Theorem pwspjmhmmgpd 20326

Description: The projection given by pwspjmhm 18844 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwspjmhmmgpd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwspjmhmmgpd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2		pwspjmhmmgpd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3	1, 2	mgpbas 20143	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		pwspjmhmmgpd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20143	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
8	1, 7	mgpplusg 20142	. 2 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	4, 9	mgpplusg 20142	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑇)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
12	1, 11	ringidval 20181	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘𝑀)
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	4, 13	ringidval 20181	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑇)
15		pwspjmhmmgpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		pwspjmhmmgpd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwspjmhmmgpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
18	17	pwsring 20322	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20	1	ringmgp 20237	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
22	4	ringmgp 20237	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
24	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
25	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	17, 5, 2, 24, 25, 26	pwselbas 17535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28		pwspjmhmmgpd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
30	27, 29	ffvelcdmd 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
31	30	fmpttd 7134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
32	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
36	17, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7	pwsmulrval 17537	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏))
37	36	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴))
38	17, 5, 2, 32, 33, 34	pwselbas 17535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	ffnd 6736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
40	17, 5, 2, 32, 33, 35	pwselbas 17535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	ffnd 6736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42		inidm 4226	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
44		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
45	39, 41, 33, 33, 42, 43, 44	ofval 7709	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
46	28, 45	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
47	37, 46	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
48	2, 7	ringcl 20248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
49	19, 48	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
52		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
53		fvex 6918	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
54	51, 52, 53	fvmpt 7015	. . . 4 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
55	50, 54	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
56		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
57		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑎‘𝐴) ∈ V
58	56, 52, 57	fvmpt 7015	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
59	34, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
60		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
61		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑏‘𝐴) ∈ V
62	60, 52, 61	fvmpt 7015	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
63	35, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
64	59, 63	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
65	47, 55, 64	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)))
66	2, 11	ringidcl 20263	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
67		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
68		fvex 6918	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
69	67, 52, 68	fvmpt 7015	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
70	19, 66, 69	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
71	17, 13	pws1 20323	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
72	15, 16, 71	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
73	72	fveq1d 6907	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
74		fvex 6918	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
75	74	fvconst2 7225	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
76	28, 75	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
77	70, 73, 76	3eqtr2d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = (1r‘𝑅))
78	3, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77	ismhmd 18800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4625   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∘_f cof 7696  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299   ↑_s cpws 17492  Mndcmnd 18748   MndHom cmhm 18795  mulGrpcmgp 20138  1_rcur 20179  Ringcrg 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233

This theorem is referenced by:  pwsexpg  20327  pwsgprod  42559