Theorem disj 4401

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint (have no members in common). (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
disj	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-in 3945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
2	1	eqeq1i 2828	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} = ∅)
3		abeq1 2948	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
4		imnan 402	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5		noel 4298	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6	5	nbn 375	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
7	4, 6	bitr2i 278	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	2, 3, 8	3bitri 299	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10		df-ral 3145	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11	9, 10	bitr4i 280	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2801  ∀wral 3140   ∩ cin 3937  ∅c0 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-ral 3145  df-dif 3941  df-in 3945  df-nul 4294

This theorem is referenced by:  disjr  4402  disj1  4403  disjne  4406  disjord  5056  disjiund  5058  otiunsndisj  5412  onxpdisj  6312  f0rn0  6566  onint  7512  zfreg  9061  kmlem4  9581  fin23lem30  9766  fin23lem31  9767  isf32lem3  9779  fpwwe2  10067  renfdisj  10703  fvinim0ffz  13159  s3iunsndisj  14330  metdsge  23459  2wspmdisj  28118  subfacp1lem1  32428  dfpo2  32993  dvmptfprodlem  42236  stoweidlem26  42318  stoweidlem59  42351  iundjiunlem  42748  otiunsndisjX  43485