Theorem hvaddcl 31087

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31075	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7486	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358   ℋchba 30994   +_ℎ cva 30995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-hfvadd 31075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  hvsubf  31090  hvsubcl  31092  hvaddcli  31093  hvadd4  31111  hvsub4  31112  hvpncan  31114  hvaddsubass  31116  hvsubass  31119  hv2times  31136  hvaddsub4  31153  his7  31165  normpyc  31221  hhph  31253  hlimadd  31268  helch  31318  ocsh  31358  spanunsni  31654  3oalem1  31737  pjcompi  31747  mayete3i  31803  hoscl  31820  hoaddcl  31833  unoplin  31995  hmoplin  32017  braadd  32020  0lnfn  32060  lnopmi  32075  lnophsi  32076  lnopcoi  32078  lnopeq0i  32082  nlelshi  32135  cnlnadjlem2  32143  cnlnadjlem6  32147  adjlnop  32161  superpos  32429  cdj3lem2b  32512  cdj3i  32516