Theorem cusgrres 27230

Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrres.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
cusgrres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
cusgrres	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrres

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrusgr 27201	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		cusgrres.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		cusgrres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		cusgrres.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
5		cusgrres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
6	2, 3, 4, 5	usgrres1 27097	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
7	1, 6	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
8		iscusgr 27200	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
9		usgrupgr 26967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
10	9	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	10	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
13	2	iscplgr 27197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
14		eldifi 4103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ 𝑉)
15	14	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → 𝑣 ∈ 𝑉)
16		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑣 → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
17	16	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
19	18	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
20	19	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
21	13, 20	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
22	21	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
23	22	impl 458	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
24	2, 3, 4, 5	uvtxupgrres 27190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
25	12, 23, 24	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
26	25	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
27	8, 26	sylanb 583	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
28		opex 5356	. . . . 5 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
29	5, 28	eqeltri 2909	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
30	2, 3, 4, 5	upgrres1lem2 27093	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
31	30	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
32	31	iscplgr 27197	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
33	29, 32	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
34	27, 33	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ComplGraph)
35		iscusgr 27200	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝑆 ∈ USGraph ∧ 𝑆 ∈ ComplGraph))
36	7, 34, 35	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3123  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933  {csn 4567  ⟨cop 4573   I cid 5459   ↾ cres 5557  ‘cfv 6355  Vtxcvtx 26781  Edgcedg 26832  UPGraphcupgr 26865  USGraphcusgr 26934  UnivVtxcuvtx 27167  ComplGraphccplgr 27191  ComplUSGraphccusgr 27192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-vtx 26783  df-iedg 26784  df-edg 26833  df-uhgr 26843  df-upgr 26867  df-umgr 26868  df-uspgr 26935  df-usgr 26936  df-nbgr 27115  df-uvtx 27168  df-cplgr 27193  df-cusgr 27194

This theorem is referenced by:  cusgrsize  27236