Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhphflem 41623
Description: Lemma for mhphf 41624. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphflem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
mhphflem.h 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mhphflem.e Β· = (.gβ€˜πΊ)
mhphflem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
mhphflem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
mhphflem ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))) = (𝑁 Β· 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑣, Β·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,π‘Ž   β„Ž,π‘Ž   𝑣,π‘Ž   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐡(𝑣,𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐷(𝑣,β„Ž,π‘Ž)   Β· (𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐺(𝑣,𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐻(𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝐼(𝑔,π‘Ž)   𝐿(𝑔,β„Ž,π‘Ž)   𝑁(𝑣,β„Ž,π‘Ž)   𝑉(𝑣,𝑔,β„Ž,π‘Ž)
Proof of Theorem mhphflem
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0subm 21279 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
2 eqid 2724 . . . . 5 (β„‚fld β†Ύs β„•0) = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
32submbas 18726 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ β„•0 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
41, 3ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
5 cnfld0 21248 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
62, 5subm0 18727 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
71, 6ax-mp 5 . . 3 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
8 cnring 21246 . . . . . 6 β„‚fld ∈ Ring
9 ringcmn 20166 . . . . . 6 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 β„‚fld ∈ CMnd
112submcmn 19743 . . . . 5 ((β„‚fld ∈ CMnd ∧ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ CMnd)
1210, 1, 11mp2an 689 . . . 4 (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ CMnd
1312a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ CMnd)
14 mhphflem.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
16 mhphflem.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
18 mhphflem.k . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
19 cnfldadd 21228 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„‚fld)
202, 19ressplusg 17231 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
211, 20ax-mp 5 . . . 4 + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
22 eqid 2724 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
23 eqid 2724 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
242submmnd 18725 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd)
251, 24mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd)
26 mhphflem.e . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜πΊ)
2714ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
28 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
29 mhphflem.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
3029ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
3118, 26, 27, 28, 30mulgnn0cld 19007 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) ∈ 𝐡)
3231fmpttd 7106 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿)):β„•0⟢𝐡)
3314ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
34 simprl 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
35 simprr 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
3629ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
3718, 26, 22mulgnn0dir 19016 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿) = ((π‘₯ Β· 𝐿)(+gβ€˜πΊ)(𝑦 Β· 𝐿)))
3833, 34, 35, 36, 37syl13anc 1369 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿) = ((π‘₯ Β· 𝐿)(+gβ€˜πΊ)(𝑦 Β· 𝐿)))
39 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))
40 oveq1 7408 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘₯ + 𝑦) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿))
41 nn0addcl 12503 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
4241adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
43 ovexd 7436 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿) ∈ V)
4439, 40, 42, 43fvmptd3 7011 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝐿))
45 oveq1 7408 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (π‘₯ Β· 𝐿))
46 ovexd 7436 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ Β· 𝐿) ∈ V)
4739, 45, 34, 46fvmptd3 7011 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β· 𝐿))
48 oveq1 7408 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (𝑦 Β· 𝐿))
49 ovexd 7436 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (𝑦 Β· 𝐿) ∈ V)
5039, 48, 35, 49fvmptd3 7011 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘¦) = (𝑦 Β· 𝐿))
5147, 50oveq12d 7419 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β· 𝐿)(+gβ€˜πΊ)(𝑦 Β· 𝐿)))
5238, 44, 513eqtr4d 2774 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜(π‘₯ + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜π‘¦)))
53 oveq1 7408 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (0 Β· 𝐿))
54 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ β„•0)
56 ovexd 7436 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (0 Β· 𝐿) ∈ V)
5739, 53, 55, 56fvmptd3 7011 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜0) = (0 Β· 𝐿))
5829adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
5918, 23, 26mulg0 18989 . . . . . 6 (𝐿 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝐿) = (0gβ€˜πΊ))
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (0 Β· 𝐿) = (0gβ€˜πΊ))
6157, 60eqtrd 2764 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿))β€˜0) = (0gβ€˜πΊ))
624, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61ismhmd 18703 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 Β· 𝐿)) ∈ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) MndHom 𝐺))
63 elrabi 3669 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁} β†’ π‘Ž ∈ 𝐷)
64 mhphflem.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
6563, 64eleq2s 2843 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐻 β†’ π‘Ž ∈ 𝐷)
6665adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž ∈ 𝐷)
67 mhphflem.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6867psrbagf 21771 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐷 β†’ π‘Ž:πΌβŸΆβ„•0)
6966, 68syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž:πΌβŸΆβ„•0)
7069ffvelcdmda 7076 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Žβ€˜π‘£) ∈ β„•0)
7169feqmptd 6950 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£)))
7267psrbagfsupp 21773 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐷 β†’ π‘Ž finSupp 0)
7366, 72syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ π‘Ž finSupp 0)
7471, 73eqbrtrrd 5162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£)) finSupp 0)
75 oveq1 7408 . . 3 (𝑛 = (π‘Žβ€˜π‘£) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))
76 oveq1 7408 . . 3 (𝑛 = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) β†’ (𝑛 Β· 𝐿) = (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) Β· 𝐿))
774, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76gsummhm2 19844 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))) = (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) Β· 𝐿))
7871oveq2d 7417 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))))
79 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑔 = π‘Ž β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž))
8079eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝑔 = π‘Ž β†’ (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁 ↔ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁))
8180, 64elrab2 3678 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐻 ↔ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁))
8281simprbi 496 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐻 β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁)
8382adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g π‘Ž) = 𝑁)
8478, 83eqtr3d 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) = 𝑁)
8584oveq1d 7416 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Žβ€˜π‘£))) Β· 𝐿) = (𝑁 Β· 𝐿))
8677, 85eqtrd 2764 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£) Β· 𝐿))) = (𝑁 Β· 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  0cc0 11105   + caddc 11108  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18654  SubMndcsubmnd 18699  .gcmg 18982  CMndccmn 19685  Ringcrg 20123  β„‚fldccnfld 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-cnfld 21224
This theorem is referenced by:  mhphf  41624
  Copyright terms: Public domain W3C validator