MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscplgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscplgr 29300
Description: The property of being a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgruvtxb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscplgr (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem iscplgr
StepHypRef Expression
1 cplgruvtxb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21cplgruvtxb 29298 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
3 eqss 3992 . . 3 ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
41uvtxssvtx 29275 . . . 4 (UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉
5 dfss3 3965 . . . . 5 (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
65anbi2i 621 . . . 4 (((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)) ↔ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
74, 6mpbiran 707 . . 3 (((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)) ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
83, 7bitri 274 . 2 ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
92, 8bitrdi 286 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wss 3944  cfv 6549  Vtxcvtx 28881  UnivVtxcuvtx 29270  ComplGraphccplgr 29294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-ov 7422  df-uvtx 29271  df-cplgr 29296
This theorem is referenced by:  iscplgrnb  29301  iscusgrvtx  29306  cplgr0  29310  cplgr0v  29312  cplgr1v  29315  cplgr2v  29317  cusgrexi  29328  structtocusgr  29331  cusgrres  29334
  Copyright terms: Public domain W3C validator