Theorem fctop 22354

Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fctop	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fctop

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦))
2	1	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin))
3		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑥 = ∅ ↔ ∪ 𝑦 = ∅))
4	2, 3	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin ∨ ∪ 𝑦 = ∅)))
5		uniss 4873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
6		ssrab2 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝒫 𝐴
7		sspwuni 5060	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴)
8	6, 7	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴
9	5, 8	sstrdi 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ⊆ 𝐴)
10		vuniex 7676	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
11	10	elpw 4564	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝐴)
12	9, 11	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
13		uni0c 4895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑦 = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ∅)
14	13	notbii 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∪ 𝑦 = ∅ ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ∅)
15		rexnal 3103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 = ∅ ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ∅)
16	14, 15	bitr4i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∪ 𝑦 = ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 = ∅)
17		ssel2 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
18		difeq2 4076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑧))
19	18	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin))
20		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑧 = ∅))
21	19, 20	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
22	21	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
23	17, 22	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
24	23	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))
25	24	ord 862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (¬ (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin → 𝑧 = ∅))
26	25	con1d 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (¬ 𝑧 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin)
28		elssuni 4898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
29	28	sscond 4101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑧))
30		ssfi 9117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin)
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin)
32	31	expcom 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin))
33	32	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin))
34	27, 33	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin)
35	34	rexlimdva2 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (∃𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin))
36	16, 35	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (¬ ∪ 𝑦 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin))
37	36	con1d 145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (¬ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin → ∪ 𝑦 = ∅))
38	37	orrd 861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ((𝐴 ∖ ∪ 𝑦) ∈ Fin ∨ ∪ 𝑦 = ∅))
39	4, 12, 38	elrabd 3647	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
40	39	ax-gen 1797	. . . 4 ⊢ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
41		ssinss1 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝐴)
42		vex 3449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
43	42	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴)
44	42	inex1 5274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
45	44	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝐴)
46	41, 43, 45	3imtr4i 291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
48		difindi 4241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) = ((𝐴 ∖ 𝑦) ∪ (𝐴 ∖ 𝑧))
49		unfi 9116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∪ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
50	48, 49	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
51	50	orcd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅))
52		ineq1 4165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝑧) = (∅ ∩ 𝑧))
53		0in 4353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∩ 𝑧) = ∅
54	52, 53	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅)
55	54	olcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅))
56		ineq2 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ ∅))
57		in0 4351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ ∅) = ∅
58	56, 57	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅)
59	58	olcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅))
60	51, 55, 59	ccase2 1038	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅) ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)) → ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅))
61	60	ad2ant2l 744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅))
62	47, 61	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅)))
63		difeq2 4076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑦))
64	63	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
65		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
66	64, 65	orbi12d 917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
67	66	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
68	67, 22	anbi12i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))))
69		difeq2 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)))
70	69	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin))
71		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (𝑥 = ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅))
72	70, 71	orbi12d 917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅)))
73	72	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = ∅)))
74	62, 68, 73	3imtr4i 291	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
75	74	rgen2 3194	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}
76	40, 75	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
77		pwexg 5333	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
78		rabexg 5288	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ V)
79		istopg 22244	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})))
80	77, 78, 79	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})))
81	76, 80	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top)
82		difeq2 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝐴))
83		difid 4330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐴) = ∅
84	82, 83	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅)
85	84	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
86		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
87	85, 86	orbi12d 917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅)))
88		pwidg 4580	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
89		0fin 9115	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
90	89	orci 863	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅)
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅))
92	87, 88, 91	elrabd 3647	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
93		elssuni 4898	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝐴 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
94	92, 93	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
95	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴)
96	94, 95	eqssd 3961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
97		istopon 22261	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}))
98	81, 96, 97	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6496  Fincfn 8883  Topctop 22242  TopOnctopon 22259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-1o 8412  df-en 8884  df-fin 8887  df-top 22243  df-topon 22260

This theorem is referenced by:  fctop2  22355