HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 30978
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 30976 . . 3 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 30875 . . 3 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn β†’ ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚)
3 nmfnval 30867 . . 3 (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ β†’ (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
76fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (absβ€˜0))
8 abs0 15179 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
97, 8eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
109eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) ↔ π‘₯ = 0))
1110anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
1211rexbiia 3092 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
13 ax-hv0cl 29994 . . . . . . . 8 0β„Ž ∈ β„‹
14 0le1 11686 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
15 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) = (normβ„Žβ€˜0β„Ž))
16 norm0 30119 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Žβ€˜0β„Ž) = 0
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) = 0)
1817breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ 0 ≀ 1))
1918rspcev 3583 . . . . . . . 8 ((0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 0 ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1)
2013, 14, 19mp2an 691 . . . . . . 7 βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1
21 r19.41v 3182 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
2220, 21mpbiran 708 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ π‘₯ = 0)
2312, 22bitri 275 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦))) ↔ π‘₯ = 0)
2423abbii 2803 . . . 4 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
25 df-sn 4591 . . . 4 {0} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
2624, 25eqtr4i 2764 . . 3 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))} = {0}
2726supeq1i 9391 . 2 sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (absβ€˜(( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 13069 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 11210 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 9416 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 691 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2765 1 (normfnβ€˜( β„‹ Γ— {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3070  {csn 4590   class class class wbr 5109   Or wor 5548   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  supcsup 9384  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  abscabs 15128   β„‹chba 29910  normβ„Žcno 29914  0β„Žc0v 29915  normfncnmf 29942  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hnorm 29959  df-nmfn 30836  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  31041  branmfn  31096
  Copyright terms: Public domain W3C validator