Theorem hvaddcl 31304

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31292	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   ℋchba 31211   +_ℎ cva 31212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-hfvadd 31292

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414

This theorem is referenced by:  hvsubf  31307  hvsubcl  31309  hvaddcli  31310  hvadd4  31328  hvsub4  31329  hvpncan  31331  hvaddsubass  31333  hvsubass  31336  hv2times  31353  hvaddsub4  31370  his7  31382  normpyc  31438  hhph  31470  hlimadd  31485  helch  31535  ocsh  31575  spanunsni  31871  3oalem1  31954  pjcompi  31964  mayete3i  32020  hoscl  32037  hoaddcl  32050  unoplin  32212  hmoplin  32234  braadd  32237  0lnfn  32277  lnopmi  32292  lnophsi  32293  lnopcoi  32295  lnopeq0i  32299  nlelshi  32352  cnlnadjlem2  32360  cnlnadjlem6  32364  adjlnop  32378  superpos  32646  cdj3lem2b  32729  cdj3i  32733