MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvimacnvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvimacnvi 7047
Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
fvimacnvi ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi
StepHypRef Expression
1 snssi 4806 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵))
2 funimass2 6625 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
31, 2sylan2 592 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4 fvex 6898 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
54snss 4784 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵)
6 cnvimass 6074 . . . . . 6 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
76sseli 3973 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
8 funfn 6572 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
9 fnsnfv 6964 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
108, 9sylanb 580 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
117, 10sylan2 592 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1211sseq1d 4008 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
135, 12bitrid 283 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
143, 13mpbird 257 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943  {csn 4623  ccnv 5668  dom cdm 5669  cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  cfv 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545
This theorem is referenced by:  fvimacnv  7048  elpreima  7053  iinpreima  7064  lmhmpreima  20896  mpfind  22012  ofco2  22308  carsggect  33847  bj-fvimacnv0  36674  fcores  46349
  Copyright terms: Public domain W3C validator