Theorem hvaddcl 28445

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 28433	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6924   ℋchba 28352   +_ℎ cva 28353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-hfvadd 28433

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-fv 6145  df-ov 6927

This theorem is referenced by:  hvsubf  28448  hvsubcl  28450  hvaddcli  28451  hvadd4  28469  hvsub4  28470  hvpncan  28472  hvaddsubass  28474  hvsubass  28477  hv2times  28494  hvaddsub4  28511  his7  28523  normpyc  28579  hhph  28611  hlimadd  28626  helch  28676  ocsh  28718  spanunsni  29014  3oalem1  29097  pjcompi  29107  mayete3i  29163  hoscl  29180  hoaddcl  29193  unoplin  29355  hmoplin  29377  braadd  29380  0lnfn  29420  lnopmi  29435  lnophsi  29436  lnopcoi  29438  lnopeq0i  29442  nlelshi  29495  cnlnadjlem2  29503  cnlnadjlem6  29507  adjlnop  29521  superpos  29789  cdj3lem2b  29872  cdj3i  29876