Theorem hvaddcl 31098

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31086	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7488	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-hfvadd 31086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  hvsubf  31101  hvsubcl  31103  hvaddcli  31104  hvadd4  31122  hvsub4  31123  hvpncan  31125  hvaddsubass  31127  hvsubass  31130  hv2times  31147  hvaddsub4  31164  his7  31176  normpyc  31232  hhph  31264  hlimadd  31279  helch  31329  ocsh  31369  spanunsni  31665  3oalem1  31748  pjcompi  31758  mayete3i  31814  hoscl  31831  hoaddcl  31844  unoplin  32006  hmoplin  32028  braadd  32031  0lnfn  32071  lnopmi  32086  lnophsi  32087  lnopcoi  32089  lnopeq0i  32093  nlelshi  32146  cnlnadjlem2  32154  cnlnadjlem6  32158  adjlnop  32172  superpos  32440  cdj3lem2b  32523  cdj3i  32527