Theorem rnbra 32739

Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rnbra	⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem rnbra

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32689	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → (𝑡 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
2	1	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
3		elin 4096	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn))
4		ax-hilex 31631	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5	4	mptex 7252	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
6		df-bra 32482	. . . . . 6 ⊢ bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
7	5, 6	fnmpti 6704	. . . . 5 ⊢ bra Fn ℋ
8		fvelrnb 6968	. . . . 5 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
10		bralnfn 32580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥) ∈ LinFn)
11		brabn 32738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ))
13		eleq1 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ↔ 𝑡 ∈ LinFn))
14		fveq2 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (normfn‘(bra‘𝑥)) = (normfn‘𝑡))
15	14	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
16	13, 15	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
17	12, 16	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
18	17	rexlimiv 3160	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
19		riesz1 32697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑡) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)))
20	19	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
21		braval 32576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
22		eqtr3 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) ∧ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
25	24	ralimdva 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
26	25	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
27		brafn 32579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ)
28		lnfnf 32516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
30		ffn 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ → (bra‘𝑥) Fn ℋ)
31		ffn 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → 𝑡 Fn ℋ)
32		eqfnfv 7052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((bra‘𝑥) Fn ℋ ∧ 𝑡 Fn ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
33	30, 31, 32	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑡: ℋ⟶ℂ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
34	27, 29, 33	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
35	26, 34	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → (bra‘𝑥) = 𝑡))
36	35	reximdva 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
37	20, 36	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
38	18, 37	impbii 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
39	9, 38	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
40	2, 3, 39	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ 𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
41	40	eqriv 2760	1 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226   ℋchba 31551   ·_ih csp 31554  norm_fncnmf 31583  ContFnccnfn 31585  LinFnclf 31586  bracbr 31588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577  df-t1 23662  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-dip 31333  df-ssp 31354  df-ph 31445  df-cbn 31495  df-hnorm 31600  df-hba 31601  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605  df-sh 31839  df-ch 31853  df-oc 31884  df-ch0 31885  df-nmfn 32477  df-nlfn 32478  df-cnfn 32479  df-lnfn 32480  df-bra 32482

This theorem is used by:  bra11  32740  cnvbraval  32742