Theorem toponunii 23142

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
topontopi.1	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponunii	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽

Proof of Theorem toponunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontopi.1	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)
2		toponuni 23140	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topon 23137

This theorem is used by:  toponrestid  23147  indisuni  23229  indistpsx  23236  letopuni  23433  dfac14  23845  unicntop  25012  sszcld  25045  reperflem  25046  cnperf  25048  iiuni  25110  abscncfALT  25153  cncfcnvcn  25154  cnheiborlem  25183  cnheibor  25184  cnllycmp  25185  bndth  25187  mbfimaopnlem  25884  limcnlp  26106  limcflflem  26108  limcflf  26109  limcmo  26110  limcres  26114  limccnp  26119  limccnp2  26120  perfdvf  26131  recnperf  26133  dvcnp2  26148  dvaddbr  26166  dvmulbr  26167  dvcobr  26174  dvcnvlem  26204  lhop1lem  26241  taylthlem2  26611  abelth  26678  cxpcn3  26986  lgamucov  27275  ftalem3  27312  blocni  31287  ipasslem8  31319  ubthlem1  31352  tpr2uni  34416  tpr2rico  34423  mndpluscn  34437  raddcn  34440  cvxsconn  35823  cvmlift2lem11  35893  ivthALT  36955  poimir  38403  broucube  38404  ftc1cnnc  38442  dvasin  38454  dvacos  38455  dvreasin  38456  dvreacos  38457  areacirclem2  38459  reheibor  38590  islptre  46450  dirkercncf  46936  fourierdlem62  46997