Theorem hvaddcl 30948

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30936	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7520	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-hfvadd 30936

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  hvsubf  30951  hvsubcl  30953  hvaddcli  30954  hvadd4  30972  hvsub4  30973  hvpncan  30975  hvaddsubass  30977  hvsubass  30980  hv2times  30997  hvaddsub4  31014  his7  31026  normpyc  31082  hhph  31114  hlimadd  31129  helch  31179  ocsh  31219  spanunsni  31515  3oalem1  31598  pjcompi  31608  mayete3i  31664  hoscl  31681  hoaddcl  31694  unoplin  31856  hmoplin  31878  braadd  31881  0lnfn  31921  lnopmi  31936  lnophsi  31937  lnopcoi  31939  lnopeq0i  31943  nlelshi  31996  cnlnadjlem2  32004  cnlnadjlem6  32008  adjlnop  32022  superpos  32290  cdj3lem2b  32373  cdj3i  32377