Theorem rnbra 30003

Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rnbra	⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem rnbra

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 29953	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → (𝑡 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
2	1	pm5.32i 578	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
3		elin 3876	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn))
4		ax-hilex 28895	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5	4	mptex 6983	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
6		df-bra 29746	. . . . . 6 ⊢ bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
7	5, 6	fnmpti 6479	. . . . 5 ⊢ bra Fn ℋ
8		fvelrnb 6719	. . . . 5 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
10		bralnfn 29844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥) ∈ LinFn)
11		brabn 30002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ))
13		eleq1 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ↔ 𝑡 ∈ LinFn))
14		fveq2 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (normfn‘(bra‘𝑥)) = (normfn‘𝑡))
15	14	eleq1d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
16	13, 15	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
17	12, 16	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
18	17	rexlimiv 3204	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
19		riesz1 29961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑡) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)))
20	19	biimpa 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
21		braval 29840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
22		eqtr3 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) ∧ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦))
23	22	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
25	24	ralimdva 3108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
26	25	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
27		brafn 29843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ)
28		lnfnf 29780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
29	28	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
30		ffn 6503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ → (bra‘𝑥) Fn ℋ)
31		ffn 6503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → 𝑡 Fn ℋ)
32		eqfnfv 6798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((bra‘𝑥) Fn ℋ ∧ 𝑡 Fn ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
33	30, 31, 32	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑡: ℋ⟶ℂ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
34	27, 29, 33	syl2anr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
35	26, 34	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → (bra‘𝑥) = 𝑡))
36	35	reximdva 3198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
37	20, 36	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
38	18, 37	impbii 212	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
39	9, 38	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
40	2, 3, 39	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ 𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
41	40	eqriv 2755	1 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∩ cin 3859   ↦ cmpt 5116  ran crn 5529   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587   ℋchba 28815   ·_ih csp 28818  norm_fncnmf 28847  ContFnccnfn 28849  LinFnclf 28850  bracbr 28852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668  ax-hilex 28895  ax-hfvadd 28896  ax-hvcom 28897  ax-hvass 28898  ax-hv0cl 28899  ax-hvaddid 28900  ax-hfvmul 28901  ax-hvmulid 28902  ax-hvmulass 28903  ax-hvdistr1 28904  ax-hvdistr2 28905  ax-hvmul0 28906  ax-hfi 28975  ax-his1 28978  ax-his2 28979  ax-his3 28980  ax-his4 28981  ax-hcompl 29098

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-acn 9417  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-hom 16661  df-cco 16662  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-pt 16790  df-prds 16793  df-xrs 16847  df-qtop 16852  df-imas 16853  df-xps 16855  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-mulg 18306  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cld 21733  df-ntr 21734  df-cls 21735  df-nei 21812  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-lm 21943  df-t1 22028  df-haus 22029  df-tx 22276  df-hmeo 22469  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-xms 23036  df-ms 23037  df-tms 23038  df-cfil 23969  df-cau 23970  df-cmet 23971  df-grpo 28389  df-gid 28390  df-ginv 28391  df-gdiv 28392  df-ablo 28441  df-vc 28455  df-nv 28488  df-va 28491  df-ba 28492  df-sm 28493  df-0v 28494  df-vs 28495  df-nmcv 28496  df-ims 28497  df-dip 28597  df-ssp 28618  df-ph 28709  df-cbn 28759  df-hnorm 28864  df-hba 28865  df-hvsub 28867  df-hlim 28868  df-hcau 28869  df-sh 29103  df-ch 29117  df-oc 29148  df-ch0 29149  df-nmfn 29741  df-nlfn 29742  df-cnfn 29743  df-lnfn 29744  df-bra 29746

This theorem is referenced by:  bra11  30004  cnvbraval  30006