Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphflem 42583
Description: Lemma for mhphf 42584. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphflem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h 𝐻 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e · = (.g𝐺)
mhphflem.i (𝜑𝐼𝑉)
mhphflem.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l (𝜑𝐿𝐵)
mhphflem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
mhphflem ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,,𝑎)   𝐷(𝑣,,𝑎)   · (𝑔,,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,,𝑎)   𝐻(𝑔,,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,,𝑎)   𝑁(𝑣,,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0subm 21458 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2 eqid 2735 . . . . 5 (ℂflds0) = (ℂflds0)
32submbas 18840 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
41, 3ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
5 cnfld0 21423 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
62, 5subm0 18841 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
71, 6ax-mp 5 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
8 cnring 21421 . . . . . 6 fld ∈ Ring
9 ringcmn 20296 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ CMnd
112submcmn 19871 . . . . 5 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
1210, 1, 11mp2an 692 . . . 4 (ℂflds0) ∈ CMnd
1312a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
14 mhphflem.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16 mhphflem.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑉)
18 mhphflem.k . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
19 cnfldadd 21388 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
202, 19ressplusg 17336 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂflds0)))
211, 20ax-mp 5 . . . 4 + = (+g‘(ℂflds0))
22 eqid 2735 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
23 eqid 2735 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
242submmnd 18839 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
251, 24mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
26 mhphflem.e . . . . . 6 · = (.g𝐺)
2714ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
28 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29 mhphflem.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝐵)
3029ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
3118, 26, 27, 28, 30mulgnn0cld 19126 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
3231fmpttd 7135 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0𝐵)
3314ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simprl 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
35 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3629ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿𝐵)
3718, 26, 22mulgnn0dir 19135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝐿𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
3833, 34, 35, 36, 37syl13anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
40 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
41 nn0addcl 12559 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4241adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43 ovexd 7466 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
4439, 40, 42, 43fvmptd3 7039 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
45 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
46 ovexd 7466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
4739, 45, 34, 46fvmptd3 7039 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
48 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
49 ovexd 7466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
5039, 48, 35, 49fvmptd3 7039 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
5147, 50oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
5238, 44, 513eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
53 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
54 0nn0 12539 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
56 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
5739, 53, 55, 56fvmptd3 7039 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
5829adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐿𝐵)
5918, 23, 26mulg0 19105 . . . . . 6 (𝐿𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g𝐺))
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g𝐺))
6157, 60eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g𝐺))
624, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61ismhmd 18812 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂflds0) MndHom 𝐺))
63 elrabi 3690 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎𝐷)
64 mhphflem.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
6563, 64eleq2s 2857 . . . . . 6 (𝑎𝐻𝑎𝐷)
6665adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐷)
67 mhphflem.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6867psrbagf 21956 . . . . 5 (𝑎𝐷𝑎:𝐼⟶ℕ0)
6966, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
7069ffvelcdmda 7104 . . 3 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑎𝑣) ∈ ℕ0)
7169feqmptd 6977 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 = (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣)))
7267psrbagfsupp 21957 . . . . 5 (𝑎𝐷𝑎 finSupp 0)
7366, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
7471, 73eqbrtrrd 5172 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣)) finSupp 0)
75 oveq1 7438 . . 3 (𝑛 = (𝑎𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎𝑣) · 𝐿))
76 oveq1 7438 . . 3 (𝑛 = ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿))
774, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76gsummhm2 19972 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿))
7871oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))))
79 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑎 → ((ℂflds0) Σg 𝑔) = ((ℂflds0) Σg 𝑎))
8079eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑎 → (((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁))
8180, 64elrab2 3698 . . . . . 6 (𝑎𝐻 ↔ (𝑎𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁))
8281simprbi 496 . . . . 5 (𝑎𝐻 → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁)
8382adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg 𝑎) = 𝑁)
8478, 83eqtr3d 2777 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) = 𝑁)
8584oveq1d 7446 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → (((ℂflds0) Σg (𝑣𝐼 ↦ (𝑎𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
8677, 85eqtrd 2775 1 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  0cc0 11153   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  .gcmg 19098  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  mhphf  42584
  Copyright terms: Public domain W3C validator