MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr1v 29180
Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cplgr1v ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v
Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
2 ral0 4505 . . . . 5 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3 cplgr0v.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6896 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
5 hash1snb 14380 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7 velsn 4637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8 sneq 4631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
98difeq2d 4115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10 difid 4363 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
119, 10eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
127, 11sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14 eleq2 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑛}))
15 difeq1 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
1615eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
1713, 14, 163imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
1817exlimiv 1925 . . . . . . . 8 (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
196, 18sylbi 216 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
2019imp 406 . . . . . 6 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2120raleqdv 3317 . . . . 5 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
222, 21mpbiri 258 . . . 4 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
233uvtxel 29138 . . . 4 (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
241, 22, 23sylanbrc 582 . . 3 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
2524ralrimiva 3138 . 2 ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
263cplgr1vlem 29179 . . 3 ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
273iscplgr 29165 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2826, 27syl 17 . 2 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2925, 28mpbird 257 1 ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3053  Vcvv 3466  cdif 3938  c0 4315  {csn 4621  cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108  chash 14291  Vtxcvtx 28749   NeighbVtx cnbgr 29082  UnivVtxcuvtx 29135  ComplGraphccplgr 29159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-uvtx 29136  df-cplgr 29161
This theorem is referenced by:  cusgr1v  29181
  Copyright terms: Public domain W3C validator