HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 31889
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 31887 . . 3 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 31786 . . 3 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3 nmfnval 31778 . . 3 (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 11245 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 7216 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
76fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8 abs0 15276 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
97, 8eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
109eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
1110anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
1211rexbiia 3081 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13 ax-hv0cl 30905 . . . . . . . 8 0 ∈ ℋ
14 0le1 11774 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
15 fveq2 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
16 norm0 31030 . . . . . . . . . . 11 (norm‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = 0)
1817breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918rspcev 3606 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1)
2013, 14, 19mp2an 690 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1
21 r19.41v 3178 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
2220, 21mpbiran 707 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
2312, 22bitri 274 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
2423abbii 2795 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥𝑥 = 0}
25 df-sn 4631 . . . 4 {0} = {𝑥𝑥 = 0}
2624, 25eqtr4i 2756 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
2726supeq1i 9477 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 13160 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 11298 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 9502 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 690 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2757 1 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wrex 3059  {csn 4630   class class class wbr 5149   Or wor 5589   × cxp 5676  wf 6545  cfv 6549  supcsup 9470  cc 11143  0cc0 11145  1c1 11146  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  abscabs 15225  chba 30821  normcno 30825  0c0v 30826  normfncnmf 30853  LinFnclf 30856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hv0cl 30905  ax-hfvmul 30907  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his3 30986
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-hnorm 30870  df-nmfn 31747  df-lnfn 31750
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  31952  branmfn  32007
  Copyright terms: Public domain W3C validator