Theorem indisuni 22906

Description: The base set of the indiscrete topology. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indisuni	⊢ ( I ‘𝐴) = ∪ {∅, 𝐴}

Proof of Theorem indisuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indislem 22903	. . 3 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
2		fvex 6839	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
3		indistopon 22904	. . . 4 ⊢ (( I ‘𝐴) ∈ V → {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
5	1, 4	eqeltrri 2825	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
6	5	toponunii 22819	1 ⊢ ( I ‘𝐴) = ∪ {∅, 𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ∅c0 4286  {cpr 4581  ∪ cuni 4861   I cid 5517  ‘cfv 6486  TopOnctopon 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-top 22797  df-topon 22814

This theorem is referenced by:  indiscld  22994  indisconn  23321  txindis  23537