Theorem isoso 7323

Description: An isomorphism preserves the property of being a strict total order. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isoso	⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑆 Or 𝐵))

Proof of Theorem isoso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 7305	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		isosolem 7322	. . 3 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑆 Or 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑆 Or 𝐵))
4		isosolem 7322	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
5	3, 4	impbid 212	1 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑆 Or 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   Or wor 5545  ^◡ccnv 5637   Isom wiso 6512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520

This theorem is referenced by:  isowe  7324  supiso  9427  cnso  16215  wepwso  43032  rrx2plordso  48710