Theorem cplgr1v 28684

Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr1v	⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v

Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		ral0 4512	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3		cplgr0v.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hash1snb 14378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7		velsn 4644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8		sneq 4638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
9	8	difeq2d 4122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10		difid 4370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
12	7, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14		eleq2 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ {𝑛}))
15		difeq1 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
16	15	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
17	13, 14, 16	3imtr4d 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
18	17	exlimiv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
19	6, 18	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
20	19	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
21	20	raleqdv 3325	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
22	2, 21	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
23	3	uvtxel 28642	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
24	1, 22, 23	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
25	24	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
26	3	cplgr1vlem 28683	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
27	3	iscplgr 28669	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
29	25, 28	mpbird 256	1 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110  ♯chash 14289  Vtxcvtx 28253   NeighbVtx cnbgr 28586  UnivVtxcuvtx 28639  ComplGraphccplgr 28663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-hash 14290  df-uvtx 28640  df-cplgr 28665

This theorem is referenced by:  cusgr1v  28685