Theorem hvaddcl 29275

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 29263	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7380	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-hfvadd 29263

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258

This theorem is referenced by:  hvsubf  29278  hvsubcl  29280  hvaddcli  29281  hvadd4  29299  hvsub4  29300  hvpncan  29302  hvaddsubass  29304  hvsubass  29307  hv2times  29324  hvaddsub4  29341  his7  29353  normpyc  29409  hhph  29441  hlimadd  29456  helch  29506  ocsh  29546  spanunsni  29842  3oalem1  29925  pjcompi  29935  mayete3i  29991  hoscl  30008  hoaddcl  30021  unoplin  30183  hmoplin  30205  braadd  30208  0lnfn  30248  lnopmi  30263  lnophsi  30264  lnopcoi  30266  lnopeq0i  30270  nlelshi  30323  cnlnadjlem2  30331  cnlnadjlem6  30335  adjlnop  30349  superpos  30617  cdj3lem2b  30700  cdj3i  30704