MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr0 27199
Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
cplgr0 ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0
StepHypRef Expression
1 ral0 4454 . . 3 𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2 vtxval0 26816 . . . 4 (Vtx‘∅) = ∅
32raleqi 3412 . . 3 (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
41, 3mpbir 233 . 2 𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5 0ex 5202 . . 3 ∅ ∈ V
6 eqid 2819 . . . 4 (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
76iscplgr 27189 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
85, 7ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
94, 8mpbir 233 1 ∅ ∈ ComplGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wcel 2107  wral 3136  Vcvv 3493  c0 4289  cfv 6348  Vtxcvtx 26773  UnivVtxcuvtx 27159  ComplGraphccplgr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7151  df-slot 16479  df-base 16481  df-vtx 26775  df-uvtx 27160  df-cplgr 27185
This theorem is referenced by:  cusgr0  27200
  Copyright terms: Public domain W3C validator