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Theorem fctop 23032
Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fctop
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 4143 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴 𝑦))
21eleq1d 2829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3 eqeq1 2744 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
42, 3orbi12d 917 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
5 uniss 4939 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
6 ssrab2 4103 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝒫 𝐴
7 sspwuni 5123 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝒫 𝐴 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴)
86, 7mpbi 230 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴
95, 8sstrdi 4021 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦𝐴)
10 vuniex 7774 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1110elpw 4626 . . . . . . 7 ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 𝑦𝐴)
129, 11sylibr 234 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
13 uni0c 4958 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 = ∅ ↔ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ∅)
1413notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑦 = ∅ ↔ ¬ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ∅)
15 rexnal 3106 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝑦 ¬ 𝑧 = ∅ ↔ ¬ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ∅)
1614, 15bitr4i 278 . . . . . . . . 9 𝑦 = ∅ ↔ ∃𝑧𝑦 ¬ 𝑧 = ∅)
17 ssel2 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
18 difeq2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
1918eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑧) ∈ Fin))
20 eqeq1 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑧 = ∅))
2119, 20orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
2221elrab 3708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
2317, 22sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)))
2423simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))
2524ord 863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → (¬ (𝐴𝑧) ∈ Fin → 𝑧 = ∅))
2625con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) → (¬ 𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧) ∈ Fin))
2726imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → (𝐴𝑧) ∈ Fin)
28 elssuni 4961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑦𝑧 𝑦)
2928sscond 4169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 → (𝐴 𝑦) ⊆ (𝐴𝑧))
30 ssfi 9240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑧) ∈ Fin ∧ (𝐴 𝑦) ⊆ (𝐴𝑧)) → (𝐴 𝑦) ∈ Fin)
3129, 30sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑧) ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → (𝐴 𝑦) ∈ Fin)
3231expcom 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → ((𝐴𝑧) ∈ Fin → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → ((𝐴𝑧) ∈ Fin → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3427, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧𝑦) ∧ ¬ 𝑧 = ∅) → (𝐴 𝑦) ∈ Fin)
3534rexlimdva2 3163 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (∃𝑧𝑦 ¬ 𝑧 = ∅ → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3616, 35biimtrid 242 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (¬ 𝑦 = ∅ → (𝐴 𝑦) ∈ Fin))
3736con1d 145 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → (¬ (𝐴 𝑦) ∈ Fin → 𝑦 = ∅))
3837orrd 862 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → ((𝐴 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅))
394, 12, 38elrabd 3710 . . . . 5 (𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
4039ax-gen 1793 . . . 4 𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
41 ssinss1 4267 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴)
42 vex 3492 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
4342elpw 4626 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
4442inex1 5335 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑧) ∈ V
4544elpw 4626 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴)
4641, 43, 453imtr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → (𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
48 difindi 4311 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) = ((𝐴𝑦) ∪ (𝐴𝑧))
49 unfi 9238 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑧) ∈ Fin) → ((𝐴𝑦) ∪ (𝐴𝑧)) ∈ Fin)
5048, 49eqeltrid 2848 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑧) ∈ Fin) → (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin)
5150orcd 872 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑧) ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
52 ineq1 4234 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝑧) = (∅ ∩ 𝑧))
53 0in 4420 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∩ 𝑧) = ∅
5452, 53eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝑧) = ∅)
5554olcd 873 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
56 ineq2 4235 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧) = (𝑦 ∩ ∅))
57 in0 4418 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ ∅) = ∅
5856, 57eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧) = ∅)
5958olcd 873 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
6051, 55, 59ccase2 1040 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅) ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅)) → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
6160ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
6247, 61jca 511 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))) → ((𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅)))
63 difeq2 4143 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
6463eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
65 eqeq1 2744 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
6664, 65orbi12d 917 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
6766elrab 3708 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)))
6867, 22anbi12i 627 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = ∅))))
69 difeq2 4143 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)))
7069eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑧) → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin))
71 eqeq1 2744 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝑥 = ∅ ↔ (𝑦𝑧) = ∅))
7270, 71orbi12d 917 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅)))
7372elrab 3708 . . . . . 6 ((𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ↔ ((𝑦𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ (𝑦𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦𝑧) = ∅)))
7462, 68, 733imtr4i 292 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) → (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
7574rgen2 3205 . . . 4 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}
7640, 75pm3.2i 470 . . 3 (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
77 pwexg 5396 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
78 rabexg 5355 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ V)
79 istopg 22922 . . . 4 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})))
8077, 78, 793syl 18 . . 3 (𝐴𝑉 → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} (𝑦𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})))
8176, 80mpbiri 258 . 2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top)
82 difeq2 4143 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐴))
83 difid 4398 . . . . . . . 8 (𝐴𝐴) = ∅
8482, 83eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥) = ∅)
8584eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
86 eqeq1 2744 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
8785, 86orbi12d 917 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅)))
88 pwidg 4642 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
89 0fi 9108 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
9089orci 864 . . . . . 6 (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅)
9190a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (∅ ∈ Fin ∨ 𝐴 = ∅))
9287, 88, 91elrabd 3710 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
93 elssuni 4961 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} → 𝐴 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
9492, 93syl 17 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
958a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ⊆ 𝐴)
9694, 95eqssd 4026 . 2 (𝐴𝑉𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)})
97 istopon 22939 . 2 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ Top ∧ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)}))
9881, 96, 97sylanbrc 582 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  wss 3976  c0 4352  𝒫 cpw 4622   cuni 4931  cfv 6573  Fincfn 9003  Topctop 22920  TopOnctopon 22937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007  df-top 22921  df-topon 22938
This theorem is referenced by:  fctop2  23033
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