Theorem isclintop 48237

Description: The predicate "is a closed (internal binary) operations for a set". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isclintop	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( ⚬ ∈ ( clIntOp ‘𝑀) ↔ ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑀))

Proof of Theorem isclintop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clintopval 48234	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( clIntOp ‘𝑀) = (𝑀 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
2	1	eleq2d 2817	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( ⚬ ∈ ( clIntOp ‘𝑀) ↔ ⚬ ∈ (𝑀 ↑m (𝑀 × 𝑀))))
3		sqxpexg 7688	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
4		elmapg 8763	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ V) → ( ⚬ ∈ (𝑀 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑀))
5	3, 4	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( ⚬ ∈ (𝑀 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑀))
6	2, 5	bitrd 279	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( ⚬ ∈ ( clIntOp ‘𝑀) ↔ ⚬ :(𝑀 × 𝑀)⟶𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   × cxp 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750   clIntOp cclintop 48227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-intop 48229  df-clintop 48230

This theorem is referenced by:  clintop  48238  isassintop  48240