Theorem cplgr1v 30044

Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr1v	⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v

Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		ral0 4457	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3		cplgr0v.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hash1snb 14594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7		velsn 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
9	8	difeq2d 4066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10		difid 4328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
12	7, 11	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14		eleq2 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ {𝑛}))
15		difeq1 4059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
16	15	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
17	13, 14, 16	3imtr4d 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
18	17	exlimiv 1965	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
19	6, 18	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
20	19	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
21	20	raleqdv 3323	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
22	2, 21	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
23	3	uvtxel 30002	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
24	1, 22, 23	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
25	24	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
26	3	cplgr1vlem 30043	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
27	3	iscplgr 30029	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
28	26, 27	syl 18	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
29	25, 28	mpbird 260	1 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1c1 11231  ♯chash 14504  Vtxcvtx 29607   NeighbVtx cnbgr 29946  UnivVtxcuvtx 29999  ComplGraphccplgr 30023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-hash 14505  df-uvtx 30000  df-cplgr 30025

This theorem is used by:  cusgr1v  30045