Theorem hvaddcl 31671

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31659	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-hfvadd 31659

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454

This theorem is used by:  hvsubf  31674  hvsubcl  31676  hvaddcli  31677  hvadd4  31695  hvsub4  31696  hvpncan  31698  hvaddsubass  31700  hvsubass  31703  hv2times  31720  hvaddsub4  31737  his7  31749  normpyc  31805  hhph  31837  hlimadd  31852  helch  31902  ocsh  31942  spanunsni  32238  3oalem1  32321  pjcompi  32331  mayete3i  32387  hoscl  32404  hoaddcl  32417  unoplin  32579  hmoplin  32601  braadd  32604  0lnfn  32644  lnopmi  32659  lnophsi  32660  lnopcoi  32662  lnopeq0i  32666  nlelshi  32719  cnlnadjlem2  32727  cnlnadjlem6  32731  adjlnop  32745  superpos  33013  cdj3lem2b  33096  cdj3i  33100