Theorem nmfn0 32601

Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfn0	⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lnfn 32599	. . 3 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2		lnfnf 32498	. . 3 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3		nmfnval 32490	. . 3 ⊢ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		c0ex 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fvconst2 7217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
7	6	fveq2d 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8		abs0 15464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
10	9	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
11	10	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
12	11	rexbiia 3110	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13		ax-hv0cl 31617	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
14		0le1 11849	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
16		norm0 31742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = 0)
18	17	breq1d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18	rspcev 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
20	13, 14, 19	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1
21		r19.41v 3195	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
22	20, 21	mpbiran 722	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
23	12, 22	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
24	23	abbii 2830	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
25		df-sn 4588	. . . 4 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
26	24, 25	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
27	26	supeq1i 9449	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28		xrltso 13280	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
29		0xr 11366	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		supsn 9475	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
31	28, 29, 30	mp2an 705	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
32	4, 27, 31	3eqtri 2790	1 ⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741  ∃wrex 3089  {csn 4587   class class class wbr 5105   Or wor 5561   × cxp 5652  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  supcsup 9442  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354  abscabs 15413   ℋchba 31533  norm_ℎcno 31537  0_ℎc0v 31538  norm_fncnmf 31565  LinFnclf 31568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hv0cl 31617  ax-hfvmul 31619  ax-hvmul0 31624  ax-hfi 31693  ax-his3 31698

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-hnorm 31582  df-nmfn 32459  df-lnfn 32462

This theorem is used by:  nmbdfnlb  32664  branmfn  32719