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Theorem fctop 22507
Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem fctop
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 4117 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦))
21eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
42, 3orbi12d 918 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin ∨ βˆͺ 𝑦 = βˆ…)))
5 uniss 4917 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
6 ssrab2 4078 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝒫 𝐴
7 sspwuni 5104 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴)
86, 7mpbi 229 . . . . . . . 8 βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴
95, 8sstrdi 3995 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝐴)
10 vuniex 7729 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑦 ∈ V
1110elpw 4607 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝐴)
129, 11sylibr 233 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
13 uni0c 4939 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
1413notbii 320 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
15 rexnal 3101 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 𝑧 = βˆ…)
1614, 15bitr4i 278 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ…)
17 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
18 difeq2 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝑧))
1918eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin))
20 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑧 = βˆ…))
2119, 20orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2221elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2317, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)))
2423simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))
2524ord 863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin β†’ 𝑧 = βˆ…))
2625con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin))
2726imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin)
28 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ 𝑦)
2928sscond 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧))
30 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑧)) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
3231expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3427, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
3534rexlimdva2 3158 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑦 Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3616, 35biimtrid 241 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (Β¬ βˆͺ 𝑦 = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin))
3736con1d 145 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
3837orrd 862 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ ((𝐴 βˆ– βˆͺ 𝑦) ∈ Fin ∨ βˆͺ 𝑦 = βˆ…))
394, 12, 38elrabd 3686 . . . . 5 (𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
4039ax-gen 1798 . . . 4 βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
41 ssinss1 4238 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) βŠ† 𝐴)
42 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
4342elpw 4607 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑦 βŠ† 𝐴)
4442inex1 5318 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
4544elpw 4607 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) βŠ† 𝐴)
4641, 43, 453imtr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴)
48 difindi 4282 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) = ((𝐴 βˆ– 𝑦) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝑧))
49 unfi 9172 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– 𝑦) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝑧)) ∈ Fin)
5048, 49eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin) β†’ (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
5150orcd 872 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
52 ineq1 4206 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (βˆ… ∩ 𝑧))
53 0in 4394 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∩ 𝑧) = βˆ…
5452, 53eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)
5554olcd 873 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
56 ineq2 4207 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ βˆ…))
57 in0 4392 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ βˆ…) = βˆ…
5856, 57eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)
5958olcd 873 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6051, 55, 59ccase2 1039 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…)) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6160ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
6247, 61jca 513 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
63 difeq2 4117 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝑦))
6463eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin))
65 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝑦 = βˆ…))
6664, 65orbi12d 918 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)))
6766elrab 3684 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)))
6867, 22anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑦) ∈ Fin ∨ 𝑦 = βˆ…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– 𝑧) ∈ Fin ∨ 𝑧 = βˆ…))))
69 difeq2 4117 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)))
7069eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ (𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin))
71 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…))
7270, 71orbi12d 918 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 ∩ 𝑧) β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7372elrab 3684 . . . . . 6 ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 βˆ– (𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin ∨ (𝑦 ∩ 𝑧) = βˆ…)))
7462, 68, 733imtr4i 292 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
7574rgen2 3198 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}
7640, 75pm3.2i 472 . . 3 (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
77 pwexg 5377 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
78 rabexg 5332 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ V)
79 istopg 22397 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ V β†’ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ↔ (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})))
8077, 78, 793syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ↔ (βˆ€π‘¦(𝑦 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})))
8176, 80mpbiri 258 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top)
82 difeq2 4117 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– 𝐴))
83 difid 4371 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ– 𝐴) = βˆ…
8482, 83eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = βˆ…)
8584eleq1d 2819 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ↔ βˆ… ∈ Fin))
86 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…))
8785, 86orbi12d 918 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∨ 𝐴 = βˆ…)))
88 pwidg 4623 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
89 0fin 9171 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
9089orci 864 . . . . . 6 (βˆ… ∈ Fin ∨ 𝐴 = βˆ…)
9190a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… ∈ Fin ∨ 𝐴 = βˆ…))
9287, 88, 91elrabd 3686 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
93 elssuni 4942 . . . 4 (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
9492, 93syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
958a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} βŠ† 𝐴)
9694, 95eqssd 4000 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)})
97 istopon 22414 . 2 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄) ↔ ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)}))
9881, 96, 97sylanbrc 584 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ Fin ∨ π‘₯ = βˆ…)} ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  Topctop 22395  TopOnctopon 22412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-top 22396  df-topon 22413
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