Theorem hvaddcl 31036

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31024	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7484	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-hfvadd 31024

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  hvsubf  31039  hvsubcl  31041  hvaddcli  31042  hvadd4  31060  hvsub4  31061  hvpncan  31063  hvaddsubass  31065  hvsubass  31068  hv2times  31085  hvaddsub4  31102  his7  31114  normpyc  31170  hhph  31202  hlimadd  31217  helch  31267  ocsh  31307  spanunsni  31603  3oalem1  31686  pjcompi  31696  mayete3i  31752  hoscl  31769  hoaddcl  31782  unoplin  31944  hmoplin  31966  braadd  31969  0lnfn  32009  lnopmi  32024  lnophsi  32025  lnopcoi  32027  lnopeq0i  32031  nlelshi  32084  cnlnadjlem2  32092  cnlnadjlem6  32096  adjlnop  32110  superpos  32378  cdj3lem2b  32461  cdj3i  32465