MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrres 28438
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrres.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrres.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
cusgrres.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
cusgrres ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrres
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 28409 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 cusgrres.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 cusgrres.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4 cusgrres.f . . . 4 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
5 cusgrres.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
62, 3, 4, 5usgrres1 28305 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
71, 6sylan 581 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
8 iscusgr 28408 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
9 usgrupgr 28175 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ UPGraph)
1110anim1i 616 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉))
1211anim1i 616 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
132iscplgr 28405 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
14 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝑉)
1514ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → 𝑣𝑉)
16 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑣 → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1716rspcv 3580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑉 → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1918ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2113, 20sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2221imp 408 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2322impl 457 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
242, 3, 4, 5uvtxupgrres 28398 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
2512, 23, 24sylc 65 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
2625ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
278, 26sylanb 582 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
28 opex 5426 . . . . 5 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
295, 28eqeltri 2834 . . . 4 𝑆 ∈ V
302, 3, 4, 5upgrres1lem2 28301 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
3130eqcomi 2746 . . . . 5 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
3231iscplgr 28405 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
3329, 32mp1i 13 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
3427, 33mpbird 257 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplGraph)
35 iscusgr 28408 . 2 (𝑆 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝑆 ∈ USGraph ∧ 𝑆 ∈ ComplGraph))
367, 34, 35sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3050  wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  cdif 3912  {csn 4591  cop 4597   I cid 5535  cres 5640  cfv 6501  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  UPGraphcupgr 28073  USGraphcusgr 28142  UnivVtxcuvtx 28375  ComplGraphccplgr 28399  ComplUSGraphccusgr 28400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-vtx 27991  df-iedg 27992  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-uvtx 28376  df-cplgr 28401  df-cusgr 28402
This theorem is referenced by:  cusgrsize  28444
  Copyright terms: Public domain W3C validator