Theorem pwspjmhmmgpd 20237

Description: The projection given by pwspjmhm 18757 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwspjmhmmgpd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwspjmhmmgpd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2		pwspjmhmmgpd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3	1, 2	mgpbas 20054	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		pwspjmhmmgpd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20054	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
8	1, 7	mgpplusg 20053	. 2 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	4, 9	mgpplusg 20053	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑇)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
12	1, 11	ringidval 20092	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘𝑀)
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	4, 13	ringidval 20092	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑇)
15		pwspjmhmmgpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		pwspjmhmmgpd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwspjmhmmgpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
18	17	pwsring 20233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20	1	ringmgp 20148	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
22	4	ringmgp 20148	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
24	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
25	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	17, 5, 2, 24, 25, 26	pwselbas 17452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28		pwspjmhmmgpd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
30	27, 29	ffvelcdmd 7057	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
31	30	fmpttd 7087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
32	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
36	17, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7	pwsmulrval 17454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏))
37	36	fveq1d 6860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴))
38	17, 5, 2, 32, 33, 34	pwselbas 17452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	ffnd 6689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
40	17, 5, 2, 32, 33, 35	pwselbas 17452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	ffnd 6689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42		inidm 4190	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
44		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
45	39, 41, 33, 33, 42, 43, 44	ofval 7664	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
46	28, 45	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
47	37, 46	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
48	2, 7	ringcl 20159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
49	19, 48	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51		fveq1 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
52		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
53		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
54	51, 52, 53	fvmpt 6968	. . . 4 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
55	50, 54	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
56		fveq1 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
57		fvex 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑎‘𝐴) ∈ V
58	56, 52, 57	fvmpt 6968	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
59	34, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
60		fveq1 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
61		fvex 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑏‘𝐴) ∈ V
62	60, 52, 61	fvmpt 6968	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
63	35, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
64	59, 63	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
65	47, 55, 64	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)))
66	2, 11	ringidcl 20174	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
67		fveq1 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
68		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
69	67, 52, 68	fvmpt 6968	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
70	19, 66, 69	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
71	17, 13	pws1 20234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
72	15, 16, 71	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
73	72	fveq1d 6860	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
74		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
75	74	fvconst2 7178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
76	28, 75	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
77	70, 73, 76	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = (1r‘𝑅))
78	3, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77	ismhmd 18713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   ↑_s cpws 17409  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18708  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144

This theorem is referenced by:  pwsexpg  20238  pwsgprod  42532