Theorem hvaddcl 29402

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 29390	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7422	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2101  (class class class)co 7295   ℋchba 29309   +_ℎ cva 29310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-hfvadd 29390

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-ov 7298

This theorem is referenced by:  hvsubf  29405  hvsubcl  29407  hvaddcli  29408  hvadd4  29426  hvsub4  29427  hvpncan  29429  hvaddsubass  29431  hvsubass  29434  hv2times  29451  hvaddsub4  29468  his7  29480  normpyc  29536  hhph  29568  hlimadd  29583  helch  29633  ocsh  29673  spanunsni  29969  3oalem1  30052  pjcompi  30062  mayete3i  30118  hoscl  30135  hoaddcl  30148  unoplin  30310  hmoplin  30332  braadd  30335  0lnfn  30375  lnopmi  30390  lnophsi  30391  lnopcoi  30393  lnopeq0i  30397  nlelshi  30450  cnlnadjlem2  30458  cnlnadjlem6  30462  adjlnop  30476  superpos  30744  cdj3lem2b  30827  cdj3i  30831