Theorem hvaddcl 30956

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 30944	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7477	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   ℋchba 30863   +_ℎ cva 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-hfvadd 30944

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352

This theorem is referenced by:  hvsubf  30959  hvsubcl  30961  hvaddcli  30962  hvadd4  30980  hvsub4  30981  hvpncan  30983  hvaddsubass  30985  hvsubass  30988  hv2times  31005  hvaddsub4  31022  his7  31034  normpyc  31090  hhph  31122  hlimadd  31137  helch  31187  ocsh  31227  spanunsni  31523  3oalem1  31606  pjcompi  31616  mayete3i  31672  hoscl  31689  hoaddcl  31702  unoplin  31864  hmoplin  31886  braadd  31889  0lnfn  31929  lnopmi  31944  lnophsi  31945  lnopcoi  31947  lnopeq0i  31951  nlelshi  32004  cnlnadjlem2  32012  cnlnadjlem6  32016  adjlnop  32030  superpos  32298  cdj3lem2b  32381  cdj3i  32385