Theorem hvaddcl 30993

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30981	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7535	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405   ℋchba 30900   +_ℎ cva 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-hfvadd 30981

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408

This theorem is referenced by:  hvsubf  30996  hvsubcl  30998  hvaddcli  30999  hvadd4  31017  hvsub4  31018  hvpncan  31020  hvaddsubass  31022  hvsubass  31025  hv2times  31042  hvaddsub4  31059  his7  31071  normpyc  31127  hhph  31159  hlimadd  31174  helch  31224  ocsh  31264  spanunsni  31560  3oalem1  31643  pjcompi  31653  mayete3i  31709  hoscl  31726  hoaddcl  31739  unoplin  31901  hmoplin  31923  braadd  31926  0lnfn  31966  lnopmi  31981  lnophsi  31982  lnopcoi  31984  lnopeq0i  31988  nlelshi  32041  cnlnadjlem2  32049  cnlnadjlem6  32053  adjlnop  32067  superpos  32335  cdj3lem2b  32418  cdj3i  32422