Theorem hvaddcl 28791

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 28779	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-hfvadd 28779

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161

This theorem is referenced by:  hvsubf  28794  hvsubcl  28796  hvaddcli  28797  hvadd4  28815  hvsub4  28816  hvpncan  28818  hvaddsubass  28820  hvsubass  28823  hv2times  28840  hvaddsub4  28857  his7  28869  normpyc  28925  hhph  28957  hlimadd  28972  helch  29022  ocsh  29062  spanunsni  29358  3oalem1  29441  pjcompi  29451  mayete3i  29507  hoscl  29524  hoaddcl  29537  unoplin  29699  hmoplin  29721  braadd  29724  0lnfn  29764  lnopmi  29779  lnophsi  29780  lnopcoi  29782  lnopeq0i  29786  nlelshi  29839  cnlnadjlem2  29847  cnlnadjlem6  29851  adjlnop  29865  superpos  30133  cdj3lem2b  30216  cdj3i  30220