Theorem isowe 7300

Description: An isomorphism preserves the property of being a well-ordering. Proposition 6.32(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isowe	⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴 ↔ 𝑆 We 𝐵))

Proof of Theorem isowe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofr 7293	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 ↔ 𝑆 Fr 𝐵))
2		isoso 7299	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑆 Or 𝐵))
3	1, 2	anbi12d 638	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴) ↔ (𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵)))
4		df-we 5580	. 2 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴))
5		df-we 5580	. 2 ⊢ (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 315	1 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴 ↔ 𝑆 We 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   Or wor 5532   Fr wfr 5575   We wwe 5577   Isom wiso 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501

This theorem is referenced by:  f1owe  7304  hartogslem1  9454  oemapwe  9613  om2uzoi  13915  onswe  28289  om2noseqoi  28320