HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 29774
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 29772 . . 3 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 29671 . . 3 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3 nmfnval 29663 . . 3 (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 10628 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 6947 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
76fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8 abs0 14641 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
97, 8eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
109eqeq2d 2812 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
1110anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
1211rexbiia 3212 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13 ax-hv0cl 28790 . . . . . . . 8 0 ∈ ℋ
14 0le1 11156 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
15 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
16 norm0 28915 . . . . . . . . . . 11 (norm‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = 0)
1817breq1d 5043 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918rspcev 3574 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1)
2013, 14, 19mp2an 691 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1
21 r19.41v 3303 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
2220, 21mpbiran 708 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
2312, 22bitri 278 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
2423abbii 2866 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥𝑥 = 0}
25 df-sn 4529 . . . 4 {0} = {𝑥𝑥 = 0}
2624, 25eqtr4i 2827 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
2726supeq1i 8899 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 12526 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 10681 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 8924 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 691 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2828 1 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wrex 3110  {csn 4528   class class class wbr 5033   Or wor 5441   × cxp 5521  wf 6324  cfv 6328  supcsup 8892  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  abscabs 14589  chba 28706  normcno 28710  0c0v 28711  normfncnmf 28738  LinFnclf 28741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hv0cl 28790  ax-hfvmul 28792  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his3 28871
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-hnorm 28755  df-nmfn 29632  df-lnfn 29635
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  29837  branmfn  29892
  Copyright terms: Public domain W3C validator