Theorem cplgr0 29885

Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cplgr0	⊢ ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4454	. . 3 ⊢ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2		vtxval0 29496	. . . 4 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
3	2	raleqi 3317	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
4	1, 3	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
7	6	iscplgr 29875	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
9	4, 8	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ ComplGraph

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  Vtxcvtx 29453  UnivVtxcuvtx 29845  ComplGraphccplgr 29869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-vtx 29455  df-uvtx 29846  df-cplgr 29871

This theorem is used by:  cusgr0  29886