MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscplgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscplgr 29447
Description: The property of being a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgruvtxb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscplgr (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem iscplgr
StepHypRef Expression
1 cplgruvtxb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21cplgruvtxb 29445 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
3 eqss 4011 . . 3 ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
41uvtxssvtx 29422 . . . 4 (UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉
5 dfss3 3984 . . . . 5 (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
65anbi2i 623 . . . 4 (((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)) ↔ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
74, 6mpbiran 709 . . 3 (((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)) ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
83, 7bitri 275 . 2 ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
92, 8bitrdi 287 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  Vtxcvtx 29028  UnivVtxcuvtx 29417  ComplGraphccplgr 29441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-uvtx 29418  df-cplgr 29443
This theorem is referenced by:  iscplgrnb  29448  iscusgrvtx  29453  cplgr0  29457  cplgr0v  29459  cplgr1v  29462  cplgr2v  29464  cusgrexi  29475  structtocusgr  29478  cusgrres  29481
  Copyright terms: Public domain W3C validator