MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr0 29442
Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
cplgr0 ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0
StepHypRef Expression
1 ral0 4513 . . 3 𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2 vtxval0 29056 . . . 4 (Vtx‘∅) = ∅
32raleqi 3324 . . 3 (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
41, 3mpbir 231 . 2 𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5 0ex 5307 . . 3 ∅ ∈ V
6 eqid 2737 . . . 4 (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
76iscplgr 29432 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
85, 7ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
94, 8mpbir 231 1 ∅ ∈ ComplGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  c0 4333  cfv 6561  Vtxcvtx 29013  UnivVtxcuvtx 29402  ComplGraphccplgr 29426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-vtx 29015  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428
This theorem is referenced by:  cusgr0  29443
  Copyright terms: Public domain W3C validator