HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dfadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfadj2 31406
Description: Alternate definition of the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfadj2 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
Distinct variable group:   ๐‘ข,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem dfadj2
StepHypRef Expression
1 df-adjh 31370 . 2 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)))}
2 eqcom 2738 . . . . . . 7 (((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
322ralbii 3127 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
4 adjsym 31354 . . . . . 6 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
53, 4bitr4id 290 . . . . 5 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
65pm5.32i 574 . . . 4 (((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
7 df-3an 1088 . . . 4 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))))
8 df-3an 1088 . . . 4 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
96, 7, 83bitr4i 303 . . 3 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
109opabbii 5215 . 2 {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ฆ)))} = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
111, 10eqtri 2759 1 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘ขโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540  โˆ€wral 3060  {copab 5210  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โ„‹chba 30440   ยทih csp 30443  adjโ„Žcado 30476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-hfi 30600  ax-his1 30603
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-adjh 31370
This theorem is referenced by:  funadj  31407  dmadjss  31408  adjeu  31410  adjval  31411  cnvadj  31413  adj1  31454  cnlnssadj  31601
  Copyright terms: Public domain W3C validator