Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphflem 42551
Description: Lemma for mhphf 42552. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphflem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h 𝐻 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e · = (.g𝐺)
mhphflem.i (𝜑𝐼𝑉)
mhphflem.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l (𝜑𝐿𝐵)
mhphflem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
mhphflem ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,,𝑎)   𝐷(𝑣,,𝑎)   · (𝑔,,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,,𝑎)   𝐻(𝑔,,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,,𝑎)   𝑁(𝑣,,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0subm 21463 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2 eqid 2740 . . . . 5 (ℂflds0) = (ℂflds0)
32submbas 18849 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
41, 3ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
5 cnfld0 21428 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
62, 5subm0 18850 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
71, 6ax-mp 5 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
8 cnring 21426 . . . . . 6 fld ∈ Ring
9 ringcmn 20305 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ CMnd
112submcmn 19880 . . . . 5 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
1210, 1, 11mp2an 691 . . . 4 (ℂflds0) ∈ CMnd
1312a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
14 mhphflem.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16 mhphflem.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑉)
18 mhphflem.k . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
19 cnfldadd 21393 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
202, 19ressplusg 17349 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂflds0)))
211, 20ax-mp 5 . . . 4 + = (+g‘(ℂflds0))
22 eqid 2740 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
23 eqid 2740 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
242submmnd 18848 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
251, 24mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
26 mhphflem.e . . . . . 6 · = (.g𝐺)
2714ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
28 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29 mhphflem.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝐵)
3029ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
3118, 26, 27, 28, 30mulgnn0cld 19135 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
3231fmpttd 7149 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0𝐵)
3314ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simprl 770 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
35 simprr 772 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3629ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿𝐵)
3718, 26, 22mulgnn0dir 19144 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝐿𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
3833, 34, 35, 36, 37syl13anc 1372 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
40 oveq1 7455 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
41 nn0addcl 12588 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4241adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43 ovexd 7483 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
4439, 40, 42, 43fvmptd3 7052 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
45 oveq1 7455 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
46 ovexd 7483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
4739, 45, 34, 46fvmptd3 7052 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
48 oveq1 7455 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
49 ovexd 7483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
5039, 48, 35, 49fvmptd3 7052 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
5147, 50oveq12d 7466 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
5238, 44, 513eqtr4d 2790 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
53 oveq1 7455 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
54 0nn0 12568 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
56 ovexd 7483 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
5739, 53, 55, 56fvmptd3 7052 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
5829adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐿𝐵)
5918, 23, 26mulg0 19114 . . . . . 6 (𝐿𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g𝐺))
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g𝐺))
6157, 60eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g𝐺))
624, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61ismhmd 18821 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂflds0) MndHom 𝐺))
63 elrabi 3703 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎𝐷)
64 mhphflem.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
6563, 64eleq2s 2862 . . . . . 6 (𝑎𝐻𝑎𝐷)
6665adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐷)
67 mhphflem.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6867psrbagf 21961 . . . . 5 (𝑎𝐷𝑎:𝐼⟶ℕ0)
6966, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
7069ffvelcdmda 7118 . . 3 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑎𝑣) ∈ ℕ0)
7169feqmptd 6990 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 = (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣)))
7267psrbagfsupp 21962 . . . . 5 (𝑎𝐷𝑎 finSupp 0)
7366, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
7471, 73eqbrtrrd 5190 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣)) finSupp 0)
75 oveq1 7455 . . 3 (𝑛 = (𝑎𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎𝑣) · 𝐿))
76 oveq1 7455 . . 3 (𝑛 = ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿))
774, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76gsummhm2 19981 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿))
7871oveq2d 7464 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))))
79 oveq2 7456 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑎 → ((ℂflds0) Σg 𝑔) = ((ℂflds0) Σg 𝑎))
8079eqeq1d 2742 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑎 → (((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁))
8180, 64elrab2 3711 . . . . . 6 (𝑎𝐻 ↔ (𝑎𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁))
8281simprbi 496 . . . . 5 (𝑎𝐻 → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁)
8382adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁)
8478, 83eqtr3d 2782 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) = 𝑁)
8584oveq1d 7463 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
8677, 85eqtrd 2780 1 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  cmpt 5249  ccnv 5699  cima 5703  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431  0cc0 11184   + caddc 11187  cn 12293  0cn0 12553  Basecbs 17258  s cress 17287  +gcplusg 17311  0gc0g 17499   Σg cgsu 17500  Mndcmnd 18772  SubMndcsubmnd 18817  .gcmg 19107  CMndccmn 19822  Ringcrg 20260  fldccnfld 21387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-cnfld 21388
This theorem is referenced by:  mhphf  42552
  Copyright terms: Public domain W3C validator