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Theorem fctop 23011
Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fctop
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 4120 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴 𝑦))
21eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
42, 3orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
5 uniss 4915 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
6 ssrab2 4080 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝒫 𝐴
7 sspwuni 5100 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝒫 𝐴 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴)
86, 7mpbi 230 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴
95, 8sstrdi 3996 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦𝐴)
10 vuniex 7759 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1110elpw 4604 . . . . . . 7 ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 𝑦𝐴)
129, 11sylibr 234 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
13 uni0c 4934 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 = ∅ ↔ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ∅)
1413notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑦 = ∅ ↔ ¬ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ∅)
15 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝑦 ¬ 𝑧 = ∅ ↔ ¬ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ∅)
1614, 15bitr4i 278 . . . . . . . . 9 𝑦 = ∅ ↔ ∃𝑧𝑦 ¬ 𝑧 = ∅)
17 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
18 difeq2 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
1918eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑧) ∈ Fin))
20 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑧 = ∅))
2119, 20orbi12d 919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
2221elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
2317, 22sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
2423simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))
2524ord 865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → (¬ (𝐴𝑧) ∈ Fin → 𝑧 = ∅))
2625con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → (¬ 𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧) ∈ Fin))
2726imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → (𝐴𝑧) ∈ Fin)
28 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑦𝑧 𝑦)
2928sscond 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 → (𝐴 𝑦) ⊆ (𝐴𝑧))
30 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑧) ∈ Fin ∧ (𝐴 𝑦) ⊆ (𝐴𝑧)) → (𝐴 𝑦) ∈ Fin)
3129, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑧) ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → (𝐴 𝑦) ∈ Fin)
3231expcom 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → ((𝐴𝑧) ∈ Fin → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3332ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → ((𝐴𝑧) ∈ Fin → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3427, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → (𝐴 𝑦) ∈ Fin)
3534rexlimdva2 3157 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (∃𝑧𝑦 ¬ 𝑧 = ∅ → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3616, 35biimtrid 242 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (¬ 𝑦 = ∅ → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3736con1d 145 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (¬ (𝐴 𝑦) ∈ Fin → 𝑦 = ∅))
3837orrd 864 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ((𝐴 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅))
394, 12, 38elrabd 3694 . . . . 5 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
4039ax-gen 1795 . . . 4 𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
41 ssinss1 4246 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴)
42 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
4342elpw 4604 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
4442inex1 5317 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑧) ∈ V
4544elpw 4604 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴)
4641, 43, 453imtr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
4746ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → (𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
48 difindi 4292 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) = ((𝐴𝑦) ∪ (𝐴𝑧))
49 unfi 9211 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑧) ∈ Fin) → ((𝐴𝑦) ∪ (𝐴𝑧)) ∈ Fin)
5048, 49eqeltrid 2845 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑧) ∈ Fin) → (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin)
5150orcd 874 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑧) ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
52 ineq1 4213 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝑧) = (∅ ∩ 𝑧))
53 0in 4397 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∩ 𝑧) = ∅
5452, 53eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝑧) = ∅)
5554olcd 875 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
56 ineq2 4214 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧) = (𝑦 ∩ ∅))
57 in0 4395 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ ∅) = ∅
5856, 57eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧) = ∅)
5958olcd 875 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
6051, 55, 59ccase2 1040 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅) ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)) → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
6160ad2ant2l 746 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
6247, 61jca 511 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → ((𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅)))
63 difeq2 4120 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
6463eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
65 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
6664, 65orbi12d 919 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
6766elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
6867, 22anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))))
69 difeq2 4120 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)))
7069eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑧) → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin))
71 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝑥 = ∅ ↔ (𝑦𝑧) = ∅))
7270, 71orbi12d 919 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅)))
7372elrab 3692 . . . . . 6 ((𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ ((𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅)))
7462, 68, 733imtr4i 292 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) → (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
7574rgen2 3199 . . . 4 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}
7640, 75pm3.2i 470 . . 3 (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
77 pwexg 5378 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
78 rabexg 5337 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ V)
79 istopg 22901 . . . 4 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})))
8077, 78, 793syl 18 . . 3 (𝐴𝑉 → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})))
8176, 80mpbiri 258 . 2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top)
82 difeq2 4120 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐴))
83 difid 4376 . . . . . . . 8 (𝐴𝐴) = ∅
8482, 83eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥) = ∅)
8584eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
86 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
8785, 86orbi12d 919 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅)))
88 pwidg 4620 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
89 0fi 9082 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
9089orci 866 . . . . . 6 (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅)
9190a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅))
9287, 88, 91elrabd 3694 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
93 elssuni 4937 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝐴 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
9492, 93syl 17 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
958a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴)
9694, 95eqssd 4001 . 2 (𝐴𝑉𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
97 istopon 22918 . 2 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ∧ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}))
9881, 96, 97sylanbrc 583 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cfv 6561  Fincfn 8985  Topctop 22899  TopOnctopon 22916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-top 22900  df-topon 22917
This theorem is referenced by:  fctop2  23012
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