Theorem hvaddcl 31044

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31032	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7578	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-hfvadd 31032

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  hvsubf  31047  hvsubcl  31049  hvaddcli  31050  hvadd4  31068  hvsub4  31069  hvpncan  31071  hvaddsubass  31073  hvsubass  31076  hv2times  31093  hvaddsub4  31110  his7  31122  normpyc  31178  hhph  31210  hlimadd  31225  helch  31275  ocsh  31315  spanunsni  31611  3oalem1  31694  pjcompi  31704  mayete3i  31760  hoscl  31777  hoaddcl  31790  unoplin  31952  hmoplin  31974  braadd  31977  0lnfn  32017  lnopmi  32032  lnophsi  32033  lnopcoi  32035  lnopeq0i  32039  nlelshi  32092  cnlnadjlem2  32100  cnlnadjlem6  32104  adjlnop  32118  superpos  32386  cdj3lem2b  32469  cdj3i  32473