Theorem cplgr1v 29242

Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr1v	⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v

Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		ral0 4513	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3		cplgr0v.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hash1snb 14410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7		velsn 4645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8		sneq 4639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
9	8	difeq2d 4120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10		difid 4371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
12	7, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14		eleq2 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ {𝑛}))
15		difeq1 4113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
16	15	eqeq1d 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
17	13, 14, 16	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
18	17	exlimiv 1926	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
19	6, 18	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
21	20	raleqdv 3322	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
22	2, 21	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
23	3	uvtxel 29200	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
24	1, 22, 23	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
25	24	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
26	3	cplgr1vlem 29241	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
27	3	iscplgr 29227	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
29	25, 28	mpbird 257	1 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  Vcvv 3471   ∖ cdif 3944  ∅c0 4323  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11139  ♯chash 14321  Vtxcvtx 28808   NeighbVtx cnbgr 29144  UnivVtxcuvtx 29197  ComplGraphccplgr 29221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-uvtx 29198  df-cplgr 29223

This theorem is referenced by:  cusgr1v  29243