Theorem cplgr0 30012

Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cplgr0	⊢ ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4453	. . 3 ⊢ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2		vtxval0 29623	. . . 4 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
3	2	raleqi 3317	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
4	1, 3	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
7	6	iscplgr 30002	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
9	4, 8	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ ComplGraph

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ‘cfv 6539  Vtxcvtx 29580  UnivVtxcuvtx 29972  ComplGraphccplgr 29996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-vtx 29582  df-uvtx 29973  df-cplgr 29998

This theorem is used by:  cusgr0  30013