Theorem hvaddcl 31301

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31289	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7536	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408   ℋchba 31208   +_ℎ cva 31209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-hfvadd 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7411

This theorem is referenced by:  hvsubf  31304  hvsubcl  31306  hvaddcli  31307  hvadd4  31325  hvsub4  31326  hvpncan  31328  hvaddsubass  31330  hvsubass  31333  hv2times  31350  hvaddsub4  31367  his7  31379  normpyc  31435  hhph  31467  hlimadd  31482  helch  31532  ocsh  31572  spanunsni  31868  3oalem1  31951  pjcompi  31961  mayete3i  32017  hoscl  32034  hoaddcl  32047  unoplin  32209  hmoplin  32231  braadd  32234  0lnfn  32274  lnopmi  32289  lnophsi  32290  lnopcoi  32292  lnopeq0i  32296  nlelshi  32349  cnlnadjlem2  32357  cnlnadjlem6  32361  adjlnop  32375  superpos  32643  cdj3lem2b  32726  cdj3i  32730