Theorem intop 48191

Description: An internal (binary) operation for a set. (Contributed by AV, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intop	⊢ ( ⚬ ∈ (𝑀 intOp 𝑁) → ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑁)

Proof of Theorem intop

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-intop 48187	. . 3 ⊢ intOp = (𝑚 ∈ V, 𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 ↑m (𝑚 × 𝑚)))
2	1	elmpocl 7630	. 2 ⊢ ( ⚬ ∈ (𝑀 intOp 𝑁) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
3		intopval 48190	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 intOp 𝑁) = (𝑁 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
4	3	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ( ⚬ ∈ (𝑀 intOp 𝑁) ↔ ⚬ ∈ (𝑁 ↑m (𝑀 × 𝑀))))
5		elmapi 8822	. . 3 ⊢ ( ⚬ ∈ (𝑁 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑁)
6	4, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ( ⚬ ∈ (𝑀 intOp 𝑁) → ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑁))
7	2, 6	mpcom 38	1 ⊢ ( ⚬ ∈ (𝑀 intOp 𝑁) → ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   × cxp 5636  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799   intOp cintop 48184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-intop 48187

This theorem is referenced by: (None)