Theorem toponunii 23289

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
topontopi.1	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponunii	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽

Proof of Theorem toponunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontopi.1	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)
2		toponuni 23287	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  TopOnctopon 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-topon 23284

This theorem is used by:  toponrestid  23294  indisuni  23376  indistpsx  23383  letopuni  23580  dfac14  23992  unicntop  25159  sszcld  25192  reperflem  25193  cnperf  25195  iiuni  25257  abscncfALT  25300  cncfcnvcn  25301  cnheiborlem  25330  cnheibor  25331  cnllycmp  25332  bndth  25334  mbfimaopnlem  26031  limcnlp  26253  limcflflem  26255  limcflf  26256  limcmo  26257  limcres  26261  limccnp  26266  limccnp2  26267  perfdvf  26278  recnperf  26280  dvcnp2  26295  dvaddbr  26313  dvmulbr  26314  dvcobr  26321  dvcnvlem  26351  lhop1lem  26388  taylthlem2  26758  abelth  26825  cxpcn3  27133  lgamucov  27422  ftalem3  27459  blocni  31464  ipasslem8  31496  ubthlem1  31529  tpr2uni  34648  tpr2rico  34655  mndpluscn  34669  raddcn  34672  cvxsconn  36216  cvmlift2lem11  36286  ivthALT  37338  poimir  38839  broucube  38840  ftc1cnnc  38878  dvasin  38890  dvacos  38891  dvreasin  38892  dvreacos  38893  areacirclem2  38895  reheibor  39039  islptre  46904  dirkercncf  47390  fourierdlem62  47451