Theorem toponunii 23123

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
topontopi.1	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponunii	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽

Proof of Theorem toponunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontopi.1	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)
2		toponuni 23121	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  TopOnctopon 23117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topon 23118

This theorem is used by:  toponrestid  23128  indisuni  23210  indistpsx  23217  letopuni  23414  dfac14  23826  unicntop  24993  sszcld  25026  reperflem  25027  cnperf  25029  iiuni  25091  abscncfALT  25134  cncfcnvcn  25135  cnheiborlem  25164  cnheibor  25165  cnllycmp  25166  bndth  25168  mbfimaopnlem  25865  limcnlp  26088  limcflflem  26090  limcflf  26091  limcmo  26092  limcres  26096  limccnp  26101  limccnp2  26102  perfdvf  26113  recnperf  26115  dvcnp2  26130  dvaddbr  26148  dvmulbr  26149  dvcobr  26156  dvcnvlem  26186  lhop1lem  26223  taylthlem2  26588  abelth  26655  cxpcn3  26964  lgamucov  27253  ftalem3  27290  blocni  31228  ipasslem8  31260  ubthlem1  31293  tpr2uni  34359  tpr2rico  34366  mndpluscn  34380  raddcn  34383  cvxsconn  35772  cvmlift2lem11  35842  ivthALT  36903  poimir  38361  broucube  38362  ftc1cnnc  38400  dvasin  38412  dvacos  38413  dvreasin  38414  dvreacos  38415  areacirclem2  38417  reheibor  38548  islptre  46393  dirkercncf  46879  fourierdlem62  46940