Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphflem 40756
Description: Lemma for mhphf 40757. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphflem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h 𝐻 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e · = (.g𝐺)
mhphflem.i (𝜑𝐼𝑉)
mhphflem.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l (𝜑𝐿𝐵)
mhphflem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
mhphflem ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,,𝑎)   𝐷(𝑣,,𝑎)   · (𝑔,,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,,𝑎)   𝐻(𝑔,,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,,𝑎)   𝑁(𝑣,,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0subm 20852 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2 eqid 2736 . . . . 5 (ℂflds0) = (ℂflds0)
32submbas 18625 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
41, 3ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
5 cnfld0 20821 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
62, 5subm0 18626 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
71, 6ax-mp 5 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
8 cnring 20819 . . . . . 6 fld ∈ Ring
9 ringcmn 20003 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ CMnd
112submcmn 19616 . . . . 5 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
1210, 1, 11mp2an 690 . . . 4 (ℂflds0) ∈ CMnd
1312a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
14 mhphflem.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16 mhphflem.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑉)
18 mhphflem.k . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
19 cnfldadd 20801 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
202, 19ressplusg 17171 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂflds0)))
211, 20ax-mp 5 . . . 4 + = (+g‘(ℂflds0))
22 eqid 2736 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
23 eqid 2736 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
242submmnd 18624 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
251, 24mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
26 mhphflem.e . . . . . 6 · = (.g𝐺)
2714ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
28 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29 mhphflem.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝐵)
3029ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
3118, 26, 27, 28, 30mulgnn0cld 18897 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
3231fmpttd 7063 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0𝐵)
3314ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simprl 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
35 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3629ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿𝐵)
3718, 26, 22mulgnn0dir 18906 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝐿𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
3833, 34, 35, 36, 37syl13anc 1372 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
40 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
41 nn0addcl 12448 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4241adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43 ovexd 7392 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
4439, 40, 42, 43fvmptd3 6971 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
45 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
46 ovexd 7392 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
4739, 45, 34, 46fvmptd3 6971 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
48 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
49 ovexd 7392 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
5039, 48, 35, 49fvmptd3 6971 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
5147, 50oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
5238, 44, 513eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
53 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
54 0nn0 12428 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
56 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
5739, 53, 55, 56fvmptd3 6971 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
5829adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐿𝐵)
5918, 23, 26mulg0 18879 . . . . . 6 (𝐿𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g𝐺))
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g𝐺))
6157, 60eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g𝐺))
624, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61ismhmd 18604 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂflds0) MndHom 𝐺))
63 elrabi 3639 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎𝐷)
64 mhphflem.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
6563, 64eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝑎𝐻𝑎𝐷)
6665adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐷)
67 mhphflem.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6867psrbagf 21320 . . . . 5 (𝑎𝐷𝑎:𝐼⟶ℕ0)
6966, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
7069ffvelcdmda 7035 . . 3 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑎𝑣) ∈ ℕ0)
7169feqmptd 6910 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 = (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣)))
7267psrbagfsupp 21322 . . . . 5 (𝑎𝐷𝑎 finSupp 0)
7366, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
7471, 73eqbrtrrd 5129 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣)) finSupp 0)
75 oveq1 7364 . . 3 (𝑛 = (𝑎𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎𝑣) · 𝐿))
76 oveq1 7364 . . 3 (𝑛 = ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿))
774, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76gsummhm2 19716 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿))
7871oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))))
79 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑎 → ((ℂflds0) Σg 𝑔) = ((ℂflds0) Σg 𝑎))
8079eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑎 → (((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁))
8180, 64elrab2 3648 . . . . . 6 (𝑎𝐻 ↔ (𝑎𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁))
8281simprbi 497 . . . . 5 (𝑎𝐻 → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁)
8382adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁)
8478, 83eqtr3d 2778 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) = 𝑁)
8584oveq1d 7372 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
8677, 85eqtrd 2776 1 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11051   + caddc 11054  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  .gcmg 18872  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  fldccnfld 20796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-cnfld 20797
This theorem is referenced by:  mhphf  40757
  Copyright terms: Public domain W3C validator