MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhmmgpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhmmgpd 20342
Description: The projection given by pwspjmhm 18856 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhmmgpd.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i (𝜑𝐼𝑉)
pwspjmhmmgpd.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhmmgpd (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwspjmhmmgpd.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2 pwspjmhmmgpd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
31, 2mgpbas 20158 . 2 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 pwspjmhmmgpd.t . . 3 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
64, 5mgpbas 20158 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7 eqid 2735 . . 3 (.r𝑌) = (.r𝑌)
81, 7mgpplusg 20156 . 2 (.r𝑌) = (+g𝑀)
9 eqid 2735 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
104, 9mgpplusg 20156 . 2 (.r𝑅) = (+g𝑇)
11 eqid 2735 . . 3 (1r𝑌) = (1r𝑌)
121, 11ringidval 20201 . 2 (1r𝑌) = (0g𝑀)
13 eqid 2735 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
144, 13ringidval 20201 . 2 (1r𝑅) = (0g𝑇)
15 pwspjmhmmgpd.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 pwspjmhmmgpd.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
17 pwspjmhmmgpd.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
1817pwsring 20338 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
1915, 16, 18syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
201ringmgp 20257 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
2119, 20syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
224ringmgp 20257 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
2415adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2516adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑉)
26 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2717, 5, 2, 24, 25, 26pwselbas 17536 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28 pwspjmhmmgpd.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐼)
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴𝐼)
3027, 29ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
3130fmpttd 7135 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
3215adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
3316adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐼𝑉)
34 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
35 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
3617, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7pwsmulrval 17538 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) = (𝑎f (.r𝑅)𝑏))
3736fveq1d 6909 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎f (.r𝑅)𝑏)‘𝐴))
3817, 5, 2, 32, 33, 34pwselbas 17536 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3938ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
4017, 5, 2, 32, 33, 35pwselbas 17536 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4140ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42 inidm 4235 . . . . . 6 (𝐼𝐼) = 𝐼
43 eqidd 2736 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝐴𝐼) → (𝑎𝐴) = (𝑎𝐴))
44 eqidd 2736 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝐴𝐼) → (𝑏𝐴) = (𝑏𝐴))
4539, 41, 33, 33, 42, 43, 44ofval 7708 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝐴𝐼) → ((𝑎f (.r𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
4628, 45mpidan 689 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎f (.r𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
4737, 46eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
482, 7ringcl 20268 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
4919, 48syl3an1 1162 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50493expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑥 = (𝑎(.r𝑌)𝑏) → (𝑥𝐴) = ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴))
52 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
53 fvex 6920 . . . . 5 ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
5451, 52, 53fvmpt 7016 . . . 4 ((𝑎(.r𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑎(.r𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴))
5550, 54syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑎(.r𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r𝑌)𝑏)‘𝐴))
56 fveq1 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴) = (𝑎𝐴))
57 fvex 6920 . . . . . 6 (𝑎𝐴) ∈ V
5856, 52, 57fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎) = (𝑎𝐴))
5934, 58syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎) = (𝑎𝐴))
60 fveq1 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝐴) = (𝑏𝐴))
61 fvex 6920 . . . . . 6 (𝑏𝐴) ∈ V
6260, 52, 61fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏) = (𝑏𝐴))
6335, 62syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏) = (𝑏𝐴))
6459, 63oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎)(.r𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎𝐴)(.r𝑅)(𝑏𝐴)))
6547, 55, 643eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑎(.r𝑌)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑎)(.r𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑏)))
662, 11ringidcl 20280 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
67 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑥𝐴) = ((1r𝑌)‘𝐴))
68 fvex 6920 . . . . 5 ((1r𝑌)‘𝐴) ∈ V
6967, 52, 68fvmpt 7016 . . . 4 ((1r𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(1r𝑌)) = ((1r𝑌)‘𝐴))
7019, 66, 693syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(1r𝑌)) = ((1r𝑌)‘𝐴))
7117, 13pws1 20339 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {(1r𝑅)}) = (1r𝑌))
7215, 16, 71syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {(1r𝑅)}) = (1r𝑌))
7372fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {(1r𝑅)})‘𝐴) = ((1r𝑌)‘𝐴))
74 fvex 6920 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
7574fvconst2 7224 . . . 4 (𝐴𝐼 → ((𝐼 × {(1r𝑅)})‘𝐴) = (1r𝑅))
7628, 75syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {(1r𝑅)})‘𝐴) = (1r𝑅))
7770, 73, 763eqtr2d 2781 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(1r𝑌)) = (1r𝑅))
783, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77ismhmd 18812 1 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  s cpws 17493  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  pwsexpg  20343  pwsgprod  42531
  Copyright terms: Public domain W3C validator