Theorem lnfnf 31707

Description: A linear Hilbert space functional is a functional. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnf	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → 𝑇: ℋ⟶ℂ)

Proof of Theorem lnfnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfn 31706	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → 𝑇: ℋ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137   + caddc 11142   · cmul 11144   ℋchba 30742   +_ℎ cva 30743   ·_ℎ csm 30744  LinFnclf 30777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-hilex 30822

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-lnfn 31671

This theorem is referenced by:  nmfn0  31810  lnfnfi  31864  rnbra  31930