MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrres 29214
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrres.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrres.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
cusgrres.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
cusgrres ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrres
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 29184 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 cusgrres.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 cusgrres.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4 cusgrres.f . . . 4 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
5 cusgrres.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
62, 3, 4, 5usgrres1 29080 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
71, 6sylan 579 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
8 iscusgr 29183 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
9 usgrupgr 28950 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ UPGraph)
1110anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉))
1211anim1i 614 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
132iscplgr 29180 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
14 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝑉)
1514ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → 𝑣𝑉)
16 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑣 → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1716rspcv 3602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑉 → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1918ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2113, 20sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2221imp 406 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2322impl 455 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
242, 3, 4, 5uvtxupgrres 29173 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
2512, 23, 24sylc 65 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
2625ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
278, 26sylanb 580 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
28 opex 5457 . . . . 5 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
295, 28eqeltri 2823 . . . 4 𝑆 ∈ V
302, 3, 4, 5upgrres1lem2 29076 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
3130eqcomi 2735 . . . . 5 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
3231iscplgr 29180 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
3329, 32mp1i 13 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
3427, 33mpbird 257 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplGraph)
35 iscusgr 29183 . 2 (𝑆 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝑆 ∈ USGraph ∧ 𝑆 ∈ ComplGraph))
367, 34, 35sylanbrc 582 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3040  wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  {csn 4623  cop 4629   I cid 5566  cres 5671  cfv 6537  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  UPGraphcupgr 28848  USGraphcusgr 28917  UnivVtxcuvtx 29150  ComplGraphccplgr 29174  ComplUSGraphccusgr 29175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-uspgr 28918  df-usgr 28919  df-nbgr 29098  df-uvtx 29151  df-cplgr 29176  df-cusgr 29177
This theorem is referenced by:  cusgrsize  29220
  Copyright terms: Public domain W3C validator