Theorem indisconn 23649

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is connected. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indisconn	⊢ {∅, 𝐴} ∈ Conn

Proof of Theorem indisconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 23233	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
2		inss1 4185	. . 3 ⊢ ({∅, 𝐴} ∩ (Clsd‘{∅, 𝐴})) ⊆ {∅, 𝐴}
3		indislem 23231	. . 3 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
4	2, 3	sseqtrri 3983	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ∩ (Clsd‘{∅, 𝐴})) ⊆ {∅, ( I ‘𝐴)}
5		indisuni 23234	. . 3 ⊢ ( I ‘𝐴) = ∪ {∅, 𝐴}
6	5	isconn2 23645	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ Conn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ({∅, 𝐴} ∩ (Clsd‘{∅, 𝐴})) ⊆ {∅, ( I ‘𝐴)}))
7	1, 4, 6	mpbir2an 724	1 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Conn

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {cpr 4589   I cid 5553  ‘cfv 6537  Topctop 23124  Clsdccld 23247  Conncconn 23642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-top 23125  df-topon 23142  df-cld 23250  df-conn 23643

This theorem is used by:  conncompid  23662  cvmlift2lem9  35898