Theorem hvaddcl 31083

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvadd 31071	. 2 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
2	1	fovcl 7495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-hfvadd 31071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  hvsubf  31086  hvsubcl  31088  hvaddcli  31089  hvadd4  31107  hvsub4  31108  hvpncan  31110  hvaddsubass  31112  hvsubass  31115  hv2times  31132  hvaddsub4  31149  his7  31161  normpyc  31217  hhph  31249  hlimadd  31264  helch  31314  ocsh  31354  spanunsni  31650  3oalem1  31733  pjcompi  31743  mayete3i  31799  hoscl  31816  hoaddcl  31829  unoplin  31991  hmoplin  32013  braadd  32016  0lnfn  32056  lnopmi  32071  lnophsi  32072  lnopcoi  32074  lnopeq0i  32078  nlelshi  32131  cnlnadjlem2  32139  cnlnadjlem6  32143  adjlnop  32157  superpos  32425  cdj3lem2b  32508  cdj3i  32512