HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 29515
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a 𝐴C
mayete3.b 𝐵C
mayete3.c 𝐶C
mayete3.d 𝐷C
mayete3.f 𝐹C
mayete3.g 𝐺C
mayete3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayete3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayete3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3900 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶C
42, 3chjcli 29244 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ∈ C
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹C
64, 5chjcli 29244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
76cheli 29019 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
97, 8eleq2s 2911 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝑥 ∈ ℋ)
109adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑋𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
111, 10sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 28793 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13 2cn 11704 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
14 2ne0 11733 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
15 recid2 11306 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · 2) = 1
1716oveq1i 7149 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = (1 · 𝑥)
18 halfcn 11844 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
19 ax-hvmulass 28794 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2018, 13, 19mp3an12 1448 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2117, 20syl5eqr 2850 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2212, 21eqtr3d 2838 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
24 hv2times 28848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) = (𝑥 + 𝑥))
2524oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
27 inss2 4159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827sseli 3914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑌)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
3029elin2 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)))
31 elin 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵C
342, 33pjdsi 29499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
3532, 34mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷C
383, 37pjdsi 29499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
3936, 38mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
4035, 39oveqan12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
4131, 40sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
42 inss1 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)
4342sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 𝐵))
442, 33chjcli 29244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
4544cheli 29019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
462pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
4733pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
483pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
4937pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50 hvadd4 28823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5341, 52eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺C
565, 55pjdsi 29499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5754, 56mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5853, 57oveqan12d 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
5930, 58sylbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑌 → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
61 hvaddcl 28799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6246, 48, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63 hvaddcl 28799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6447, 49, 63syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
655pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
6655pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67 hvadd4 28823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
7026, 60, 693eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
71 inss1 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
7271sseli 3914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑋)
7372, 8eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
772, 3, 5pjds3i 29500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7875, 76, 77mpanr12 704 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7973, 74, 78sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
8070, 79oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))))
81 hvmulcl 28800 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
8213, 81mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
83 hvpncan 28826 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8482, 83mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8680, 85eqtr3d 2838 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = (2 · 𝑥))
87 hvaddcl 28799 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
8862, 65, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89 hvaddcl 28799 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
9064, 66, 89syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91 hvpncan2 28827 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9288, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9486, 93eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9533pjcli 29204 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
9637pjcli 29204 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
9733chshii 29014 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
9837chshii 29014 . . . . . . . . . . . 12 𝐷S
9997, 98shsvai 29151 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10095, 96, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10155pjcli 29204 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
10297, 98shscli 29104 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 + 𝐷) ∈ S
10355chshii 29014 . . . . . . . . . . 11 𝐺S
104102, 103shsvai 29151 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷) ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
105100, 101, 104syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10794, 106eqeltrd 2893 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
108102, 103shscli 29104 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S
109 shmulcl 29005 . . . . . . . 8 ((((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
110108, 18, 109mp3an12 1448 . . . . . . 7 ((2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
11223, 111eqeltrd 2893 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
113112ssriv 3922 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)
11433, 37chsleji 29245 . . . . 5 (𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷)
11533, 37chjcli 29244 . . . . . . 7 (𝐵 𝐷) ∈ C
116115chshii 29014 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ S
117102, 116, 103shlessi 29164 . . . . 5 ((𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
119113, 118sstri 3927 . . 3 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
120115, 55chsleji 29245 . . 3 ((𝐵 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
121119, 120sstri 3927 . 2 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
122 mayete3.z . 2 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
123121, 122sseqtrri 3955 1 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cin 3883  wss 3884  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   / cdiv 11290  2c2 11684  chba 28706   + cva 28707   · csm 28708   cmv 28712   S csh 28715   C cch 28716  cort 28717   + cph 28718   chj 28720  projcpjh 28724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his1 28869  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872  ax-hcompl 28989
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-lm 21838  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cfil 23863  df-cau 23864  df-cmet 23865  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-ims 28388  df-dip 28488  df-ssp 28509  df-ph 28600  df-cbn 28650  df-hnorm 28755  df-hba 28756  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-hcau 28760  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-chj 29097  df-pjh 29182
This theorem is referenced by:  mayetes3i  29516
  Copyright terms: Public domain W3C validator