Theorem mhphflem 42619

Description: Lemma for mhphf 42620. Add several multiples of 𝐿 together, in a case where the total amount of multiplies is 𝑁. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphflem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhphflem.h	⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhphflem.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhphflem.e	⊢ · = (.g‘𝐺)
mhphflem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mhphflem.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
mhphflem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhphflem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑣, ·   𝐷,𝑔   𝑣,𝐻   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝑣,𝐿   𝑔,𝑁   𝑔,𝑎   ℎ,𝑎   𝑣,𝑎   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑣,ℎ,𝑎)   · (𝑔,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐼(𝑔,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑣,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑣,𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem mhphflem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0subm 21390	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
3	2	submbas 18792	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
5		cnfld0 21355	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	2, 5	subm0 18793	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
8		cnring 21353	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		ringcmn 20242	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
11	2	submcmn 19819	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
12	10, 1, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
14		mhphflem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
16		mhphflem.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		mhphflem.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		cnfldadd 21321	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
20	2, 19	ressplusg 17305	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	2	submmnd 18791	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
26		mhphflem.e	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
27	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		mhphflem.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐵)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
31	18, 26, 27, 28, 30	mulgnn0cld 19078	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝐿) ∈ 𝐵)
32	31	fmpttd 7105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)):ℕ0⟶𝐵)
33	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ 𝐵)
37	18, 26, 22	mulgnn0dir 19087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
38	33, 34, 35, 36, 37	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
39		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))
40		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
41		nn0addcl 12536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43		ovexd 7440	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿) ∈ V)
44	39, 40, 42, 43	fvmptd3 7009	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 𝐿))
45		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑥 · 𝐿))
46		ovexd 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · 𝐿) ∈ V)
47	39, 45, 34, 46	fvmptd3 7009	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥) = (𝑥 · 𝐿))
48		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 𝐿) = (𝑦 · 𝐿))
49		ovexd 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑦 · 𝐿) ∈ V)
50	39, 48, 35, 49	fvmptd3 7009	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦) = (𝑦 · 𝐿))
51	47, 50	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)) = ((𝑥 · 𝐿)(+g‘𝐺)(𝑦 · 𝐿)))
52	38, 44, 51	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑥)(+g‘𝐺)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘𝑦)))
53		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐿) = (0 · 𝐿))
54		0nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 0 ∈ ℕ0)
56		ovexd 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) ∈ V)
57	39, 53, 55, 56	fvmptd3 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0 · 𝐿))
58	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐿 ∈ 𝐵)
59	18, 23, 26	mulg0 19057	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (0 · 𝐿) = (0g‘𝐺))
61	57, 60	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿))‘0) = (0g‘𝐺))
62	4, 18, 21, 22, 7, 23, 25, 15, 32, 52, 61	ismhmd 18764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 · 𝐿)) ∈ ((ℂfld ↾s ℕ0) MndHom 𝐺))
63		elrabi 3666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝐷)
64		mhphflem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
65	63, 64	eleq2s 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∈ 𝐷)
66	65	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐷)
67		mhphflem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
68	67	psrbagf 21878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
69	66, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎:𝐼⟶ℕ0)
70	69	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑣) ∈ ℕ0)
71	69	feqmptd 6947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)))
72	67	psrbagfsupp 21879	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐷 → 𝑎 finSupp 0)
73	66, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 finSupp 0)
74	71, 73	eqbrtrrd 5143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣)) finSupp 0)
75		oveq1 7412	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑎‘𝑣) → (𝑛 · 𝐿) = ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))
76		oveq1 7412	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) → (𝑛 · 𝐿) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
77	4, 7, 13, 15, 17, 62, 70, 74, 75, 76	gsummhm2 19920	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿))
78	71	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))))
79		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎))
80	79	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑎 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
81	80, 64	elrab2 3674	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁))
82	81	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐻 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
83	82	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑎) = 𝑁)
84	78, 83	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) = 𝑁)
85	84	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎‘𝑣))) · 𝐿) = (𝑁 · 𝐿))
86	77, 85	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝐺 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝐿))) = (𝑁 · 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959   finSupp cfsupp 9373  0cc0 11129   + caddc 11132  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  Mndcmnd 18712  SubMndcsubmnd 18760  ._gcmg 19050  CMndccmn 19761  Ringcrg 20193  ℂ_fldccnfld 21315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-cnfld 21316

This theorem is referenced by:  mhphf  42620