HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  rnbra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnbra 29800
Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rnbra ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem rnbra
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 29750 . . . 4 (𝑡 ∈ LinFn → (𝑡 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
21pm5.32i 575 . . 3 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
3 elin 4172 . . 3 (𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn))
4 ax-hilex 28692 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
54mptex 6984 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
6 df-bra 29543 . . . . . 6 bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
75, 6fnmpti 6487 . . . . 5 bra Fn ℋ
8 fvelrnb 6722 . . . . 5 (bra Fn ℋ → (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
10 bralnfn 29641 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥) ∈ LinFn)
11 brabn 29799 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ)
1210, 11jca 512 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ))
13 eleq1 2904 . . . . . . . 8 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ↔ 𝑡 ∈ LinFn))
14 fveq2 6666 . . . . . . . . 9 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (normfn‘(bra‘𝑥)) = (normfn𝑡))
1514eleq1d 2901 . . . . . . . 8 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
1613, 15anbi12d 630 . . . . . . 7 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ)))
1712, 16syl5ibcom 246 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ)))
1817rexlimiv 3284 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
19 riesz1 29758 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ LinFn → ((normfn𝑡) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)))
2019biimpa 477 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
21 braval 29637 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
22 eqtr3 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) ∧ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦))
2322ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
2524ralimdva 3181 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
27 brafn 29640 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ)
28 lnfnf 29577 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ LinFn → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
30 ffn 6510 . . . . . . . . . 10 ((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ → (bra‘𝑥) Fn ℋ)
31 ffn 6510 . . . . . . . . . 10 (𝑡: ℋ⟶ℂ → 𝑡 Fn ℋ)
32 eqfnfv 6797 . . . . . . . . . 10 (((bra‘𝑥) Fn ℋ ∧ 𝑡 Fn ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
3330, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑡: ℋ⟶ℂ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
3427, 29, 33syl2anr 596 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
3526, 34sylibrd 260 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → (bra‘𝑥) = 𝑡))
3635reximdva 3278 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
3720, 36mpd 15 . . . . 5 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
3818, 37impbii 210 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
399, 38bitri 276 . . 3 (𝑡 ∈ ran bra ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
402, 3, 393bitr4ri 305 . 2 (𝑡 ∈ ran bra ↔ 𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
4140eqriv 2822 1 ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  cin 3938  cmpt 5142  ran crn 5554   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  chba 28612   ·ih csp 28615  normfncnmf 28644  ContFnccnfn 28646  LinFnclf 28647  bracbr 28649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28692  ax-hfvadd 28693  ax-hvcom 28694  ax-hvass 28695  ax-hv0cl 28696  ax-hvaddid 28697  ax-hfvmul 28698  ax-hvmulid 28699  ax-hvmulass 28700  ax-hvdistr1 28701  ax-hvdistr2 28702  ax-hvmul0 28703  ax-hfi 28772  ax-his1 28775  ax-his2 28776  ax-his3 28777  ax-his4 28778  ax-hcompl 28895
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-lm 21755  df-t1 21840  df-haus 21841  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cfil 23775  df-cau 23776  df-cmet 23777  df-grpo 28186  df-gid 28187  df-ginv 28188  df-gdiv 28189  df-ablo 28238  df-vc 28252  df-nv 28285  df-va 28288  df-ba 28289  df-sm 28290  df-0v 28291  df-vs 28292  df-nmcv 28293  df-ims 28294  df-dip 28394  df-ssp 28415  df-ph 28506  df-cbn 28556  df-hnorm 28661  df-hba 28662  df-hvsub 28664  df-hlim 28665  df-hcau 28666  df-sh 28900  df-ch 28914  df-oc 28945  df-ch0 28946  df-nmfn 29538  df-nlfn 29539  df-cnfn 29540  df-lnfn 29541  df-bra 29543
This theorem is referenced by:  bra11  29801  cnvbraval  29803
  Copyright terms: Public domain W3C validator