Theorem hvaddcl 31212

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31200	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7524	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396   ℋchba 31119   +_ℎ cva 31120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-hfvadd 31200

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399

This theorem is referenced by:  hvsubf  31215  hvsubcl  31217  hvaddcli  31218  hvadd4  31236  hvsub4  31237  hvpncan  31239  hvaddsubass  31241  hvsubass  31244  hv2times  31261  hvaddsub4  31278  his7  31290  normpyc  31346  hhph  31378  hlimadd  31393  helch  31443  ocsh  31483  spanunsni  31779  3oalem1  31862  pjcompi  31872  mayete3i  31928  hoscl  31945  hoaddcl  31958  unoplin  32120  hmoplin  32142  braadd  32145  0lnfn  32185  lnopmi  32200  lnophsi  32201  lnopcoi  32203  lnopeq0i  32207  nlelshi  32260  cnlnadjlem2  32268  cnlnadjlem6  32272  adjlnop  32286  superpos  32554  cdj3lem2b  32637  cdj3i  32641