Theorem fvimacnvi 6985

Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
2		funimass2 6564	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
5	4	snss 4737	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
6		cnvimass 6031	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
7	6	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
8		funfn 6511	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
9		fnsnfv 6901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
10	8, 9	sylanb 581	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
11	7, 10	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	11	sseq1d 3966	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
13	5, 12	bitrid 283	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
14	3, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   “ cima 5619  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  fvimacnv  6986  elpreima  6991  iinpreima  7002  lmhmpreima  20983  mpfind  22043  ofco2  22367  elrgspnsubrunlem2  33213  carsggect  34329  bj-fvimacnv0  37326  fcores  47104