Theorem hvaddcl 31623

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31611	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7552	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424   ℋchba 31530   +_ℎ cva 31531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-hfvadd 31611

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  hvsubf  31626  hvsubcl  31628  hvaddcli  31629  hvadd4  31647  hvsub4  31648  hvpncan  31650  hvaddsubass  31652  hvsubass  31655  hv2times  31672  hvaddsub4  31689  his7  31701  normpyc  31757  hhph  31789  hlimadd  31804  helch  31854  ocsh  31894  spanunsni  32190  3oalem1  32273  pjcompi  32283  mayete3i  32339  hoscl  32356  hoaddcl  32369  unoplin  32531  hmoplin  32553  braadd  32556  0lnfn  32596  lnopmi  32611  lnophsi  32612  lnopcoi  32614  lnopeq0i  32618  nlelshi  32671  cnlnadjlem2  32679  cnlnadjlem6  32683  adjlnop  32697  superpos  32965  cdj3lem2b  33048  cdj3i  33052