Theorem cplgr1v 29363

Description: A graph with one vertex is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr1v	⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Proof of Theorem cplgr1v

Dummy variables 𝑣 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		ral0 4478	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)
3		cplgr0v.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hash1snb 14390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
7		velsn 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} ↔ 𝑣 = 𝑛)
8		sneq 4601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → {𝑣} = {𝑛})
9	8	difeq2d 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑛}))
10		difid 4341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑛} ∖ {𝑛}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
12	7, 11	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ {𝑛} → ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
14		eleq2 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ {𝑛}))
15		difeq1 4084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑛} ∖ {𝑣}))
16	15	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ ↔ ({𝑛} ∖ {𝑣}) = ∅))
17	13, 14, 16	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
18	17	exlimiv 1930	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
19	6, 18	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
21	20	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
22	2, 21	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
23	3	uvtxel 29321	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
24	1, 22, 23	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
25	24	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
26	3	cplgr1vlem 29362	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)
27	3	iscplgr 29348	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
29	25, 28	mpbird 257	1 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ ComplGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∖ cdif 3913  ∅c0 4298  {csn 4591  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1c1 11075  ♯chash 14301  Vtxcvtx 28929   NeighbVtx cnbgr 29265  UnivVtxcuvtx 29318  ComplGraphccplgr 29342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-hash 14302  df-uvtx 29319  df-cplgr 29344

This theorem is referenced by:  cusgr1v  29364