Theorem cplgr0 28947

Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cplgr0	⊢ ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4513	. . 3 ⊢ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2		vtxval0 28564	. . . 4 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
3	2	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
4	1, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5		0ex 5308	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
7	6	iscplgr 28937	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
9	4, 8	mpbir 230	1 ⊢ ∅ ∈ ComplGraph

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  Vtxcvtx 28521  UnivVtxcuvtx 28907  ComplGraphccplgr 28931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-1cn 11172  ax-addcl 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-nn 12219  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-vtx 28523  df-uvtx 28908  df-cplgr 28933

This theorem is referenced by:  cusgr0  28948