Theorem mhphflem 40207

Description: Lemma for mhphf 40208. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphflem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h	⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e	⊢ · = (.g‘𝐺)
mhphflem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
mhphflem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhphflem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ℎ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑣,ℎ,𝑎)   · (𝑔,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑣,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0subm 20565	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
3	2	submbas 18368	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
5		cnfld0 20534	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	2, 5	subm0 18369	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
8		cnring 20532	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		ringcmn 19735	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
11	2	submcmn 19354	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
12	10, 1, 11	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
14		mhphflem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16		mhphflem.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		mhphflem.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		cnfldadd 20515	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
20	2, 19	ressplusg 16926	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	2	submmnd 18367	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
26	14	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28		mhphflem.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
30		mhphflem.e	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
31	18, 30	mulgnn0cl 18635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
32	26, 27, 29, 31	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
33	32	fmpttd 6971	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0⟶𝐵)
34	14	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
36		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
37	28	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ 𝐵)
38	18, 30, 22	mulgnn0dir 18648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39	34, 35, 36, 37, 38	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
40		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
41		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
42		nn0addcl 12198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
44		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
45	40, 41, 43, 44	fvmptd3 6880	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
46		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
47		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
48	40, 46, 35, 47	fvmptd3 6880	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
49		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
50		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
51	40, 49, 36, 50	fvmptd3 6880	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
52	48, 51	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
53	39, 45, 52	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
54		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
55		0nn0 12178	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
56	55	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
57		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
58	40, 54, 56, 57	fvmptd3 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
59	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐿 ∈ 𝐵)
60	18, 23, 30	mulg0 18622	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
62	58, 61	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g‘𝐺))
63	4, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 33, 53, 62	ismhmd 40164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂfld ↾s ℕ0) MndHom 𝐺))
64		elrabi 3611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝐷)
65		mhphflem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
66	64, 65	eleq2s 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐷)
68		mhphflem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
69	68	psrbagf 21031	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
70	67, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
71	70	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑣) ∈ ℕ0)
72	70	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)))
73	68	psrbagfsupp 21033	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎 finSupp 0)
74	67, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
75	72, 74	eqbrtrrd 5094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)) finSupp 0)
76		oveq1 7262	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑎‘𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))
77		oveq1 7262	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
78	4, 7, 13, 15, 17, 63, 71, 75, 76, 77	gsummhm2 19455	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
79	72	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))))
80		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎))
81	80	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
82	81, 65	elrab2 3620	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
83	82	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
84	83	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
85	79, 84	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) = 𝑁)
86	85	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
87	78, 86	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  0cc0 10802   + caddc 10805  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344  ._gcmg 18615  CMndccmn 19301  Ringcrg 19698  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  mhphf  40208