Theorem mhphflem 42584

Description: Lemma for mhphf 42585. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphflem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h	⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e	⊢ · = (.g‘𝐺)
mhphflem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
mhphflem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhphflem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ℎ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑣,ℎ,𝑎)   · (𝑔,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑣,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0subm 21339	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
3	2	submbas 18741	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
5		cnfld0 21304	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	2, 5	subm0 18742	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
8		cnring 21302	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		ringcmn 20191	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
11	2	submcmn 19768	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
12	10, 1, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
14		mhphflem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16		mhphflem.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		mhphflem.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		cnfldadd 21270	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
20	2, 19	ressplusg 17254	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	2	submmnd 18740	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
26		mhphflem.e	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
27	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		mhphflem.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
31	18, 26, 27, 28, 30	mulgnn0cld 19027	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 7087	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0⟶𝐵)
33	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ 𝐵)
37	18, 26, 22	mulgnn0dir 19036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
38	33, 34, 35, 36, 37	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
40		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
41		nn0addcl 12477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43		ovexd 7422	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
44	39, 40, 42, 43	fvmptd3 6991	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
45		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
46		ovexd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
47	39, 45, 34, 46	fvmptd3 6991	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
48		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
49		ovexd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
50	39, 48, 35, 49	fvmptd3 6991	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
51	47, 50	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
52	38, 44, 51	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
53		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
54		0nn0 12457	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
56		ovexd 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
57	39, 53, 55, 56	fvmptd3 6991	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
58	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐿 ∈ 𝐵)
59	18, 23, 26	mulg0 19006	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
61	57, 60	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g‘𝐺))
62	4, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61	ismhmd 18713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂfld ↾s ℕ0) MndHom 𝐺))
63		elrabi 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝐷)
64		mhphflem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
65	63, 64	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∈ 𝐷)
66	65	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐷)
67		mhphflem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
68	67	psrbagf 21827	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
69	66, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
70	69	ffvelcdmda 7056	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑣) ∈ ℕ0)
71	69	feqmptd 6929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)))
72	67	psrbagfsupp 21828	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎 finSupp 0)
73	66, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
74	71, 73	eqbrtrrd 5131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)) finSupp 0)
75		oveq1 7394	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑎‘𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))
76		oveq1 7394	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
77	4, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76	gsummhm2 19869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
78	71	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))))
79		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎))
80	79	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
81	80, 64	elrab2 3662	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
82	81	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
83	82	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
84	78, 83	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) = 𝑁)
85	84	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
86	77, 85	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312  0cc0 11068   + caddc 11071  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  ._gcmg 18999  CMndccmn 19710  Ringcrg 20142  ℂ_fldccnfld 21264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-cnfld 21265

This theorem is referenced by:  mhphf  42585