Theorem hvaddcl 30894

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30882	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7549	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419   ℋchba 30801   +_ℎ cva 30802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-hfvadd 30882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422

This theorem is referenced by:  hvsubf  30897  hvsubcl  30899  hvaddcli  30900  hvadd4  30918  hvsub4  30919  hvpncan  30921  hvaddsubass  30923  hvsubass  30926  hv2times  30943  hvaddsub4  30960  his7  30972  normpyc  31028  hhph  31060  hlimadd  31075  helch  31125  ocsh  31165  spanunsni  31461  3oalem1  31544  pjcompi  31554  mayete3i  31610  hoscl  31627  hoaddcl  31640  unoplin  31802  hmoplin  31824  braadd  31827  0lnfn  31867  lnopmi  31882  lnophsi  31883  lnopcoi  31885  lnopeq0i  31889  nlelshi  31942  cnlnadjlem2  31950  cnlnadjlem6  31954  adjlnop  31968  superpos  32236  cdj3lem2b  32319  cdj3i  32323