HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 32016
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 32014 . . 3 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 31913 . . 3 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3 nmfnval 31905 . . 3 (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 11253 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 7224 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
76fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8 abs0 15321 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
97, 8eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
109eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
1110anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
1211rexbiia 3090 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13 ax-hv0cl 31032 . . . . . . . 8 0 ∈ ℋ
14 0le1 11784 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
15 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
16 norm0 31157 . . . . . . . . . . 11 (norm‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = 0)
1817breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918rspcev 3622 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1)
2013, 14, 19mp2an 692 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1
21 r19.41v 3187 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
2220, 21mpbiran 709 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
2312, 22bitri 275 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
2423abbii 2807 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥𝑥 = 0}
25 df-sn 4632 . . . 4 {0} = {𝑥𝑥 = 0}
2624, 25eqtr4i 2766 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
2726supeq1i 9485 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 13180 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 11306 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 9510 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 692 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2767 1 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  {csn 4631   class class class wbr 5148   Or wor 5596   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  supcsup 9478  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  abscabs 15270  chba 30948  normcno 30952  0c0v 30953  normfncnmf 30980  LinFnclf 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his3 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-hnorm 30997  df-nmfn 31874  df-lnfn 31877
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  32079  branmfn  32134
  Copyright terms: Public domain W3C validator