Theorem hvaddcl 31040

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31028	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7560	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430   ℋchba 30947   +_ℎ cva 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-hfvadd 31028

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433

This theorem is referenced by:  hvsubf  31043  hvsubcl  31045  hvaddcli  31046  hvadd4  31064  hvsub4  31065  hvpncan  31067  hvaddsubass  31069  hvsubass  31072  hv2times  31089  hvaddsub4  31106  his7  31118  normpyc  31174  hhph  31206  hlimadd  31221  helch  31271  ocsh  31311  spanunsni  31607  3oalem1  31690  pjcompi  31700  mayete3i  31756  hoscl  31773  hoaddcl  31786  unoplin  31948  hmoplin  31970  braadd  31973  0lnfn  32013  lnopmi  32028  lnophsi  32029  lnopcoi  32031  lnopeq0i  32035  nlelshi  32088  cnlnadjlem2  32096  cnlnadjlem6  32100  adjlnop  32114  superpos  32382  cdj3lem2b  32465  cdj3i  32469