Theorem indistop 23329

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴. Part of Example 2 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 16-Jul-2006.) (Revised by Stefan Allan, 6-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indistop	⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top

Proof of Theorem indistop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indislem 23327	. 2 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
2		fvex 6903	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
3		indistopon 23328	. . . 4 ⊢ (( I ‘𝐴) ∈ V → {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
5	4	topontopi 23242	. 2 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} ∈ Top
6	1, 5	eqeltrri 2857	1 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {cpr 4586   I cid 5545  ‘cfv 6543  Topctop 23220  TopOnctopon 23237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-top 23221  df-topon 23238

This theorem is used by:  indistpsx  23337  indistps  23338  indistps2  23339  indiscld  23418  indisconn  23745  txindis  23962  indispconn  36117  onpsstopbas  37342