Theorem hvaddcl 30984

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30972	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7469	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341   ℋchba 30891   +_ℎ cva 30892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-hfvadd 30972

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-ov 7344

This theorem is referenced by:  hvsubf  30987  hvsubcl  30989  hvaddcli  30990  hvadd4  31008  hvsub4  31009  hvpncan  31011  hvaddsubass  31013  hvsubass  31016  hv2times  31033  hvaddsub4  31050  his7  31062  normpyc  31118  hhph  31150  hlimadd  31165  helch  31215  ocsh  31255  spanunsni  31551  3oalem1  31634  pjcompi  31644  mayete3i  31700  hoscl  31717  hoaddcl  31730  unoplin  31892  hmoplin  31914  braadd  31917  0lnfn  31957  lnopmi  31972  lnophsi  31973  lnopcoi  31975  lnopeq0i  31979  nlelshi  32032  cnlnadjlem2  32040  cnlnadjlem6  32044  adjlnop  32058  superpos  32326  cdj3lem2b  32409  cdj3i  32413