Theorem mayete3i 29508

Description: Mayet's equation E₃. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayete3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayete3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayete3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayete3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayete3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayete3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayete3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayete3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayete3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayete3i	⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
2		mayete3.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		mayete3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
4	2, 3	chjcli 29237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
5		mayete3.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
6	4, 5	chjcli 29237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
7	6	cheli 29012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		mayete3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
9	7, 8	eleq2s 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ ℋ)
10	9	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
11	1, 10	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12		ax-hvmulid 28786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = 𝑥)
13		2cn 11715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ne0 11744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
15		recid2 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
17	16	oveq1i 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = (1 ·ℎ 𝑥)
18		halfcn 11855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19		ax-hvmulass 28787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
20	18, 13, 19	mp3an12 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
21	17, 20	syl5eqr 2873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝑥) = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
22	12, 21	eqtr3d 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)))
24		hv2times 28841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ 𝑥))
25	24	oveq1d 7174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥))
27		inss2 4209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	sseli 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌)
29		mayete3.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
30	29	elin2 4177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
31		elin 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
32		mayete3.ab	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33		mayete3.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
34	2, 33	pjdsi 29492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
35	32, 34	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)))
36		mayete3.cd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37		mayete3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
38	3, 37	pjdsi 29492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
39	36, 38	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)))
40	35, 39	oveqan12d 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
41	31, 40	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
42		inss1 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
43	42	sseli 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
44	2, 33	chjcli 29237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
45	44	cheli 29012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
46	2	pjhcli 29198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
47	33	pjhcli 29198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
48	3	pjhcli 29198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
49	37	pjhcli 29198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50		hvadd4 28816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
51	46, 47, 48, 49, 50	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
52	43, 45, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐵)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐶)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
53	41, 52	eqtrd 2859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) → (𝑥 +ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))))
54		mayete3.fg	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55		mayete3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
56	5, 55	pjdsi 29492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
57	54, 56	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) → 𝑥 = (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
58	53, 57	oveqan12d 7178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
59	30, 58	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
60	28, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 +ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
61		hvaddcl 28792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
62	46, 48, 61	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63		hvaddcl 28792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
64	47, 49, 63	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
65	5	pjhcli 29198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
66	55	pjhcli 29198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67		hvadd4 28816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
68	62, 64, 65, 66, 67	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
69	11, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥))) +ℎ (((projℎ‘𝐹)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
70	26, 60, 69	3eqtrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))))
71		inss1 4208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
72	71	sseli 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
73	72, 8	eleqtrdi 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
74		mayete3.ac	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75		mayete3.af	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76		mayete3.cf	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
77	2, 3, 5	pjds3i 29493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
78	75, 76, 77	mpanr12 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
79	73, 74, 78	sylancl 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 = ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)))
80	70, 79	oveq12d 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))))
81		hvmulcl 28793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
82	13, 81	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
83		hvpncan 28819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
84	82, 83	mpancom 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
85	11, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (((2 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) −ℎ 𝑥) = (2 ·ℎ 𝑥))
86	80, 85	eqtr3d 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = (2 ·ℎ 𝑥))
87		hvaddcl 28792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
88	62, 65, 87	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89		hvaddcl 28792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
90	64, 66, 89	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91		hvpncan2 28820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
92	88, 90, 91	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
93	11, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥)) +ℎ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) −ℎ ((((projℎ‘𝐴)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐶)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐹)‘𝑥))) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
94	86, 93	eqtr3d 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) = ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
95	33	pjcli 29197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
96	37	pjcli 29197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
97	33	chshii 29007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
98	37	chshii 29007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
99	97, 98	shsvai 29144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
100	95, 96, 99	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
101	55	pjcli 29197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
102	97, 98	shscli 29097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
103	55	chshii 29007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
104	102, 103	shsvai 29144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
105	100, 101, 104	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
106	11, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((((projℎ‘𝐵)‘𝑥) +ℎ ((projℎ‘𝐷)‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
107	94, 106	eqeltrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
108	102, 103	shscli 29097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
109		shmulcl 28998	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
110	108, 18, 109	mp3an12 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ·ℎ 𝑥) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
111	107, 110	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((1 / 2) ·ℎ (2 ·ℎ 𝑥)) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
112	23, 111	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
113	112	ssriv 3974	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
114	33, 37	chsleji 29238	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷)
115	33, 37	chjcli 29237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
116	115	chshii 29007	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
117	102, 116, 103	shlessi 29157	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) → ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺))
118	114, 117	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
119	113, 118	sstri 3979	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺)
120	115, 55	chsleji 29238	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) +ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
121	119, 120	sstri 3979	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
122		mayete3.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
123	121, 122	sseqtrri 4007	1 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑍

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   · cmul 10545   / cdiv 11300  2c2 11695   ℋchba 28699   +_ℎ cva 28700   ·_ℎ csm 28701   −_ℎ cmv 28705   S_ℋ csh 28708   C_ℋ cch 28709  ⊥cort 28710   +_ℋ cph 28711   ∨_ℋ chj 28713  proj_ℎcpjh 28717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cc 9860  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvcom 28781  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvmulass 28787  ax-hvdistr1 28788  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790  ax-hfi 28859  ax-his1 28862  ax-his2 28863  ax-his3 28864  ax-his4 28865  ax-hcompl 28982

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-acn 9374  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-lm 21840  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cfil 23861  df-cau 23862  df-cmet 23863  df-grpo 28273  df-gid 28274  df-ginv 28275  df-gdiv 28276  df-ablo 28325  df-vc 28339  df-nv 28372  df-va 28375  df-ba 28376  df-sm 28377  df-0v 28378  df-vs 28379  df-nmcv 28380  df-ims 28381  df-dip 28481  df-ssp 28502  df-ph 28593  df-cbn 28643  df-hnorm 28748  df-hba 28749  df-hvsub 28751  df-hlim 28752  df-hcau 28753  df-sh 28987  df-ch 29001  df-oc 29032  df-ch0 29033  df-shs 29088  df-chj 29090  df-pjh 29175

This theorem is referenced by:  mayetes3i  29509