HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dfadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfadj2 29200
Description: Alternate definition of the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfadj2 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
Distinct variable group:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfadj2
StepHypRef Expression
1 df-adjh 29164 . 2 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)))}
2 adjsym 29148 . . . . . 6 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦)))
3 eqcom 2772 . . . . . . 7 (((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) ↔ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦))
432ralbii 3128 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦))
52, 4syl6rbbr 281 . . . . 5 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
65pm5.32i 570 . . . 4 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))) ↔ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
7 df-3an 1109 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))) ↔ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
8 df-3an 1109 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
96, 7, 83bitr4i 294 . . 3 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
109opabbii 4876 . 2 {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
111, 10eqtri 2787 1 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wral 3055  {copab 4871  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  chba 28232   ·ih csp 28235  adjcado 28268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-hfi 28392  ax-his1 28395
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-adjh 29164
This theorem is referenced by:  funadj  29201  dmadjss  29202  adjeu  29204  adjval  29205  cnvadj  29207  adj1  29248  cnlnssadj  29395
  Copyright terms: Public domain W3C validator