Theorem cplgr1v 29515

Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr1v	⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v

Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		ral0 4453	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3		cplgr0v.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hash1snb 14354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7		velsn 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8		sneq 4592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
9	8	difeq2d 4080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10		difid 4330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
12	7, 11	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ {𝑛}))
15		difeq1 4073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
17	13, 14, 16	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
18	17	exlimiv 1932	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
19	6, 18	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
21	20	raleqdv 3298	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
22	2, 21	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
23	3	uvtxel 29473	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
24	1, 22, 23	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
25	24	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
26	3	cplgr1vlem 29514	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
27	3	iscplgr 29500	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
29	25, 28	mpbird 257	1 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081   NeighbVtx cnbgr 29417  UnivVtxcuvtx 29470  ComplGraphccplgr 29494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-uvtx 29471  df-cplgr 29496

This theorem is referenced by:  cusgr1v  29516