Theorem hvaddcl 31364

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31352	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7538	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-hfvadd 31352

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413

This theorem is referenced by:  hvsubf  31367  hvsubcl  31369  hvaddcli  31370  hvadd4  31388  hvsub4  31389  hvpncan  31391  hvaddsubass  31393  hvsubass  31396  hv2times  31413  hvaddsub4  31430  his7  31442  normpyc  31498  hhph  31530  hlimadd  31545  helch  31595  ocsh  31635  spanunsni  31931  3oalem1  32014  pjcompi  32024  mayete3i  32080  hoscl  32097  hoaddcl  32110  unoplin  32272  hmoplin  32294  braadd  32297  0lnfn  32337  lnopmi  32352  lnophsi  32353  lnopcoi  32355  lnopeq0i  32359  nlelshi  32412  cnlnadjlem2  32420  cnlnadjlem6  32424  adjlnop  32438  superpos  32706  cdj3lem2b  32789  cdj3i  32793