MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnso 16193
Description: The complex numbers can be linearly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnso 𝑥 𝑥 Or ℂ

Proof of Theorem cnso
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 11293 . . . 4 < Or ℝ
2 eqid 2724 . . . . . 6 {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}
3 f1oiso 7341 . . . . . 6 ((𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ ∧ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}) → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
42, 3mpan2 688 . . . . 5 (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
5 isoso 7338 . . . . . 6 (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ))
6 soinxp 5748 . . . . . 6 ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
75, 6bitrdi 287 . . . . 5 (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
91, 8mpbii 232 . . 3 (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
10 cnex 11188 . . . . . 6 ℂ ∈ V
1110, 10xpex 7734 . . . . 5 (ℂ × ℂ) ∈ V
1211inex2 5309 . . . 4 ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) ∈ V
13 soeq1 5600 . . . 4 (𝑥 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
1412, 13spcev 3588 . . 3 (({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
159, 14syl 17 . 2 (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
16 rpnnen 16173 . . . 4 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
17 cpnnen 16175 . . . 4 ℂ ≈ 𝒫 ℕ
1816, 17entr4i 9004 . . 3 ℝ ≈ ℂ
19 bren 8946 . . 3 (ℝ ≈ ℂ ↔ ∃𝑎 𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ)
2018, 19mpbi 229 . 2 𝑎 𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ
2115, 20exlimiiv 1926 1 𝑥 𝑥 Or ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wrex 3062  cin 3940  𝒫 cpw 4595   class class class wbr 5139  {copab 5201   Or wor 5578   × cxp 5665  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534   Isom wiso 6535  cen 8933  cc 11105  cr 11106   < clt 11247  cn 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  aannenlem3  26207
  Copyright terms: Public domain W3C validator