Theorem cnso 16176

Description: The complex numbers can be linearly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnso	⊢ ∃𝑥 𝑥 Or ℂ

Proof of Theorem cnso

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11217	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}
3		f1oiso 7299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ ∧ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} = {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)}) → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
4	2, 3	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → 𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ))
5		isoso 7296	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ))
6		soinxp 5707	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
7	5, 6	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑎 Isom < , {⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} (ℝ, ℂ) → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ( < Or ℝ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
9	1, 8	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ)
10		cnex 11111	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11	10, 10	xpex 7700	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
12	11	inex2 5264	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) ∈ V
13		soeq1 5554	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 Or ℂ ↔ ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ))
14	12, 13	spcev 3561	. . 3 ⊢ (({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑 ∈ ℝ ∃𝑒 ∈ ℝ ((𝑏 = (𝑎‘𝑑) ∧ 𝑐 = (𝑎‘𝑒)) ∧ 𝑑 < 𝑒)} ∩ (ℂ × ℂ)) Or ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ → ∃𝑥 𝑥 Or ℂ)
16		rpnnen 16156	. . . 4 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
17		cpnnen 16158	. . . 4 ⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ
18	16, 17	entr4i 8952	. . 3 ⊢ ℝ ≈ ℂ
19		bren 8897	. . 3 ⊢ (ℝ ≈ ℂ ↔ ∃𝑎 𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ)
20	18, 19	mpbi 230	. 2 ⊢ ∃𝑎 𝑎:ℝ–1-1-onto→ℂ
21	15, 20	exlimiiv 1933	1 ⊢ ∃𝑥 𝑥 Or ℂ

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781  ∃wrex 3061   ∩ cin 3901  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5099  {copab 5161   Or wor 5532   × cxp 5623  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493   Isom wiso 6494   ≈ cen 8884  ℂcc 11028  ℝcr 11029   < clt 11170  ℕcn 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614

This theorem is referenced by:  aannenlem3  26298