Theorem cnso 16441

Description: The complex numbers can be linearly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnso	⊢ ∃𝑥 𝑥 Or ℂ

Proof of Theorem cnso

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11414	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}
3		f1oiso 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ ∧ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}) → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
4	2, 3	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
5		isoso 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ))
6		soinxp 5738	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
7	5, 6	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
9	1, 8	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ → ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
10		cnex 11305	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11	10, 10	xpex 7788	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
12	11	inex2 5282	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) ∈ V
13		soeq1 5584	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
14	12, 13	spcev 3564	. . 3 ⊢ (({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
15	9, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
16		rpnnen 16421	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
17		cpnnen 16423	. . . 4 ⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ
18	16, 17	entr4i 9063	. . 3 ⊢ ℝ ≈ ℂ
19		bren 9008	. . 3 ⊢ (ℝ ≈ ℂ ↔ ∃𝑎 𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ)
20	18, 19	mpbi 233	. 2 ⊢ ∃𝑎 𝑎:ℝ⟶1-1ontoℂ
21	15, 20	exlimiiv 1966	1 ⊢ ∃𝑥 𝑥 Or ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  {copab 5170   Or wor 5562   × cxp 5653  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555   Isom wiso 6556   ≈ cen 8995  ℂcc 11222  ℝcr 11223   < clt 11367  ℕcn 12359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880

This theorem is used by:  aannenlem3  26684