Theorem pwspjmhmmgpd 20140

Description: The projection given by pwspjmhm 18710 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwspjmhmmgpd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwspjmhmmgpd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2		pwspjmhmmgpd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3	1, 2	mgpbas 19992	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		pwspjmhmmgpd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 19992	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
8	1, 7	mgpplusg 19990	. 2 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
9		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	4, 9	mgpplusg 19990	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑇)
11		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
12	1, 11	ringidval 20005	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘𝑀)
13		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	4, 13	ringidval 20005	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑇)
15		pwspjmhmmgpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		pwspjmhmmgpd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwspjmhmmgpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
18	17	pwsring 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20	1	ringmgp 20061	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
22	4	ringmgp 20061	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
24	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
25	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	17, 5, 2, 24, 25, 26	pwselbas 17434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28		pwspjmhmmgpd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
29	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
30	27, 29	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
31	30	fmpttd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
32	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
35		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
36	17, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7	pwsmulrval 17436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏))
37	36	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴))
38	17, 5, 2, 32, 33, 34	pwselbas 17434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	ffnd 6718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
40	17, 5, 2, 32, 33, 35	pwselbas 17434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	ffnd 6718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42		inidm 4218	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
44		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
45	39, 41, 33, 33, 42, 43, 44	ofval 7680	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
46	28, 45	mpidan 687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
47	37, 46	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
48	2, 7	ringcl 20072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
49	19, 48	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
52		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
53		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
54	51, 52, 53	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
55	50, 54	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
56		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
57		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑎‘𝐴) ∈ V
58	56, 52, 57	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
59	34, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
60		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
61		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑏‘𝐴) ∈ V
62	60, 52, 61	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
63	35, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
64	59, 63	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
65	47, 55, 64	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)))
66	2, 11	ringidcl 20082	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
67		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
68		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
69	67, 52, 68	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
70	19, 66, 69	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
71	17, 13	pws1 20137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
72	15, 16, 71	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
73	72	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
74		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
75	74	fvconst2 7204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
76	28, 75	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
77	70, 73, 76	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = (1r‘𝑅))
78	3, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77	ismhmd 18673	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7667  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197   ↑_s cpws 17391  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  mulGrpcmgp 19986  1_rcur 20003  Ringcrg 20055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057

This theorem is referenced by:  pwsexpg  20141  pwsgprod  41116