HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcl 29996
Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvadd 29984 . 2 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 7489 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  (class class class)co 7362  chba 29903   + cva 29904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-hfvadd 29984
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  hvsubf  29999  hvsubcl  30001  hvaddcli  30002  hvadd4  30020  hvsub4  30021  hvpncan  30023  hvaddsubass  30025  hvsubass  30028  hv2times  30045  hvaddsub4  30062  his7  30074  normpyc  30130  hhph  30162  hlimadd  30177  helch  30227  ocsh  30267  spanunsni  30563  3oalem1  30646  pjcompi  30656  mayete3i  30712  hoscl  30729  hoaddcl  30742  unoplin  30904  hmoplin  30926  braadd  30929  0lnfn  30969  lnopmi  30984  lnophsi  30985  lnopcoi  30987  lnopeq0i  30991  nlelshi  31044  cnlnadjlem2  31052  cnlnadjlem6  31056  adjlnop  31070  superpos  31338  cdj3lem2b  31421  cdj3i  31425
  Copyright terms: Public domain W3C validator