Theorem nmfn0 32006

Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfn0	⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lnfn 32004	. . 3 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2		lnfnf 31903	. . 3 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3		nmfnval 31895	. . 3 ⊢ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		c0ex 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fvconst2 7224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
7	6	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8		abs0 15324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
10	9	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
11	10	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
12	11	rexbiia 3092	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13		ax-hv0cl 31022	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
14		0le1 11786	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
16		norm0 31147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = 0)
18	17	breq1d 5153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18	rspcev 3622	. . . . . . . 8 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
20	13, 14, 19	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1
21		r19.41v 3189	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
22	20, 21	mpbiran 709	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
23	12, 22	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
24	23	abbii 2809	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
25		df-sn 4627	. . . 4 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
26	24, 25	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
27	26	supeq1i 9487	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28		xrltso 13183	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
29		0xr 11308	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		supsn 9512	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
31	28, 29, 30	mp2an 692	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
32	4, 27, 31	3eqtri 2769	1 ⊢ (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∃wrex 3070  {csn 4626   class class class wbr 5143   Or wor 5591   × cxp 5683  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  supcsup 9480  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  abscabs 15273   ℋchba 30938  norm_ℎcno 30942  0_ℎc0v 30943  norm_fncnmf 30970  LinFnclf 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his3 31103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-hnorm 30987  df-nmfn 31864  df-lnfn 31867

This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  32069  branmfn  32124