Theorem pwspjmhmmgpd 20246

Description: The projection given by pwspjmhm 18767 is also a monoid homomorphism between the respective multiplicative groups. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhmmgpd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwspjmhmmgpd.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwspjmhmmgpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwspjmhmmgpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwspjmhmmgpd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhmmgpd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhmmgpd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwspjmhmmgpd.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
2		pwspjmhmmgpd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3	1, 2	mgpbas 20064	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		pwspjmhmmgpd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2727	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20064	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇)
7		eqid 2727	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
8	1, 7	mgpplusg 20062	. 2 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
9		eqid 2727	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	4, 9	mgpplusg 20062	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑇)
11		eqid 2727	. . 3 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
12	1, 11	ringidval 20107	. 2 ⊢ (1r‘𝑌) = (0g‘𝑀)
13		eqid 2727	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	4, 13	ringidval 20107	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑇)
15		pwspjmhmmgpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		pwspjmhmmgpd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwspjmhmmgpd.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
18	17	pwsring 20242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
19	15, 16, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20	1	ringmgp 20163	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
22	4	ringmgp 20163	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
24	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
25	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	17, 5, 2, 24, 25, 26	pwselbas 17456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28		pwspjmhmmgpd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
30	27, 29	ffvelcdmd 7089	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
31	30	fmpttd 7119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘𝑅))
32	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
35		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
36	17, 2, 32, 33, 34, 35, 9, 7	pwsmulrval 17458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏))
37	36	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴))
38	17, 5, 2, 32, 33, 34	pwselbas 17456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	ffnd 6717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 Fn 𝐼)
40	17, 5, 2, 32, 33, 35	pwselbas 17456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	ffnd 6717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 Fn 𝐼)
42		inidm 4214	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43		eqidd 2728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
44		eqidd 2728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
45	39, 41, 33, 33, 42, 43, 44	ofval 7688	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
46	28, 45	mpidan 688	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (.r‘𝑅)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
47	37, 46	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
48	2, 7	ringcl 20174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
49	19, 48	syl3an1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
51		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑌)𝑏) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
52		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
53		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴) ∈ V
54	51, 52, 53	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
55	50, 54	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(.r‘𝑌)𝑏)‘𝐴))
56		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥‘𝐴) = (𝑎‘𝐴))
57		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑎‘𝐴) ∈ V
58	56, 52, 57	fvmpt 6999	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
59	34, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎) = (𝑎‘𝐴))
60		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
61		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑏‘𝐴) ∈ V
62	60, 52, 61	fvmpt 6999	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
63	35, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏) = (𝑏‘𝐴))
64	59, 63	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)) = ((𝑎‘𝐴)(.r‘𝑅)(𝑏‘𝐴)))
65	47, 55, 64	3eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑎(.r‘𝑌)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑏)))
66	2, 11	ringidcl 20184	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
67		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
68		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
69	67, 52, 68	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
70	19, 66, 69	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
71	17, 13	pws1 20243	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
72	15, 16, 71	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(1r‘𝑅)}) = (1r‘𝑌))
73	72	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = ((1r‘𝑌)‘𝐴))
74		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
75	74	fvconst2 7210	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
76	28, 75	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {(1r‘𝑅)})‘𝐴) = (1r‘𝑅))
77	70, 73, 76	3eqtr2d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(1r‘𝑌)) = (1r‘𝑅))
78	3, 6, 8, 10, 12, 14, 21, 23, 31, 65, 77	ismhmd 18728	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7675  Basecbs 17165  ._rcmulr 17219   ↑_s cpws 17413  Mndcmnd 18679   MndHom cmhm 18723  mulGrpcmgp 20058  1_rcur 20105  Ringcrg 20157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159

This theorem is referenced by:  pwsexpg  20247  pwsgprod  41687