MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isowe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isowe 7095
Description: An isomorphism preserves well-ordering. Proposition 6.32(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isowe (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴𝑆 We 𝐵))

Proof of Theorem isowe
StepHypRef Expression
1 isofr 7088 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
2 isoso 7094 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵))
31, 2anbi12d 633 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴) ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵)))
4 df-we 5503 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
5 df-we 5503 . 2 (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵))
63, 4, 53bitr4g 317 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴𝑆 We 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   Or wor 5460   Fr wfr 5498   We wwe 5500   Isom wiso 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352
This theorem is referenced by:  f1owe  7099  hartogslem1  9003  oemapwe  9154  om2uzoi  13327
  Copyright terms: Public domain W3C validator