HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 31734
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 31732 . . 3 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 31631 . . 3 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn β†’ ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚)
3 nmfnval 31623 . . 3 (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 7198 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
76fveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (absβ€˜0))
8 abs0 15234 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
97, 8eqtrdi 2780 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
109eqeq2d 2735 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) ↔ π‘₯ = 0))
1110anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
1211rexbiia 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
13 ax-hv0cl 30750 . . . . . . . 8 0β„Ž ∈ β„‹
14 0le1 11736 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
15 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) = (normβ„Žβ€˜0β„Ž))
16 norm0 30875 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Žβ€˜0β„Ž) = 0
1715, 16eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) = 0)
1817breq1d 5149 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ 0 ≀ 1))
1918rspcev 3604 . . . . . . . 8 ((0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 0 ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1)
2013, 14, 19mp2an 689 . . . . . . 7 βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1
21 r19.41v 3180 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
2220, 21mpbiran 706 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ π‘₯ = 0)
2312, 22bitri 275 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ π‘₯ = 0)
2423abbii 2794 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
25 df-sn 4622 . . . 4 {0} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
2624, 25eqtr4i 2755 . . 3 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))} = {0}
2726supeq1i 9439 . 2 sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 13121 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 11260 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 9464 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 689 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2756 1 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  βˆƒwrex 3062  {csn 4621   class class class wbr 5139   Or wor 5578   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  supcsup 9432  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  abscabs 15183   β„‹chba 30666  normβ„Žcno 30670  0β„Žc0v 30671  normfncnmf 30698  LinFnclf 30701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hilex 30746  ax-hfvadd 30747  ax-hv0cl 30750  ax-hfvmul 30752  ax-hvmul0 30757  ax-hfi 30826  ax-his3 30831
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-hnorm 30715  df-nmfn 31592  df-lnfn 31595
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  31797  branmfn  31852
  Copyright terms: Public domain W3C validator