Theorem lnfnf 31820

Description: A linear Hilbert space functional is a functional. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnf	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → 𝑇: ℋ⟶ℂ)

Proof of Theorem lnfnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfn 31819	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → 𝑇: ℋ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   · cmul 11080   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  LinFnclf 30890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-hilex 30935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-lnfn 31784

This theorem is referenced by:  nmfn0  31923  lnfnfi  31977  rnbra  32043