Theorem cusgrres 29376

Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrres.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
cusgrres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
cusgrres	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrres

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrusgr 29346	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		cusgrres.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		cusgrres.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		cusgrres.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
5		cusgrres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
6	2, 3, 4, 5	usgrres1 29242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
7	1, 6	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
8		iscusgr 29345	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
9		usgrupgr 29112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	10	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
13	2	iscplgr 29342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
14		eldifi 4094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ 𝑉)
15	14	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → 𝑣 ∈ 𝑉)
16		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑣 → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
17	16	rspcv 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
19	18	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
20	19	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
21	13, 20	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
22	21	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
23	22	impl 455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
24	2, 3, 4, 5	uvtxupgrres 29335	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
25	12, 23, 24	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
26	25	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
27	8, 26	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
28		opex 5424	. . . . 5 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
29	5, 28	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
30	2, 3, 4, 5	upgrres1lem2 29238	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
31	30	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
32	31	iscplgr 29342	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
33	29, 32	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
34	27, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ComplGraph)
35		iscusgr 29345	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝑆 ∈ USGraph ∧ 𝑆 ∈ ComplGraph))
36	7, 34, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  {csn 4589  ⟨cop 4595   I cid 5532   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  Vtxcvtx 28923  Edgcedg 28974  UPGraphcupgr 29007  USGraphcusgr 29076  UnivVtxcuvtx 29312  ComplGraphccplgr 29336  ComplUSGraphccusgr 29337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-vtx 28925  df-iedg 28926  df-edg 28975  df-uhgr 28985  df-upgr 29009  df-umgr 29010  df-uspgr 29077  df-usgr 29078  df-nbgr 29260  df-uvtx 29313  df-cplgr 29338  df-cusgr 29339

This theorem is referenced by:  cusgrsize  29382