Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hspmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hspmbl 45645
Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspmbl.1 𝐻 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ if(π‘˜ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
hspmbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hspmbl.i (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
hspmbl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hspmbl (πœ‘ β†’ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑙,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑙,π‘₯,𝑦   π‘Œ,𝑙,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑙   π‘˜,𝑙,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑙)   𝐾(π‘˜)   𝑋(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)

Proof of Theorem hspmbl
Dummy variables π‘Ž 𝑗 𝑝 𝑑 𝑏 β„Ž 𝑐 π‘Ÿ 𝑠 𝑖 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hspmbl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21ovnome 45589 . . 3 (πœ‘ β†’ (voln*β€˜π‘‹) ∈ OutMeas)
3 eqid 2730 . . 3 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) = βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)
4 eqid 2730 . . 3 (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)) = (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹))
5 ovex 7446 . . . . . . . . 9 (-∞(,)π‘Œ) ∈ V
6 reex 11205 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
75, 6ifex 4579 . . . . . . . 8 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ V
87ixpssmap 8930 . . . . . . 7 X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† (βˆͺ 𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ↑m 𝑋)
9 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝐾 β†’ if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) = (-∞(,)π‘Œ))
10 ioossre 13391 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)π‘Œ) βŠ† ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝐾 β†’ (-∞(,)π‘Œ) βŠ† ℝ)
129, 11eqsstrd 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 β†’ if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ)
13 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑝 = 𝐾 β†’ if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) = ℝ)
14 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑝 = 𝐾 β†’ ℝ βŠ† ℝ)
1613, 15eqsstrd 4021 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑝 = 𝐾 β†’ if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ)
1712, 16pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ
1817rgenw 3063 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ
19 iunss 5049 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ)
2018, 19mpbir 230 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ
21 mapss 8887 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ V ∧ βˆͺ 𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† ℝ) β†’ (βˆͺ 𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ↑m 𝑋) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
226, 20, 21mp2an 688 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ↑m 𝑋) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)
238, 22sstri 3992 . . . . . 6 X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)
247rgenw 3063 . . . . . . . 8 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ V
25 ixpexg 8920 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ V β†’ X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ V)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ V
27 elpwg 4606 . . . . . . 7 (X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ V β†’ (X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6 (X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
2923, 28mpbir 230 . . . . 5 X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
31 hspmbl.1 . . . . . . 7 𝐻 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ if(π‘˜ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
32 equid 2013 . . . . . . . . 9 π‘₯ = π‘₯
33 eqid 2730 . . . . . . . . 9 ℝ = ℝ
34 equequ1 2026 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑝 β†’ (π‘˜ = 𝑙 ↔ 𝑝 = 𝑙))
3534ifbid 4552 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑝 β†’ if(π‘˜ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if(𝑝 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
3635cbvixpv 8913 . . . . . . . . 9 Xπ‘˜ ∈ π‘₯ if(π‘˜ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑝 ∈ π‘₯ if(𝑝 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
3732, 33, 36mpoeq123i 7489 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ if(π‘˜ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑝 ∈ π‘₯ if(𝑝 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
3837mpteq2i 5254 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ if(π‘˜ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑝 ∈ π‘₯ if(𝑝 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
3931, 38eqtri 2758 . . . . . 6 𝐻 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑝 ∈ π‘₯ if(𝑝 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
40 hspmbl.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
41 hspmbl.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4239, 1, 40, 41hspval 45625 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ) = X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ))
431ovnf 45579 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (voln*β€˜π‘‹):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟢(0[,]+∞))
4443fdmd 6729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (voln*β€˜π‘‹) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
4544unieqd 4923 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) = βˆͺ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
46 unipw 5451 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
4746a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
4845, 47eqtrd 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) = (ℝ ↑m 𝑋))
4948pweqd 4620 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
5042, 49eleq12d 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ) ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) ↔ X𝑝 ∈ 𝑋 if(𝑝 = 𝐾, (-∞(,)π‘Œ), ℝ) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)))
5130, 50mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ) ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹))
52 simpl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)) β†’ πœ‘)
53 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹))
5452, 49syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)) β†’ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
5553, 54eleqtrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
561adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
57 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)) βŠ† π‘Ž
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)) βŠ† π‘Ž)
59 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Ž βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6058, 59sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6160adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6256, 61ovnxrcl 45585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) ∈ ℝ*)
6359adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ π‘Ž βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6463ssdifssd 4143 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6556, 64ovnxrcl 45585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) ∈ ℝ*)
6662, 65xaddcld 13286 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ∈ ℝ*)
67 pnfge 13116 . . . . . . . 8 ((((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ∈ ℝ* β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ +∞)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ +∞)
6968adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ +∞)
70 id 22 . . . . . . . 8 (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞)
7170eqcomd 2736 . . . . . . 7 (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ +∞ = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
7271adantl 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ +∞ = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
7369, 72breqtrd 5175 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
74 simpl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ Β¬ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)))
7556, 63ovncl 45583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
7675adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ Β¬ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
77 neqne 2946 . . . . . . . 8 (Β¬ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) β‰  +∞)
7877adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ Β¬ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) β‰  +∞)
79 ge0xrre 44544 . . . . . . 7 ((((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ (0[,]+∞) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) β‰  +∞) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
8076, 78, 79syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ Β¬ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
8156adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8240ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
8341ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
84 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
8563adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ π‘Ž βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
86 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘) ↔ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)))
8786rabbidv 3438 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})
8887cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)}) = (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})
89 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = β„Ž ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ 𝑖 = β„Ž)
9089coeq2d 5863 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = β„Ž ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ ([,) ∘ 𝑖) = ([,) ∘ β„Ž))
9190fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = β„Ž ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘) = (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘))
9291fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = β„Ž ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)) = (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘)))
9392prodeq2dv 15873 . . . . . . . 8 (𝑖 = β„Ž β†’ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)) = βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘)))
9493cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘))) = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘)))
95 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑝 β†’ (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) = (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘))
9695cbvixpv 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = β„Ž β†’ X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘))
98 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘š = β„Ž β†’ (π‘šβ€˜π‘–) = (β„Žβ€˜π‘–))
9998coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š = β„Ž β†’ ([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–)) = ([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–)))
10099fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š = β„Ž β†’ (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘) = (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘))
101100ixpeq2dv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = β„Ž β†’ X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘))
10297, 101eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = β„Ž β†’ X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘))
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š = β„Ž ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘))
104103iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š = β„Ž β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘))
105104sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = β„Ž β†’ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›) ↔ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘)))
106105cbvrabv 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)} = {β„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘)}
107 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž = 𝑙 β†’ (β„Žβ€˜π‘–) = (π‘™β€˜π‘–))
108107coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (β„Ž = 𝑙 β†’ ([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–)) = ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–)))
109108fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž = 𝑙 β†’ (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) = (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘))
110109ixpeq2dv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„Ž = 𝑙 β†’ X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘))
111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β„Ž = 𝑙 ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘))
112111iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = 𝑙 β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘))
113 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘™β€˜π‘–) = (π‘™β€˜π‘—))
114113coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝑗 β†’ ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–)) = ([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—)))
115114fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 β†’ (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘) = (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘))
116115ixpeq2dv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 β†’ X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘) = X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘))
117116cbviunv 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = 𝑙 β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘–))β€˜π‘) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘))
119112, 118eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = 𝑙 β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘))
120119sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 𝑙 β†’ (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) ↔ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)))
121120cbvrabv 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {β„Ž ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (β„Žβ€˜π‘–))β€˜π‘)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)}
122106, 121eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)} = {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)}
123122mpteq2i 5254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑏 β†’ (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)}))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑏 β†’ 𝑐 = 𝑏)
126124, 125fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘))
127126eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) ↔ 𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘)))
128 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = 𝑝 β†’ (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)) = (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))
129128cbvprodv 15866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)) = βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘))
130129mpteq2i 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š))) = (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š))) = (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘))))
132 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑗 β†’ (π‘‘β€˜π‘š) = (π‘‘β€˜π‘—))
133131, 132fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 𝑗 β†’ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)) = ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))
134133cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑏 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—))))
136135fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑏 β†’ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))))
137 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘))
138137oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑏 β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠))
139136, 138breq12d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)))
140127, 139anbi12d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) ∧ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)) ↔ (𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠))))
141140rabbidva2 3432 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 β†’ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)} = {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)})
142141mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)}) = (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)}))
143 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) = ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘))
144143eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ (𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ↔ 𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘)))
145 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠) = (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ))
146145breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ)))
147144, 146anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)) ↔ (𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ))))
148147rabbidva2 3432 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)} = {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ)})
149148cbvmptv 5262 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ)})
150149a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ)}))
151142, 150eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ)}))
152151cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {π‘š ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑛 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘šβ€˜π‘–))β€˜π‘›)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘š ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘š)))β€˜(π‘‘β€˜π‘š)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 𝑠)})) = (𝑏 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑑 ∈ ((π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑝 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘)})β€˜π‘) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘)))β€˜(π‘‘β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘) +𝑒 π‘Ÿ)}))
153 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑝 β†’ (1st β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š)) = (1st β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘)))
154153cbvmptv 5262 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š))) = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘)))
155154mpteq2i 5254 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘))))
156 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘—))
157156fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘š) = ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š))
158157fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘š)) = (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š)))
159158mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š))))
160 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑝 β†’ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š)) = (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘)))
161160cbvmptv 5262 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š))) = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘)))
162161a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘š))) = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘))))
163159, 162eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘š))) = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘))))
164163cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘š ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘š)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘))))
16539, 81, 82, 83, 84, 85, 88, 94, 152, 155, 164hspmbllem3 45644 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
16674, 80, 165syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) ∧ Β¬ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) = +∞) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
16773, 166pm2.61dan 809 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
16852, 55, 167syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)) β†’ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž ∩ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ))) +𝑒 ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π‘Ž βˆ– (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ)))) ≀ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž))
1692, 3, 4, 51, 168caragenel2d 45548 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ) ∈ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))
1701dmvon 45622 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (volnβ€˜π‘‹) = (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))
171170eqcomd 2736 . 2 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)) = dom (volnβ€˜π‘‹))
172169, 171eleqtrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (𝐾(π»β€˜π‘‹)π‘Œ) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978   ↑m cmap 8824  Xcixp 8895  Fincfn 8943  β„cr 11113  0cc0 11114  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252  β„*cxr 11253   ≀ cle 11255  β„•cn 12218  β„+crp 12980   +𝑒 cxad 13096  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  βˆcprod 15855  volcvol 25214  Ξ£^csumge0 45378  CaraGenccaragen 45507  voln*covoln 45552  volncvoln 45554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-subg 19041  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-drng 20504  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cmp 23113  df-ovol 25215  df-vol 25216  df-sumge0 45379  df-ome 45506  df-caragen 45508  df-ovoln 45553  df-voln 45555
This theorem is referenced by:  hoimbllem  45646
  Copyright terms: Public domain W3C validator