Theorem pwspjmhmmgpd 20351

Description: The projection given by pwspjmhm 18865 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwspjmhmmgpd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwspjmhmmgpd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2		pwspjmhmmgpd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3	1, 2	mgpbas 20167	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		pwspjmhmmgpd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20167	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
8	1, 7	mgpplusg 20165	. 2 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	4, 9	mgpplusg 20165	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑇)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
12	1, 11	ringidval 20210	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘𝑀)
13		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	4, 13	ringidval 20210	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑇)
15		pwspjmhmmgpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		pwspjmhmmgpd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwspjmhmmgpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
18	17	pwsring 20347	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
19	15, 16, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20	1	ringmgp 20266	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
22	4	ringmgp 20266	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
24	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
25	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	17, 5, 2, 24, 25, 26	pwselbas 17549	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28		pwspjmhmmgpd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
30	27, 29	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
31	30	fmpttd 7149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
32	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
36	17, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7	pwsmulrval 17551	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏))
37	36	fveq1d 6922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴))
38	17, 5, 2, 32, 33, 34	pwselbas 17549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	ffnd 6748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
40	17, 5, 2, 32, 33, 35	pwselbas 17549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	ffnd 6748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42		inidm 4248	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
44		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
45	39, 41, 33, 33, 42, 43, 44	ofval 7725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
46	28, 45	mpidan 688	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
47	37, 46	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
48	2, 7	ringcl 20277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
49	19, 48	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
52		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
53		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
54	51, 52, 53	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
55	50, 54	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
56		fveq1 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
57		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎‘𝐴) ∈ V
58	56, 52, 57	fvmpt 7029	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
59	34, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
60		fveq1 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
61		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝑏‘𝐴) ∈ V
62	60, 52, 61	fvmpt 7029	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
63	35, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
64	59, 63	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
65	47, 55, 64	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)))
66	2, 11	ringidcl 20289	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
67		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
68		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
69	67, 52, 68	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
70	19, 66, 69	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
71	17, 13	pws1 20348	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
72	15, 16, 71	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
73	72	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
74		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
75	74	fvconst2 7241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
76	28, 75	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
77	70, 73, 76	3eqtr2d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = (1r‘𝑅))
78	3, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77	ismhmd 18821	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  pwsexpg  20352  pwsgprod  42499