HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 31790
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 31788 . . 3 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 31687 . . 3 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn β†’ ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚)
3 nmfnval 31679 . . 3 (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 11232 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 7210 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
76fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (absβ€˜0))
8 abs0 15258 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
97, 8eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
109eqeq2d 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) ↔ π‘₯ = 0))
1110anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
1211rexbiia 3088 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
13 ax-hv0cl 30806 . . . . . . . 8 0β„Ž ∈ β„‹
14 0le1 11761 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
15 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) = (normβ„Žβ€˜0β„Ž))
16 norm0 30931 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Žβ€˜0β„Ž) = 0
1715, 16eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) = 0)
1817breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ 0 ≀ 1))
1918rspcev 3608 . . . . . . . 8 ((0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 0 ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1)
2013, 14, 19mp2an 691 . . . . . . 7 βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1
21 r19.41v 3184 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
2220, 21mpbiran 708 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ π‘₯ = 0)
2312, 22bitri 275 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ π‘₯ = 0)
2423abbii 2798 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
25 df-sn 4625 . . . 4 {0} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
2624, 25eqtr4i 2759 . . 3 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))} = {0}
2726supeq1i 9464 . 2 sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 13146 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 11285 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 9489 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 691 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2760 1 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  βˆƒwrex 3066  {csn 4624   class class class wbr 5142   Or wor 5583   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  supcsup 9457  β„‚cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133  β„*cxr 11271   < clt 11272   ≀ cle 11273  abscabs 15207   β„‹chba 30722  normβ„Žcno 30726  0β„Žc0v 30727  normfncnmf 30754  LinFnclf 30757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hv0cl 30806  ax-hfvmul 30808  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his3 30887
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-hnorm 30771  df-nmfn 31648  df-lnfn 31651
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  31853  branmfn  31908
  Copyright terms: Public domain W3C validator