Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwspjmhmmgpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhmmgpd 40267
Description: The projection given by pwspjmhm 18468 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhmmgpd.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i (𝜑𝐼𝑉)
pwspjmhmmgpd.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhmmgpd (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwspjmhmmgpd.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2 pwspjmhmmgpd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
31, 2mgpbas 19726 . 2 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 pwspjmhmmgpd.t . . 3 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5 eqid 2738 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
64, 5mgpbas 19726 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7 eqid 2738 . . 3 (.r𝑌) = (.r𝑌)
81, 7mgpplusg 19724 . 2 (.r𝑌) = (+g𝑀)
9 eqid 2738 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
104, 9mgpplusg 19724 . 2 (.r𝑅) = (+g𝑇)
11 eqid 2738 . . 3 (1r𝑌) = (1r𝑌)
121, 11ringidval 19739 . 2 (1r𝑌) = (0g𝑀)
13 eqid 2738 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
144, 13ringidval 19739 . 2 (1r𝑅) = (0g𝑇)
15 pwspjmhmmgpd.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 pwspjmhmmgpd.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
17 pwspjmhmmgpd.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
1817pwsring 19854 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
1915, 16, 18syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
201ringmgp 19789 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
2119, 20syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
224ringmgp 19789 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
2415adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2516adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑉)
26 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2717, 5, 2, 24, 25, 26pwselbas 17200 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28 pwspjmhmmgpd.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐼)
2928adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴𝐼)
3027, 29ffvelrnd 6962 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
3130fmpttd 6989 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
3215adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
3316adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐼𝑉)
34 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
35 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
3617, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7pwsmulrval 17202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) = (𝑎f (.r𝑅)𝑏))
3736fveq1d 6776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎f (.r𝑅)𝑏)‘𝐴))
3817, 5, 2, 32, 33, 34pwselbas 17200 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3938ffnd 6601 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
4017, 5, 2, 32, 33, 35pwselbas 17200 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4140ffnd 6601 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42 inidm 4152 . . . . . 6 (𝐼𝐼) = 𝐼
43 eqidd 2739 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝐴𝐼) → (𝑎𝐴) = (𝑎𝐴))
44 eqidd 2739 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝐴𝐼) → (𝑏𝐴) = (𝑏𝐴))
4539, 41, 33, 33, 42, 43, 44ofval 7544 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝐴𝐼) → ((𝑎f (.r𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
4628, 45mpidan 686 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎f (.r𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
4737, 46eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
482, 7ringcl 19800 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
4919, 48syl3an1 1162 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50493expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51 fveq1 6773 . . . . 5 (𝑥 = (𝑎(.r𝑌)𝑏) → (𝑥𝐴) = ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴))
52 eqid 2738 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
53 fvex 6787 . . . . 5 ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
5451, 52, 53fvmpt 6875 . . . 4 ((𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑎(.r𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴))
5550, 54syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑎(.r𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴))
56 fveq1 6773 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴) = (𝑎𝐴))
57 fvex 6787 . . . . . 6 (𝑎𝐴) ∈ V
5856, 52, 57fvmpt 6875 . . . . 5 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎) = (𝑎𝐴))
5934, 58syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎) = (𝑎𝐴))
60 fveq1 6773 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝐴) = (𝑏𝐴))
61 fvex 6787 . . . . . 6 (𝑏𝐴) ∈ V
6260, 52, 61fvmpt 6875 . . . . 5 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏) = (𝑏𝐴))
6335, 62syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏) = (𝑏𝐴))
6459, 63oveq12d 7293 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎)(.r𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
6547, 55, 643eqtr4d 2788 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑎(.r𝑌)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎)(.r𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏)))
662, 11ringidcl 19807 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
67 fveq1 6773 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑥𝐴) = ((1r𝑌)‘𝐴))
68 fvex 6787 . . . . 5 ((1r𝑌)‘𝐴) ∈ V
6967, 52, 68fvmpt 6875 . . . 4 ((1r𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(1r𝑌)) = ((1r𝑌)‘𝐴))
7019, 66, 693syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(1r𝑌)) = ((1r𝑌)‘𝐴))
7117, 13pws1 19855 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {(1r𝑅)}) = (1r𝑌))
7215, 16, 71syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {(1r𝑅)}) = (1r𝑌))
7372fveq1d 6776 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {(1r𝑅)})‘𝐴) = ((1r𝑌)‘𝐴))
74 fvex 6787 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
7574fvconst2 7079 . . . 4 (𝐴𝐼 → ((𝐼 × {(1r𝑅)})‘𝐴) = (1r𝑅))
7628, 75syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {(1r𝑅)})‘𝐴) = (1r𝑅))
7770, 73, 763eqtr2d 2784 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(1r𝑌)) = (1r𝑅))
783, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77ismhmd 40238 1 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4561  cmpt 5157   × cxp 5587  cfv 6433  (class class class)co 7275  f cof 7531  Basecbs 16912  .rcmulr 16963  s cpws 17157  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428  mulGrpcmgp 19720  1rcur 19737  Ringcrg 19783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785
This theorem is referenced by:  pwsexpg  40268  pwsgprod  40269
  Copyright terms: Public domain W3C validator