Theorem imasmhm 33589

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasmhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
imasmhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Mnd ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		imasmhm.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		imasmhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
6		fimadmfo 6791	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
8		imasmhm.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
9		imasmhm.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	1, 3, 4, 7, 8, 9, 10	imasmnd 18823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑊))))
12	11	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ Mnd)
13		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊))
14		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑊)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑊))
15		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐹 “s 𝑊)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑊))
16		fof 6782	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
17	7, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
18	1, 3, 7, 9	imasbas 17556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
19	18	feq3d 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊))))
20	17, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	7, 8, 1, 3, 9, 4, 14	imasaddval 17576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
22	21	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
23	22	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)))
24	11	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑊)))
25	2, 13, 4, 14, 10, 15, 9, 12, 20, 23, 24	ismhmd 18834	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom (𝐹 “s 𝑊)))
26	12, 25	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Mnd ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   “ cima 5655  ⟶wf 6521  –onto→wfo 6523  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482   “_s cimas 17548  Mndcmnd 18782   MndHom cmhm 18829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-0g 17484  df-imas 17552  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831

This theorem is referenced by: (None)