Theorem hvaddcl 31493

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31481	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7541	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-hfvadd 31481

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416

This theorem is used by:  hvsubf  31496  hvsubcl  31498  hvaddcli  31499  hvadd4  31517  hvsub4  31518  hvpncan  31520  hvaddsubass  31522  hvsubass  31525  hv2times  31542  hvaddsub4  31559  his7  31571  normpyc  31627  hhph  31659  hlimadd  31674  helch  31724  ocsh  31764  spanunsni  32060  3oalem1  32143  pjcompi  32153  mayete3i  32209  hoscl  32226  hoaddcl  32239  unoplin  32401  hmoplin  32423  braadd  32426  0lnfn  32466  lnopmi  32481  lnophsi  32482  lnopcoi  32484  lnopeq0i  32488  nlelshi  32541  cnlnadjlem2  32549  cnlnadjlem6  32553  adjlnop  32567  superpos  32835  cdj3lem2b  32918  cdj3i  32922