยทโ„Ž csm 30152   โˆ’โ„Ž cmv 30156   Sโ„‹ csh 30159   Cโ„‹ cch 30160  โŠฅcort 30161   +โ„‹ cph 30162   โˆจโ„‹ chj 30164  projโ„Žcpjh 30168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-chj 30541  df-pjh 30626
This theorem is referenced by:  mayetes3i  30960
  Copyright terms: Public domain W3C validator