HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 29159
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a 𝐴C
mayete3.b 𝐵C
mayete3.c 𝐶C
mayete3.d 𝐷C
mayete3.f 𝐹C
mayete3.g 𝐺C
mayete3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayete3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayete3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 4019 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶C
42, 3chjcli 28888 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ∈ C
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹C
64, 5chjcli 28888 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
76cheli 28661 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
97, 8eleq2s 2877 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝑥 ∈ ℋ)
109adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑋𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
111, 10sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 28435 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13 2cn 11450 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
14 2ne0 11486 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
15 recid2 11048 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 682 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · 2) = 1
1716oveq1i 6932 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = (1 · 𝑥)
18 halfcn 11597 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
19 ax-hvmulass 28436 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2018, 13, 19mp3an12 1524 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2117, 20syl5eqr 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2212, 21eqtr3d 2816 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
24 hv2times 28490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) = (𝑥 + 𝑥))
2524oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
27 inss2 4054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827sseli 3817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑌)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
3029elin2 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)))
31 elin 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵C
342, 33pjdsi 29143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
3532, 34mpan2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷C
383, 37pjdsi 29143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
3936, 38mpan2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
4035, 39oveqan12d 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
4131, 40sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
42 inss1 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)
4342sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 𝐵))
442, 33chjcli 28888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
4544cheli 28661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
462pjhcli 28849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
4733pjhcli 28849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
483pjhcli 28849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
4937pjhcli 28849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50 hvadd4 28465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5341, 52eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺C
565, 55pjdsi 29143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5754, 56mpan2 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5853, 57oveqan12d 6941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
5930, 58sylbi 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑌 → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
61 hvaddcl 28441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6246, 48, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63 hvaddcl 28441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6447, 49, 63syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
655pjhcli 28849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
6655pjhcli 28849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67 hvadd4 28465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
7026, 60, 693eqtrd 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
71 inss1 4053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
7271sseli 3817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑋)
7372, 8syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
772, 3, 5pjds3i 29144 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7875, 76, 77mpanr12 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7973, 74, 78sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
8070, 79oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))))
81 hvmulcl 28442 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
8213, 81mpan 680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
83 hvpncan 28468 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8482, 83mpancom 678 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8680, 85eqtr3d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = (2 · 𝑥))
87 hvaddcl 28441 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
8862, 65, 87syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89 hvaddcl 28441 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
9064, 66, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91 hvpncan2 28469 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9288, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9486, 93eqtr3d 2816 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9533pjcli 28848 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
9637pjcli 28848 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
9733chshii 28656 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
9837chshii 28656 . . . . . . . . . . . 12 𝐷S
9997, 98shsvai 28795 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10095, 96, 99syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10155pjcli 28848 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
10297, 98shscli 28748 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 + 𝐷) ∈ S
10355chshii 28656 . . . . . . . . . . 11 𝐺S
104102, 103shsvai 28795 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷) ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
105100, 101, 104syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10794, 106eqeltrd 2859 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
108102, 103shscli 28748 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S
109 shmulcl 28647 . . . . . . . 8 ((((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
110108, 18, 109mp3an12 1524 . . . . . . 7 ((2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
11223, 111eqeltrd 2859 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
113112ssriv 3825 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)
11433, 37chsleji 28889 . . . . 5 (𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷)
11533, 37chjcli 28888 . . . . . . 7 (𝐵 𝐷) ∈ C
116115chshii 28656 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ S
117102, 116, 103shlessi 28808 . . . . 5 ((𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
119113, 118sstri 3830 . . 3 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
120115, 55chsleji 28889 . . 3 ((𝐵 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
121119, 120sstri 3830 . 2 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
122 mayete3.z . 2 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
123121, 122sseqtr4i 3857 1 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cin 3791  wss 3792  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   / cdiv 11032  2c2 11430  chba 28348   + cva 28349   · csm 28350   cmv 28354   S csh 28357   C cch 28358  cort 28359   + cph 28360   chj 28362  projcpjh 28366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-chj 28741  df-pjh 28826
This theorem is referenced by:  mayetes3i  29160
  Copyright terms: Public domain W3C validator