HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 30475
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a ๐ด โˆˆ Cโ„‹
mayete3.b ๐ต โˆˆ Cโ„‹
mayete3.c ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.d ๐ท โˆˆ Cโ„‹
mayete3.f ๐น โˆˆ Cโ„‹
mayete3.g ๐บ โˆˆ Cโ„‹
mayete3.ac ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
mayete3.af ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.cf ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
mayete3.ab ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
mayete3.cd ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
mayete3.fg ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
mayete3.x ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
mayete3.y ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
mayete3.z ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3925 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โˆˆ Cโ„‹
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โˆˆ Cโ„‹
42, 3chjcli 30204 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆˆ Cโ„‹
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น โˆˆ Cโ„‹
64, 5chjcli 30204 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆˆ Cโ„‹
76cheli 29979 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น)
97, 8eleq2s 2857 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
111, 10sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulid 29753 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
13 2cn 12162 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
14 2ne0 12191 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
15 recid2 11762 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((1 / 2) ยท 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ยท 2) = 1
1716oveq1i 7360 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)
18 halfcn 12302 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
19 ax-hvmulass 29754 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2018, 13, 19mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / 2) ยท 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2117, 20eqtr3id 2792 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2212, 21eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
24 hv2times 29808 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ))
2524oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ))
27 inss2 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘Œ
2827sseli 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘Œ = (((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆฉ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ))
3029elin2 4156 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)))
31 elin 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ต โˆˆ Cโ„‹
342, 33pjdsi 30459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
3532, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ท โˆˆ Cโ„‹
383, 37pjdsi 30459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
3936, 38mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
4035, 39oveqan12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
4131, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
42 inss1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โŠ† (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต)
4342sseli 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต))
442, 33chjcli 30204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆˆ Cโ„‹
4544cheli 29979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
462pjhcli 30165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4733pjhcli 30165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
483pjhcli 30165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4937pjhcli 30165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
50 hvadd4 29783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
5341, 52eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
565, 55pjdsi 30459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โˆง ๐น โŠ† (โŠฅโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5754, 56mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ = (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
5853, 57oveqan12d 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ต) โˆฉ (๐ถ โˆจโ„‹ ๐ท)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐น โˆจโ„‹ ๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
5930, 58sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
61 hvaddcl 29759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6246, 48, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
63 hvaddcl 29759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
6447, 49, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
655pjhcli 30165 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
6655pjhcli 30165 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
67 hvadd4 29783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โˆง (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ))) +โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
7026, 60, 693eqtrd 2782 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) = (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))))
71 inss1 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘‹
7271sseli 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
7372, 8eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น)
772, 3, 5pjds3i 30460 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โˆง (๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐น) โˆง ๐ถ โŠ† (โŠฅโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7875, 76, 77mpanr12 704 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด โˆจโ„‹ ๐ถ) โˆจโ„‹ ๐น) โˆง ๐ด โŠ† (โŠฅโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
7973, 74, 78sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)))
8070, 79oveq12d 7368 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))))
81 hvmulcl 29760 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8213, 81mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
83 hvpncan 29786 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8482, 83mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) +โ„Ž ๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
8680, 85eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ))
87 hvaddcl 29759 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
8862, 65, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
89 hvaddcl 29759 . . . . . . . . . . . 12 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
9064, 66, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
91 hvpncan2 29787 . . . . . . . . . . 11 ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9288, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆ’โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9486, 93eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
9533pjcli 30164 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
9637pjcli 30164 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
9733chshii 29974 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
9837chshii 29974 . . . . . . . . . . . 12 ๐ท โˆˆ Sโ„‹
9997, 98shsvai 30111 . . . . . . . . . . 11 ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต โˆง ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10095, 96, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท))
10155pjcli 30164 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ)
10297, 98shscli 30064 . . . . . . . . . . 11 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
10355chshii 29974 . . . . . . . . . . 11 ๐บ โˆˆ Sโ„‹
104102, 103shsvai 30111 . . . . . . . . . 10 (((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ท) โˆง ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
105100, 101, 104syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ต)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
10794, 106eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
108102, 103shscli 30064 . . . . . . . 8 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹
109 shmulcl 29965 . . . . . . . 8 ((((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
110108, 18, 109mp3an12 1452 . . . . . . 7 ((2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ((1 / 2) ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
11223, 111eqeltrd 2839 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
113112ssriv 3947 . . . 4 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
11433, 37chsleji 30205 . . . . 5 (๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท)
11533, 37chjcli 30204 . . . . . . 7 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Cโ„‹
116115chshii 29974 . . . . . 6 (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆˆ Sโ„‹
117102, 116, 103shlessi 30124 . . . . 5 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) โŠ† (๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โ†’ ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((๐ต +โ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
119113, 118sstri 3952 . . 3 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ)
120115, 55chsleji 30205 . . 3 ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) +โ„‹ ๐บ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
121119, 120sstri 3952 . 2 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
122 mayete3.z . 2 ๐‘ = ((๐ต โˆจโ„‹ ๐ท) โˆจโ„‹ ๐บ)
123121, 122sseqtrri 3980 1 (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) โŠ† ๐‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942   โˆฉ cin 3908   โŠ† wss 3909  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   ยท cmul 10990   / cdiv 11746  2c2 12142   โ„‹chba 29666   +โ„Ž cva 29667   ยทโ„Ž csm 29668   โˆ’โ„Ž cmv 29672   Sโ„‹ csh 29675   Cโ„‹ cch 29676  โŠฅcort 29677   +โ„‹ cph 29678   โˆจโ„‹ chj 29680  projโ„Žcpjh 29684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065  ax-hilex 29746  ax-hfvadd 29747  ax-hvcom 29748  ax-hvass 29749  ax-hv0cl 29750  ax-hvaddid 29751  ax-hfvmul 29752  ax-hvmulid 29753  ax-hvmulass 29754  ax-hvdistr1 29755  ax-hvdistr2 29756  ax-hvmul0 29757  ax-hfi 29826  ax-his1 29829  ax-his2 29830  ax-his3 29831  ax-his4 29832  ax-hcompl 29949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ioo 13198  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-sum 15507  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-pt 17262  df-prds 17265  df-xrs 17320  df-qtop 17325  df-imas 17326  df-xps 17328  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-mulg 18808  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-cnfld 20726  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-cn 22506  df-cnp 22507  df-lm 22508  df-haus 22594  df-tx 22841  df-hmeo 23034  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-xms 23601  df-ms 23602  df-tms 23603  df-cfil 24547  df-cau 24548  df-cmet 24549  df-grpo 29240  df-gid 29241  df-ginv 29242  df-gdiv 29243  df-ablo 29292  df-vc 29306  df-nv 29339  df-va 29342  df-ba 29343  df-sm 29344  df-0v 29345  df-vs 29346  df-nmcv 29347  df-ims 29348  df-dip 29448  df-ssp 29469  df-ph 29560  df-cbn 29610  df-hnorm 29715  df-hba 29716  df-hvsub 29718  df-hlim 29719  df-hcau 29720  df-sh 29954  df-ch 29968  df-oc 29999  df-ch0 30000  df-shs 30055  df-chj 30057  df-pjh 30142
This theorem is referenced by:  mayetes3i  30476
  Copyright terms: Public domain W3C validator