Theorem fvimacnvi 7024

Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
2		funimass2 6599	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4		fvex 6871	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
5	4	snss 4749	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
6		cnvimass 6053	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
7	6	sseli 3942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
8		funfn 6546	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
9		fnsnfv 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
10	8, 9	sylanb 581	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
11	7, 10	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	11	sseq1d 3978	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
13	5, 12	bitrid 283	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
14	3, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   “ cima 5641  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  fvimacnv  7025  elpreima  7030  iinpreima  7041  lmhmpreima  20955  mpfind  22014  ofco2  22338  elrgspnsubrunlem2  33199  carsggect  34309  bj-fvimacnv0  37274  fcores  47068