Theorem mhphflem 43386

Description: Lemma for mhphf 43387. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphflem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h	⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e	⊢ · = (.g‘𝐺)
mhphflem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
mhphflem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhphflem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ℎ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐵(𝑣, 𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐷(𝑣, ℎ, 𝑎)   · (𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐺(𝑣, 𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐻(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐼(𝑔, 𝑎)   𝐿(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑁(𝑣, ℎ, 𝑎)   𝑉(𝑣, 𝑔, ℎ, 𝑎)

Proof of Theorem mhphflem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0subm 21622	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
3	2	submbas 18910	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
5		cnfld0 21596	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	2, 5	subm0 18911	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
8		cnring 21594	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		ringcmn 20410	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
11	2	submcmn 19952	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
12	10, 1, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
14		mhphflem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16		mhphflem.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		mhphflem.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		cnfldadd 21578	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
20	2, 19	ressplusg 17366	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	2	submmnd 18909	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
25	1, 24	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
26		mhphflem.e	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
27	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		mhphflem.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
31	18, 26, 27, 28, 30	mulgnn0cld 19205	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 7114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0⟶𝐵)
33	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
35		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36	29	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ 𝐵)
37	18, 26, 22	mulgnn0dir 19214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
38	33, 34, 35, 36, 37	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
40		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
41		nn0addcl 12554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
44	39, 40, 42, 43	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
45		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
46		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
47	39, 45, 34, 46	fvmptd3 7017	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
48		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
49		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
50	39, 48, 35, 49	fvmptd3 7017	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
51	47, 50	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
52	38, 44, 51	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
53		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
54		0nn0 12534	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
56		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
57	39, 53, 55, 56	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
58	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐿 ∈ 𝐵)
59	18, 23, 26	mulg0 19184	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
60	58, 59	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
61	57, 60	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g‘𝐺))
62	4, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61	ismhmd 18881	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂfld ↾s ℕ0) MndHom 𝐺))
63		elrabi 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝐷)
64		mhphflem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
65	63, 64	eleq2s 2883	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∈ 𝐷)
66	65	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐷)
67		mhphflem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
68	67	psrbagf 22118	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
69	66, 68	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
70	69	ffvelcdmda 7083	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑣) ∈ ℕ0)
71	69	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)))
72	67	psrbagfsupp 22119	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎 finSupp 0)
73	66, 72	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
74	71, 73	eqbrtrrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)) finSupp 0)
75		oveq1 7426	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑎‘𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))
76		oveq1 7426	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
77	4, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76	gsummhm2 20053	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
78	71	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))))
79		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎))
80	79	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
81	80, 64	elrab2 3656	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
82	81	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
83	82	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
84	78, 83	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) = 𝑁)
85	84	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
86	77, 85	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949   finSupp cfsupp 9328  0cc0 11115   + caddc 11118  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  Mndcmnd 18824  SubMndcsubmnd 18877  ._gcmg 19177  CMndccmn 19894  Ringcrg 20359  ℂ_fldccnfld 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-cnfld 21573

This theorem is used by:  mhphf  43387