Theorem hvaddcl 31101

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31089	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7484	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-hfvadd 31089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  hvsubf  31104  hvsubcl  31106  hvaddcli  31107  hvadd4  31125  hvsub4  31126  hvpncan  31128  hvaddsubass  31130  hvsubass  31133  hv2times  31150  hvaddsub4  31167  his7  31179  normpyc  31235  hhph  31267  hlimadd  31282  helch  31332  ocsh  31372  spanunsni  31668  3oalem1  31751  pjcompi  31761  mayete3i  31817  hoscl  31834  hoaddcl  31847  unoplin  32009  hmoplin  32031  braadd  32034  0lnfn  32074  lnopmi  32089  lnophsi  32090  lnopcoi  32092  lnopeq0i  32096  nlelshi  32149  cnlnadjlem2  32157  cnlnadjlem6  32161  adjlnop  32175  superpos  32443  cdj3lem2b  32526  cdj3i  32530