Theorem hvaddcl 30914

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30902	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7497	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-hfvadd 30902

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372

This theorem is referenced by:  hvsubf  30917  hvsubcl  30919  hvaddcli  30920  hvadd4  30938  hvsub4  30939  hvpncan  30941  hvaddsubass  30943  hvsubass  30946  hv2times  30963  hvaddsub4  30980  his7  30992  normpyc  31048  hhph  31080  hlimadd  31095  helch  31145  ocsh  31185  spanunsni  31481  3oalem1  31564  pjcompi  31574  mayete3i  31630  hoscl  31647  hoaddcl  31660  unoplin  31822  hmoplin  31844  braadd  31847  0lnfn  31887  lnopmi  31902  lnophsi  31903  lnopcoi  31905  lnopeq0i  31909  nlelshi  31962  cnlnadjlem2  31970  cnlnadjlem6  31974  adjlnop  31988  superpos  32256  cdj3lem2b  32339  cdj3i  32343