HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcl 30296
Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvadd 30284 . 2 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 7537 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  (class class class)co 7409  chba 30203   + cva 30204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-hfvadd 30284
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412
This theorem is referenced by:  hvsubf  30299  hvsubcl  30301  hvaddcli  30302  hvadd4  30320  hvsub4  30321  hvpncan  30323  hvaddsubass  30325  hvsubass  30328  hv2times  30345  hvaddsub4  30362  his7  30374  normpyc  30430  hhph  30462  hlimadd  30477  helch  30527  ocsh  30567  spanunsni  30863  3oalem1  30946  pjcompi  30956  mayete3i  31012  hoscl  31029  hoaddcl  31042  unoplin  31204  hmoplin  31226  braadd  31229  0lnfn  31269  lnopmi  31284  lnophsi  31285  lnopcoi  31287  lnopeq0i  31291  nlelshi  31344  cnlnadjlem2  31352  cnlnadjlem6  31356  adjlnop  31370  superpos  31638  cdj3lem2b  31721  cdj3i  31725
  Copyright terms: Public domain W3C validator