Theorem indistop 23375

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴. Part of Example 2 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 16-Jul-2006.) (Revised by Stefan Allan, 6-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indistop	⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top

Proof of Theorem indistop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indislem 23373	. 2 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
2		fvex 6929	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
3		indistopon 23374	. . . 4 ⊢ (( I ‘𝐴) ∈ V → {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
5	4	topontopi 23288	. 2 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ Top
6	1, 5	eqeltrri 2861	1 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {cpr 4590   I cid 5552  ‘cfv 6566  Topctop 23266  TopOnctopon 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-top 23267  df-topon 23284

This theorem is used by:  indistpsx  23383  indistps  23384  indistps2  23385  indiscld  23464  indisconn  23791  txindis  24008  indispconn  36207  onpsstopbas  37433