MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr1v 27778
Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cplgr1v ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v
Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
2 ral0 4448 . . . . 5 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3 cplgr0v.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6782 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
5 hash1snb 14115 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7 velsn 4582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8 sneq 4576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
98difeq2d 4061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10 difid 4309 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
119, 10eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
127, 11sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑛}))
15 difeq1 4054 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
1615eqeq1d 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
1713, 14, 163imtr4d 293 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
1817exlimiv 1936 . . . . . . . 8 (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
196, 18sylbi 216 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
2019imp 406 . . . . . 6 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2120raleqdv 3346 . . . . 5 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
222, 21mpbiri 257 . . . 4 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
233uvtxel 27736 . . . 4 (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
241, 22, 23sylanbrc 582 . . 3 (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
2524ralrimiva 3109 . 2 ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
263cplgr1vlem 27777 . . 3 ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
273iscplgr 27763 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2826, 27syl 17 . 2 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2925, 28mpbird 256 1 ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wex 1785  wcel 2109  wral 3065  Vcvv 3430  cdif 3888  c0 4261  {csn 4566  cfv 6430  (class class class)co 7268  1c1 10856  chash 14025  Vtxcvtx 27347   NeighbVtx cnbgr 27680  UnivVtxcuvtx 27733  ComplGraphccplgr 27757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-hash 14026  df-uvtx 27734  df-cplgr 27759
This theorem is referenced by:  cusgr1v  27779
  Copyright terms: Public domain W3C validator