Theorem lnfnf 31903

Description: A linear Hilbert space functional is a functional. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfnf	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → 𝑇: ℋ⟶ℂ)

Proof of Theorem lnfnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfn 31902	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → 𝑇: ℋ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   · cmul 11160   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940  LinFnclf 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-hilex 31018

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-lnfn 31867

This theorem is referenced by:  nmfn0  32006  lnfnfi  32060  rnbra  32126