Theorem rnbra 32193

Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rnbra	⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem rnbra

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32143	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → (𝑡 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
2	1	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
3		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn))
4		ax-hilex 31085	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5	4	mptex 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
6		df-bra 31936	. . . . . 6 ⊢ bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
7	5, 6	fnmpti 6635	. . . . 5 ⊢ bra Fn ℋ
8		fvelrnb 6894	. . . . 5 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
10		bralnfn 32034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥) ∈ LinFn)
11		brabn 32192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ))
13		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ↔ 𝑡 ∈ LinFn))
14		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (normfn‘(bra‘𝑥)) = (normfn‘𝑡))
15	14	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
16	13, 15	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
17	12, 16	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
18	17	rexlimiv 3132	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
19		riesz1 32151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑡) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
21		braval 32030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
22		eqtr3 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) ∧ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
25	24	ralimdva 3150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
27		brafn 32033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ)
28		lnfnf 31970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
30		ffn 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ → (bra‘𝑥) Fn ℋ)
31		ffn 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → 𝑡 Fn ℋ)
32		eqfnfv 6977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((bra‘𝑥) Fn ℋ ∧ 𝑡 Fn ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
33	30, 31, 32	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑡: ℋ⟶ℂ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
34	27, 29, 33	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
35	26, 34	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → (bra‘𝑥) = 𝑡))
36	35	reximdva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
37	20, 36	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
38	18, 37	impbii 209	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
39	9, 38	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
40	2, 3, 39	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ 𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
41	40	eqriv 2734	1 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   ℋchba 31005   ·_ih csp 31008  norm_fncnmf 31037  ContFnccnfn 31039  LinFnclf 31040  bracbr 31042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-t1 23289  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-ssp 30808  df-ph 30899  df-cbn 30949  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339  df-nmfn 31931  df-nlfn 31932  df-cnfn 31933  df-lnfn 31934  df-bra 31936

This theorem is referenced by:  bra11  32194  cnvbraval  32196