Theorem hvaddcl 30960

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30948	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7477	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   ℋchba 30867   +_ℎ cva 30868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-hfvadd 30948

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352

This theorem is referenced by:  hvsubf  30963  hvsubcl  30965  hvaddcli  30966  hvadd4  30984  hvsub4  30985  hvpncan  30987  hvaddsubass  30989  hvsubass  30992  hv2times  31009  hvaddsub4  31026  his7  31038  normpyc  31094  hhph  31126  hlimadd  31141  helch  31191  ocsh  31231  spanunsni  31527  3oalem1  31610  pjcompi  31620  mayete3i  31676  hoscl  31693  hoaddcl  31706  unoplin  31868  hmoplin  31890  braadd  31893  0lnfn  31933  lnopmi  31948  lnophsi  31949  lnopcoi  31951  lnopeq0i  31955  nlelshi  32008  cnlnadjlem2  32016  cnlnadjlem6  32020  adjlnop  32034  superpos  32302  cdj3lem2b  32385  cdj3i  32389