HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 32006
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 32004 . . 3 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 31903 . . 3 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3 nmfnval 31895 . . 3 (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 7224 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
76fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8 abs0 15324 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
97, 8eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
109eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
1110anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
1211rexbiia 3092 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13 ax-hv0cl 31022 . . . . . . . 8 0 ∈ ℋ
14 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
16 norm0 31147 . . . . . . . . . . 11 (norm‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = 0)
1817breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918rspcev 3622 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1)
2013, 14, 19mp2an 692 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1
21 r19.41v 3189 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
2220, 21mpbiran 709 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
2312, 22bitri 275 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
2423abbii 2809 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥𝑥 = 0}
25 df-sn 4627 . . . 4 {0} = {𝑥𝑥 = 0}
2624, 25eqtr4i 2768 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
2726supeq1i 9487 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 13183 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 11308 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 9512 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 692 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2769 1 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wrex 3070  {csn 4626   class class class wbr 5143   Or wor 5591   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  supcsup 9480  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  abscabs 15273  chba 30938  normcno 30942  0c0v 30943  normfncnmf 30970  LinFnclf 30973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his3 31103
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-hnorm 30987  df-nmfn 31864  df-lnfn 31867
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  32069  branmfn  32124
  Copyright terms: Public domain W3C validator