Theorem mhphflem 40284

Description: Lemma for mhphf 40285. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphflem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h	⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e	⊢ · = (.g‘𝐺)
mhphflem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
mhphflem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhphflem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ℎ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑣,ℎ,𝑎)   · (𝑔,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑣,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0subm 20653	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
3	2	submbas 18453	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
5		cnfld0 20622	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	2, 5	subm0 18454	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
8		cnring 20620	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		ringcmn 19820	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
11	2	submcmn 19439	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
12	10, 1, 11	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
14		mhphflem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16		mhphflem.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		mhphflem.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		cnfldadd 20602	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
20	2, 19	ressplusg 17000	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	2	submmnd 18452	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
26	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
27		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28		mhphflem.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
30		mhphflem.e	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
31	18, 30	mulgnn0cl 18720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
32	26, 27, 29, 31	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
33	32	fmpttd 6989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0⟶𝐵)
34	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
35		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
36		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
37	28	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ 𝐵)
38	18, 30, 22	mulgnn0dir 18733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39	34, 35, 36, 37, 38	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
40		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
41		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
42		nn0addcl 12268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
44		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
45	40, 41, 43, 44	fvmptd3 6898	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
46		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
47		ovexd 7310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
48	40, 46, 35, 47	fvmptd3 6898	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
49		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
50		ovexd 7310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
51	40, 49, 36, 50	fvmptd3 6898	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
52	48, 51	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
53	39, 45, 52	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
54		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
55		0nn0 12248	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
56	55	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
57		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
58	40, 54, 56, 57	fvmptd3 6898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
59	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐿 ∈ 𝐵)
60	18, 23, 30	mulg0 18707	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
62	58, 61	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g‘𝐺))
63	4, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 33, 53, 62	ismhmd 40238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂfld ↾s ℕ0) MndHom 𝐺))
64		elrabi 3618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝐷)
65		mhphflem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
66	64, 65	eleq2s 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∈ 𝐷)
67	66	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐷)
68		mhphflem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
69	68	psrbagf 21121	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
70	67, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
71	70	ffvelrnda 6961	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑣) ∈ ℕ0)
72	70	feqmptd 6837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)))
73	68	psrbagfsupp 21123	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎 finSupp 0)
74	67, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
75	72, 74	eqbrtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)) finSupp 0)
76		oveq1 7282	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑎‘𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))
77		oveq1 7282	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
78	4, 7, 13, 15, 17, 63, 71, 75, 76, 77	gsummhm2 19540	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
79	72	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))))
80		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎))
81	80	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
82	81, 65	elrab2 3627	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
83	82	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
84	83	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
85	79, 84	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) = 𝑁)
86	85	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
87	78, 86	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  0cc0 10871   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  ._gcmg 18700  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  mhphf  40285