Theorem cnso 16209

Description: The complex numbers can be linearly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnso	⊢ ∃𝑥 𝑥 Or ℂ

Proof of Theorem cnso

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11221	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}
3		f1oiso 7299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ ∧ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}) → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
4	2, 3	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
5		isoso 7296	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ))
6		soinxp 5703	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
7	5, 6	bitrdi 289	. . . . 5 ⊢ (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
9	1, 8	mpbii 235	. . 3 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
10		cnex 11114	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11	10, 10	xpex 7700	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
12	11	inex2 5249	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) ∈ V
13		soeq1 5550	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
14	12, 13	spcev 3546	. . 3 ⊢ (({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
16		rpnnen 16189	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
17		cpnnen 16191	. . . 4 ⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ
18	16, 17	entr4i 8952	. . 3 ⊢ ℝ ≈ ℂ
19		bren 8897	. . 3 ⊢ (ℝ ≈ ℂ ↔ ∃𝑎 𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ)
20	18, 19	mpbi 232	. 2 ⊢ ∃𝑎 𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ
21	15, 20	exlimiiv 1939	1 ⊢ ∃𝑥 𝑥 Or ℂ

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075  {copab 5137   Or wor 5528   × cxp 5619  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489   Isom wiso 6490   ≈ cen 8884  ℂcc 11031  ℝcr 11032   < clt 11174  ℕcn 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  aannenlem3  26318