Theorem hvaddcl 31031

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31019	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7561	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hfvadd 31019

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  hvsubf  31034  hvsubcl  31036  hvaddcli  31037  hvadd4  31055  hvsub4  31056  hvpncan  31058  hvaddsubass  31060  hvsubass  31063  hv2times  31080  hvaddsub4  31097  his7  31109  normpyc  31165  hhph  31197  hlimadd  31212  helch  31262  ocsh  31302  spanunsni  31598  3oalem1  31681  pjcompi  31691  mayete3i  31747  hoscl  31764  hoaddcl  31777  unoplin  31939  hmoplin  31961  braadd  31964  0lnfn  32004  lnopmi  32019  lnophsi  32020  lnopcoi  32022  lnopeq0i  32026  nlelshi  32079  cnlnadjlem2  32087  cnlnadjlem6  32091  adjlnop  32105  superpos  32373  cdj3lem2b  32456  cdj3i  32460