Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhphflem 41166
Description: Lemma for mhphf 41167. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphflem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
mhphflem.h 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mhphflem.e Β· = (.gβ€˜πΊ)
mhphflem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
mhphflem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
mhphflem ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))) = (𝑁 Β· 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑣, Β·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,π‘Ž   β„Ž,π‘Ž   𝑣,π‘Ž   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐡(𝑣,𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐷(𝑣,β„Ž,π‘Ž)   Β· (𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐺(𝑣,𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐻(𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐼(𝑔,π‘Ž)   𝐿(𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝑁(𝑣,β„Ž,π‘Ž)   𝑉(𝑣,𝑔,β„Ž,π‘Ž)
Proof of Theorem mhphflem
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0subm 20993 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
2 eqid 2733 . . . . 5 (β„‚fld β†Ύs β„•0) = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
32submbas 18692 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ β„•0 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
41, 3ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
5 cnfld0 20962 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
62, 5subm0 18693 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
71, 6ax-mp 5 . . 3 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
8 cnring 20960 . . . . . 6 β„‚fld ∈ Ring
9 ringcmn 20093 . . . . . 6 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 β„‚fld ∈ CMnd
112submcmn 19701 . . . . 5 ((β„‚fld ∈ CMnd ∧ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ CMnd)
1210, 1, 11mp2an 691 . . . 4 (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ CMnd
1312a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ CMnd)
14 mhphflem.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1514adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
16 mhphflem.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1716adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
18 mhphflem.k . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
19 cnfldadd 20942 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„‚fld)
202, 19ressplusg 17232 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
211, 20ax-mp 5 . . . 4 + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
22 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
23 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
242submmnd 18691 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd)
251, 24mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd)
26 mhphflem.e . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜πΊ)
2714ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
28 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
29 mhphflem.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
3029ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
3118, 26, 27, 28, 30mulgnn0cld 18970 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) ∈ 𝐡)
3231fmpttd 7112 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿)):β„•0⟢𝐡)
3314ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
34 simprl 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
35 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
3629ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
3718, 26, 22mulgnn0dir 18979 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿) = ((π‘₯ Β· 𝐿)(+gβ€˜πΊ)(𝑦 Β· 𝐿)))
3833, 34, 35, 36, 37syl13anc 1373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿) = ((π‘₯ Β· 𝐿)(+gβ€˜πΊ)(𝑦 Β· 𝐿)))
39 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))
40 oveq1 7413 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘₯ + 𝑦) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿))
41 nn0addcl 12504 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
4241adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
43 ovexd 7441 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿) ∈ V)
4439, 40, 42, 43fvmptd3 7019 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿))
45 oveq1 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (π‘₯ Β· 𝐿))
46 ovexd 7441 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ Β· 𝐿) ∈ V)
4739, 45, 34, 46fvmptd3 7019 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β· 𝐿))
48 oveq1 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (𝑦 Β· 𝐿))
49 ovexd 7441 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (𝑦 Β· 𝐿) ∈ V)
5039, 48, 35, 49fvmptd3 7019 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘¦) = (𝑦 Β· 𝐿))
5147, 50oveq12d 7424 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β· 𝐿)(+gβ€˜πΊ)(𝑦 Β· 𝐿)))
5238, 44, 513eqtr4d 2783 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜(π‘₯ + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘¦)))
53 oveq1 7413 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (0 Β· 𝐿))
54 0nn0 12484 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ β„•0)
56 ovexd 7441 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (0 Β· 𝐿) ∈ V)
5739, 53, 55, 56fvmptd3 7019 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜0) = (0 Β· 𝐿))
5829adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
5918, 23, 26mulg0 18952 . . . . . 6 (𝐿 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝐿) = (0gβ€˜πΊ))
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (0 Β· 𝐿) = (0gβ€˜πΊ))
6157, 60eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜0) = (0gβ€˜πΊ))
624, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61ismhmd 18671 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿)) ∈ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) MndHom 𝐺))
63 elrabi 3677 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁} β†’ π‘Ž ∈ 𝐷)
64 mhphflem.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
6563, 64eleq2s 2852 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐻 β†’ π‘Ž ∈ 𝐷)
6665adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž ∈ 𝐷)
67 mhphflem.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6867psrbagf 21463 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐷 β†’ π‘Ž:πΌβŸΆβ„•0)
6966, 68syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž:πΌβŸΆβ„•0)
7069ffvelcdmda 7084 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) ∈ β„•0)
7169feqmptd 6958 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£)))
7267psrbagfsupp 21465 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐷 β†’ π‘Ž finSupp 0)
7366, 72syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž finSupp 0)
7471, 73eqbrtrrd 5172 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£)) finSupp 0)
75 oveq1 7413 . . 3 (𝑛 = (π‘Žβ€˜π‘£) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))
76 oveq1 7413 . . 3 (𝑛 = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) Β· 𝐿))
774, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76gsummhm2 19802 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))) = (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) Β· 𝐿))
7871oveq2d 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))))
79 oveq2 7414 . . . . . . . 8 (𝑔 = π‘Ž β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž))
8079eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (𝑔 = π‘Ž β†’ (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁 ↔ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁))
8180, 64elrab2 3686 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐻 ↔ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁))
8281simprbi 498 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐻 β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁)
8382adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁)
8478, 83eqtr3d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) = 𝑁)
8584oveq1d 7421 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) Β· 𝐿) = (𝑁 Β· 𝐿))
8677, 85eqtrd 2773 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))) = (𝑁 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  0cc0 11107   + caddc 11110  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  +gcplusg 17194  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  Mndcmnd 18622  SubMndcsubmnd 18667  .gcmg 18945  CMndccmn 19643  Ringcrg 20050  β„‚fldccnfld 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-cnfld 20938
This theorem is referenced by:  mhphf  41167
  Copyright terms: Public domain W3C validator