MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr0 29457
Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
cplgr0 ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0
StepHypRef Expression
1 ral0 4519 . . 3 𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2 vtxval0 29071 . . . 4 (Vtx‘∅) = ∅
32raleqi 3322 . . 3 (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
41, 3mpbir 231 . 2 𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5 0ex 5313 . . 3 ∅ ∈ V
6 eqid 2735 . . . 4 (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
76iscplgr 29447 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
85, 7ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
94, 8mpbir 231 1 ∅ ∈ ComplGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339  cfv 6563  Vtxcvtx 29028  UnivVtxcuvtx 29417  ComplGraphccplgr 29441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-vtx 29030  df-uvtx 29418  df-cplgr 29443
This theorem is referenced by:  cusgr0  29458
  Copyright terms: Public domain W3C validator