MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvimacnvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvimacnvi 6596
Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
fvimacnvi ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi
StepHypRef Expression
1 snssi 4572 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵))
2 funimass2 6219 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
31, 2sylan2 586 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4 fvex 6461 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
54snss 4549 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵)
6 cnvimass 5741 . . . . . 6 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
76sseli 3817 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
8 funfn 6167 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
9 fnsnfv 6520 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
108, 9sylanb 576 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
117, 10sylan2 586 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1211sseq1d 3851 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
135, 12syl5bb 275 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
143, 13mpbird 249 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  {csn 4398  ccnv 5356  dom cdm 5357  cima 5360  Fun wfun 6131   Fn wfn 6132  cfv 6137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-fv 6145
This theorem is referenced by:  fvimacnv  6597  elpreima  6602  iinpreima  6611  lmhmpreima  19454  mpfind  19943  ofco2  20673  carsggect  30986
  Copyright terms: Public domain W3C validator