Theorem hvaddcl 31100

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31088	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7496	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-hfvadd 31088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  hvsubf  31103  hvsubcl  31105  hvaddcli  31106  hvadd4  31124  hvsub4  31125  hvpncan  31127  hvaddsubass  31129  hvsubass  31132  hv2times  31149  hvaddsub4  31166  his7  31178  normpyc  31234  hhph  31266  hlimadd  31281  helch  31331  ocsh  31371  spanunsni  31667  3oalem1  31750  pjcompi  31760  mayete3i  31816  hoscl  31833  hoaddcl  31846  unoplin  32008  hmoplin  32030  braadd  32033  0lnfn  32073  lnopmi  32088  lnophsi  32089  lnopcoi  32091  lnopeq0i  32095  nlelshi  32148  cnlnadjlem2  32156  cnlnadjlem6  32160  adjlnop  32174  superpos  32442  cdj3lem2b  32525  cdj3i  32529