HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  rnbra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnbra 29491
Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rnbra ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem rnbra
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 29441 . . . 4 (𝑡 ∈ LinFn → (𝑡 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
21pm5.32i 571 . . 3 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
3 elin 3994 . . 3 (𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn))
4 ax-hilex 28381 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
54mptex 6715 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
6 df-bra 29234 . . . . . 6 bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
75, 6fnmpti 6233 . . . . 5 bra Fn ℋ
8 fvelrnb 6468 . . . . 5 (bra Fn ℋ → (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
10 bralnfn 29332 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥) ∈ LinFn)
11 brabn 29490 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ)
1210, 11jca 508 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ))
13 eleq1 2866 . . . . . . . 8 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ↔ 𝑡 ∈ LinFn))
14 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (normfn‘(bra‘𝑥)) = (normfn𝑡))
1514eleq1d 2863 . . . . . . . 8 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
1613, 15anbi12d 625 . . . . . . 7 ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ)))
1712, 16syl5ibcom 237 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ)))
1817rexlimiv 3208 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
19 riesz1 29449 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ LinFn → ((normfn𝑡) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)))
2019biimpa 469 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
21 braval 29328 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
22 eqtr3 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) ∧ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦))
2322ex 402 . . . . . . . . . . 11 (((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
2524ralimdva 3143 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
2625adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
27 brafn 29331 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ)
28 lnfnf 29268 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ LinFn → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
2928adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
30 ffn 6256 . . . . . . . . . 10 ((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ → (bra‘𝑥) Fn ℋ)
31 ffn 6256 . . . . . . . . . 10 (𝑡: ℋ⟶ℂ → 𝑡 Fn ℋ)
32 eqfnfv 6537 . . . . . . . . . 10 (((bra‘𝑥) Fn ℋ ∧ 𝑡 Fn ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
3330, 31, 32syl2an 590 . . . . . . . . 9 (((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑡: ℋ⟶ℂ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
3427, 29, 33syl2anr 591 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡𝑦)))
3526, 34sylibrd 251 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → (bra‘𝑥) = 𝑡))
3635reximdva 3197 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
3720, 36mpd 15 . . . . 5 ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
3818, 37impbii 201 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
399, 38bitri 267 . . 3 (𝑡 ∈ ran bra ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑡) ∈ ℝ))
402, 3, 393bitr4ri 296 . 2 (𝑡 ∈ ran bra ↔ 𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
4140eqriv 2796 1 ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  cin 3768  cmpt 4922  ran crn 5313   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  chba 28301   ·ih csp 28304  normfncnmf 28333  ContFnccnfn 28335  LinFnclf 28336  bracbr 28338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304  ax-hilex 28381  ax-hfvadd 28382  ax-hvcom 28383  ax-hvass 28384  ax-hv0cl 28385  ax-hvaddid 28386  ax-hfvmul 28387  ax-hvmulid 28388  ax-hvmulass 28389  ax-hvdistr1 28390  ax-hvdistr2 28391  ax-hvmul0 28392  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465  ax-his3 28466  ax-his4 28467  ax-hcompl 28584
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-lm 21362  df-t1 21447  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cfil 23381  df-cau 23382  df-cmet 23383  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-dip 28081  df-ssp 28102  df-ph 28193  df-cbn 28244  df-hnorm 28350  df-hba 28351  df-hvsub 28353  df-hlim 28354  df-hcau 28355  df-sh 28589  df-ch 28603  df-oc 28634  df-ch0 28635  df-nmfn 29229  df-nlfn 29230  df-cnfn 29231  df-lnfn 29232  df-bra 29234
This theorem is referenced by:  bra11  29492  cnvbraval  29494
  Copyright terms: Public domain W3C validator