HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 31019
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a ๐ด โˆˆ Cโ„‹
mayete3.b ๐ต โˆˆ Cโ„‹
mayete3.c ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.d ๐ท โˆˆ Cโ„‹
mayete3.f ๐น โˆˆ Cโ„‹
mayete3.g ๐บ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.ac ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
mayete3.af ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.cf ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.ab ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
mayete3.cd ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
mayete3.fg ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
mayete3.x ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
mayete3.y ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
mayete3.z ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3964 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
42, 3chjcli 30748 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆˆ Cโ„‹
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น โˆˆ Cโ„‹
64, 5chjcli 30748 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆˆ Cโ„‹
76cheli 30523 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
97, 8eleq2s 2851 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
111, 10sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 30297 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
13 2cn 12289 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
14 2ne0 12318 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
15 recid2 11889 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((1 / 2) ยท 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ยท 2) = 1
1716oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)
18 halfcn 12429 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
19 ax-hvmulass 30298 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2018, 13, 19mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2117, 20eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2212, 21eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
24 hv2times 30352 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ))
2524oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
27 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘Œ
2827sseli 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
3029elin2 4197 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)))
31 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ต โˆˆ Cโ„‹
342, 33pjdsi 31003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
3532, 34mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ท โˆˆ Cโ„‹
383, 37pjdsi 31003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
3936, 38mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
4035, 39oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
4131, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
42 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โŠ† (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)
4342sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต))
442, 33chjcli 30748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆˆ Cโ„‹
4544cheli 30523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
462pjhcli 30709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4733pjhcli 30709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
483pjhcli 30709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4937pjhcli 30709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
50 hvadd4 30327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5341, 52eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
565, 55pjdsi 31003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โˆง ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5754, 56mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5853, 57oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
5930, 58sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
61 hvaddcl 30303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6246, 48, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
63 hvaddcl 30303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6447, 49, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
655pjhcli 30709 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
6655pjhcli 30709 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
67 hvadd4 30327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
7026, 60, 693eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
71 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘‹
7271sseli 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
7372, 8eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
772, 3, 5pjds3i 31004 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โˆง (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7875, 76, 77mpanr12 703 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7973, 74, 78sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
8070, 79oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))))
81 hvmulcl 30304 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8213, 81mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
83 hvpncan 30330 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8482, 83mpancom 686 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8680, 85eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
87 hvaddcl 30303 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
8862, 65, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
89 hvaddcl 30303 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
9064, 66, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
91 hvpncan2 30331 . . . . . . . . . . 11 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9288, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9486, 93eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9533pjcli 30708 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
9637pjcli 30708 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
9733chshii 30518 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
9837chshii 30518 . . . . . . . . . . . 12 ๐ท โˆˆ Sโ„‹
9997, 98shsvai 30655 . . . . . . . . . . 11 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10095, 96, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10155pjcli 30708 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ)
10297, 98shscli 30608 . . . . . . . . . . 11 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
10355chshii 30518 . . . . . . . . . . 11 ๐บ โˆˆ Sโ„‹
104102, 103shsvai 30655 . . . . . . . . . 10 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
105100, 101, 104syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10794, 106eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
108102, 103shscli 30608 . . . . . . . 8 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹
109 shmulcl 30509 . . . . . . . 8 ((((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
110108, 18, 109mp3an12 1451 . . . . . . 7 ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
11223, 111eqeltrd 2833 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
113112ssriv 3986 . . . 4 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
11433, 37chsleji 30749 . . . . 5 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท)
11533, 37chjcli 30748 . . . . . . 7 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Cโ„‹
116115chshii 30518 . . . . . 6 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
117102, 116, 103shlessi 30668 . . . . 5 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
119113, 118sstri 3991 . . 3 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
120115, 55chsleji 30749 . . 3 ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
121119, 120sstri 3991 . 2 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
122 mayete3.z . 2 ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
123121, 122sseqtrri 4019 1 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11873  2c2 12269   โ„‹chba 30210   +โ„Ž cva 30211   ยทโ„Ž csm 30212   โˆ’โ„Ž cmv 30216   Sโ„‹ csh 30219   Cโ„‹ cch 30220  โŠฅcort 30221   +โ„‹ cph 30222   โˆจโ„‹ chj 30224  projโ„Žcpjh 30228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-chj 30601  df-pjh 30686
This theorem is referenced by:  mayetes3i  31020
  Copyright terms: Public domain W3C validator