HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcl 30260
Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvadd 30248 . 2 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 7536 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  (class class class)co 7408  chba 30167   + cva 30168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-hfvadd 30248
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411
This theorem is referenced by:  hvsubf  30263  hvsubcl  30265  hvaddcli  30266  hvadd4  30284  hvsub4  30285  hvpncan  30287  hvaddsubass  30289  hvsubass  30292  hv2times  30309  hvaddsub4  30326  his7  30338  normpyc  30394  hhph  30426  hlimadd  30441  helch  30491  ocsh  30531  spanunsni  30827  3oalem1  30910  pjcompi  30920  mayete3i  30976  hoscl  30993  hoaddcl  31006  unoplin  31168  hmoplin  31190  braadd  31193  0lnfn  31233  lnopmi  31248  lnophsi  31249  lnopcoi  31251  lnopeq0i  31255  nlelshi  31308  cnlnadjlem2  31316  cnlnadjlem6  31320  adjlnop  31334  superpos  31602  cdj3lem2b  31685  cdj3i  31689
  Copyright terms: Public domain W3C validator