MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fctop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fctop 22498
Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem fctop
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 4115 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦))
21eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
42, 3orbi12d 917 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin ∨ βˆͺ 𝑦 = βˆ…)))
5 uniss 4915 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
6 ssrab2 4076 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝒫 𝐴
7 sspwuni 5102 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴)
86, 7mpbi 229 . . . . . . . 8 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴
95, 8sstrdi 3993 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝐴)
10 vuniex 7725 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑦 ∈ V
1110elpw 4605 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝐴)
129, 11sylibr 233 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
13 uni0c 4937 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
1413notbii 319 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
15 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
1614, 15bitr4i 277 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ…)
17 ssel2 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
18 difeq2 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝑧))
1918eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin))
20 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑧 = βˆ…))
2119, 20orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2221elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2317, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2423simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))
2524ord 862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin β†’ 𝑧 = βˆ…))
2625con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin))
2726imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin)
28 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝑦)
2928sscond 4140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧))
30 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧)) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
3129, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
3231expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3427, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
3534rexlimdva2 3157 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3616, 35biimtrid 241 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3736con1d 145 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
3837orrd 861 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin ∨ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
394, 12, 38elrabd 3684 . . . . 5 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
4039ax-gen 1797 . . . 4 βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
41 ssinss1 4236 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) βŠ† 𝐴)
42 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
4342elpw 4605 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑦 βŠ† 𝐴)
4442inex1 5316 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
4544elpw 4605 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) βŠ† 𝐴)
4641, 43, 453imtr4i 291 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
4746ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
48 difindi 4280 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) = ((𝐴 βˆ– 𝑦) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝑧))
49 unfi 9168 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑦) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝑧)) ∈ Fin)
5048, 49eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin) β†’ (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
5150orcd 871 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
52 ineq1 4204 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (βˆ… ∩ 𝑧))
53 0in 4392 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∩ 𝑧) = βˆ…
5452, 53eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)
5554olcd 872 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
56 ineq2 4205 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ βˆ…))
57 in0 4390 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ βˆ…) = βˆ…
5856, 57eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)
5958olcd 872 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6051, 55, 59ccase2 1038 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6160ad2ant2l 744 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6247, 61jca 512 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
63 difeq2 4115 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝑦))
6463eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin))
65 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑦 = βˆ…))
6664, 65orbi12d 917 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)))
6766elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)))
6867, 22anbi12i 627 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))))
69 difeq2 4115 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)))
7069eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin))
71 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
7270, 71orbi12d 917 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7372elrab 3682 . . . . . 6 ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7462, 68, 733imtr4i 291 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
7574rgen2 3197 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}
7640, 75pm3.2i 471 . . 3 (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
77 pwexg 5375 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
78 rabexg 5330 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ V)
79 istopg 22388 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ V β†’ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ↔ (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})))
8077, 78, 793syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ↔ (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})))
8176, 80mpbiri 257 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top)
82 difeq2 4115 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝐴))
83 difid 4369 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ– 𝐴) = βˆ…
8482, 83eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = βˆ…)
8584eleq1d 2818 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ βˆ… ∈ Fin))
86 eqeq1 2736 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…))
8785, 86orbi12d 917 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∨ 𝐴 = βˆ…)))
88 pwidg 4621 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
89 0fin 9167 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
9089orci 863 . . . . . 6 (βˆ… ∈ Fin ∨ 𝐴 = βˆ…)
9190a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… ∈ Fin ∨ 𝐴 = βˆ…))
9287, 88, 91elrabd 3684 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
93 elssuni 4940 . . . 4 (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
9492, 93syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
958a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴)
9694, 95eqssd 3998 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
97 istopon 22405 . 2 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄) ↔ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}))
9881, 96, 97sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6540  Fincfn 8935  Topctop 22386  TopOnctopon 22403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-fin 8939  df-top 22387  df-topon 22404
This theorem is referenced by:  fctop2  22499
  Copyright terms: Public domain W3C validator