Theorem isowe 7347

Description: An isomorphism preserves the property of being a well-ordering. Proposition 6.32(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isowe	⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴 ↔ 𝑆 We 𝐵))

Proof of Theorem isowe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofr 7340	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 ↔ 𝑆 Fr 𝐵))
2		isoso 7346	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑆 Or 𝐵))
3	1, 2	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴) ↔ (𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵)))
4		df-we 5613	. 2 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴))
5		df-we 5613	. 2 ⊢ (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵 ∧ 𝑆 Or 𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴 ↔ 𝑆 We 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   Or wor 5565   Fr wfr 5608   We wwe 5610   Isom wiso 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545

This theorem is referenced by:  f1owe  7351  hartogslem1  9561  oemapwe  9713  om2uzoi  13978  onswe  28227  om2noseqoi  28254