Theorem nmfn0 30358

Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfn0	⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lnfn 30356	. . 3 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2		lnfnf 30255	. . 3 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3		nmfnval 30247	. . 3 ⊢ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		c0ex 10980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fvconst2 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
7	6	fveq2d 6775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8		abs0 15008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
10	9	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
11	10	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
12	11	rexbiia 3179	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13		ax-hv0cl 29374	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
14		0le1 11509	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
16		norm0 29499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = 0)
18	17	breq1d 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18	rspcev 3561	. . . . . . . 8 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
20	13, 14, 19	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1
21		r19.41v 3276	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
22	20, 21	mpbiran 706	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
23	12, 22	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
24	23	abbii 2810	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
25		df-sn 4568	. . . 4 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
26	24, 25	eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
27	26	supeq1i 9194	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28		xrltso 12886	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
29		0xr 11033	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		supsn 9219	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
31	28, 29, 30	mp2an 689	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
32	4, 27, 31	3eqtri 2772	1 ⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {cab 2717  ∃wrex 3067  {csn 4567   class class class wbr 5079   Or wor 5503   × cxp 5588  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  supcsup 9187  ℂcc 10880  0cc0 10882  1c1 10883  ℝ^*cxr 11019   < clt 11020   ≤ cle 11021  abscabs 14956   ℋchba 29290  norm_ℎcno 29294  0_ℎc0v 29295  norm_fncnmf 29322  LinFnclf 29325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-hilex 29370  ax-hfvadd 29371  ax-hv0cl 29374  ax-hfvmul 29376  ax-hvmul0 29381  ax-hfi 29450  ax-his3 29455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-sup 9189  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-rp 12742  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-hnorm 29339  df-nmfn 30216  df-lnfn 30219

This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  30421  branmfn  30476