MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr1v 28427
Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cplgr1v ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v
Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
2 ral0 4474 . . . . 5 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3 cplgr0v.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6860 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
5 hash1snb 14328 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7 velsn 4606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8 sneq 4600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
98difeq2d 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10 difid 4334 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
119, 10eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
127, 11sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑛}))
15 difeq1 4079 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
1615eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
1713, 14, 163imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
1817exlimiv 1934 . . . . . . . 8 (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
196, 18sylbi 216 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
2019imp 408 . . . . . 6 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2120raleqdv 3312 . . . . 5 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
222, 21mpbiri 258 . . . 4 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
233uvtxel 28385 . . . 4 (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
241, 22, 23sylanbrc 584 . . 3 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
2524ralrimiva 3140 . 2 ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
263cplgr1vlem 28426 . . 3 ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
273iscplgr 28412 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2826, 27syl 17 . 2 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2925, 28mpbird 257 1 ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  cdif 3911  c0 4286  {csn 4590  cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060  chash 14239  Vtxcvtx 27996   NeighbVtx cnbgr 28329  UnivVtxcuvtx 28382  ComplGraphccplgr 28406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-uvtx 28383  df-cplgr 28408
This theorem is referenced by:  cusgr1v  28428
  Copyright terms: Public domain W3C validator