Theorem ixpssmapg 8904

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmapg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
2		ixpprc 8895	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
3	1, 2	nsyl2 141	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
5		iunexg 7945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7		ixpssmap2g 8903	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
10	8, 9	sseldd 3950	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)))
12	11	ssrdv 3955	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ ciun 4958  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Xcixp 8873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-ixp 8874

This theorem is referenced by:  ixpssmap  8908  gruixp  10769  hoissrrn  46554  hoissrrn2  46583