Theorem hvaddcl 31435

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31423	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7547	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419   ℋchba 31342   +_ℎ cva 31343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-hfvadd 31423

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422

This theorem is used by:  hvsubf  31438  hvsubcl  31440  hvaddcli  31441  hvadd4  31459  hvsub4  31460  hvpncan  31462  hvaddsubass  31464  hvsubass  31467  hv2times  31484  hvaddsub4  31501  his7  31513  normpyc  31569  hhph  31601  hlimadd  31616  helch  31666  ocsh  31706  spanunsni  32002  3oalem1  32085  pjcompi  32095  mayete3i  32151  hoscl  32168  hoaddcl  32181  unoplin  32343  hmoplin  32365  braadd  32368  0lnfn  32408  lnopmi  32423  lnophsi  32424  lnopcoi  32426  lnopeq0i  32430  nlelshi  32483  cnlnadjlem2  32491  cnlnadjlem6  32495  adjlnop  32509  superpos  32777  cdj3lem2b  32860  cdj3i  32864