MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isowe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isowe 7370
Description: An isomorphism preserves the property of being a well-ordering. Proposition 6.32(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isowe (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴𝑆 We 𝐵))

Proof of Theorem isowe
StepHypRef Expression
1 isofr 7363 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
2 isoso 7369 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵))
31, 2anbi12d 632 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴) ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵)))
4 df-we 5638 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
5 df-we 5638 . 2 (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵))
63, 4, 53bitr4g 314 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴𝑆 We 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   Or wor 5590   Fr wfr 5633   We wwe 5635   Isom wiso 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569
This theorem is referenced by:  f1owe  7374  hartogslem1  9583  oemapwe  9735  om2uzoi  13997  om2noseqoi  28310
  Copyright terms: Public domain W3C validator