Theorem isoso 7280

Description: An isomorphism preserves the property of being a strict total order. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isoso	⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑆 Or 𝐵))

Proof of Theorem isoso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 7262	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		isosolem 7279	. . 3 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑆 Or 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑆 Or 𝐵))
4		isosolem 7279	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
5	3, 4	impbid 211	1 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑆 Or 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   Or wor 5536  ^◡ccnv 5624   Isom wiso 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493

This theorem is referenced by:  isowe  7281  supiso  9337  cnso  16056  wepwso  41180  rrx2plordso  46486