Theorem rnbra 32089

Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rnbra	⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem rnbra

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32039	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → (𝑡 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
2	1	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
3		elin 3914	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ 𝑡 ∈ ContFn))
4		ax-hilex 30981	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5	4	mptex 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
6		df-bra 31832	. . . . . 6 ⊢ bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
7	5, 6	fnmpti 6629	. . . . 5 ⊢ bra Fn ℋ
8		fvelrnb 6888	. . . . 5 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
10		bralnfn 31930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥) ∈ LinFn)
11		brabn 32088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ))
13		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((bra‘𝑥) ∈ LinFn ↔ 𝑡 ∈ LinFn))
14		fveq2 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (normfn‘(bra‘𝑥)) = (normfn‘𝑡))
15	14	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → ((normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
16	13, 15	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (((bra‘𝑥) ∈ LinFn ∧ (normfn‘(bra‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
17	12, 16	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ)))
18	17	rexlimiv 3127	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 → (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
19		riesz1 32047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑡) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
21		braval 31926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥))
22		eqtr3 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) ∧ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥)) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
25	24	ralimdva 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
27		brafn 31929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ)
28		lnfnf 31866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ LinFn → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → 𝑡: ℋ⟶ℂ)
30		ffn 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ → (bra‘𝑥) Fn ℋ)
31		ffn 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ℂ → 𝑡 Fn ℋ)
32		eqfnfv 6970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((bra‘𝑥) Fn ℋ ∧ 𝑡 Fn ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
33	30, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bra‘𝑥): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑡: ℋ⟶ℂ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
34	27, 29, 33	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥)‘𝑦) = (𝑡‘𝑦)))
35	26, 34	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → (bra‘𝑥) = 𝑡))
36	35	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑡‘𝑦) = (𝑦 ·ih 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡))
37	20, 36	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡)
38	18, 37	impbii 209	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (bra‘𝑥) = 𝑡 ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
39	9, 38	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ (𝑡 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑡) ∈ ℝ))
40	2, 3, 39	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ran bra ↔ 𝑡 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
41	40	eqriv 2730	1 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897   ↦ cmpt 5174  ran crn 5620   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012   ℋchba 30901   ·_ih csp 30904  norm_fncnmf 30933  ContFnccnfn 30935  LinFnclf 30936  bracbr 30938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093  ax-hilex 30981  ax-hfvadd 30982  ax-hvcom 30983  ax-hvass 30984  ax-hv0cl 30985  ax-hvaddid 30986  ax-hfvmul 30987  ax-hvmulid 30988  ax-hvmulass 30989  ax-hvdistr1 30990  ax-hvdistr2 30991  ax-hvmul0 30992  ax-hfi 31061  ax-his1 31064  ax-his2 31065  ax-his3 31066  ax-his4 31067  ax-hcompl 31184

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-t1 23230  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30475  df-gid 30476  df-ginv 30477  df-gdiv 30478  df-ablo 30527  df-vc 30541  df-nv 30574  df-va 30577  df-ba 30578  df-sm 30579  df-0v 30580  df-vs 30581  df-nmcv 30582  df-ims 30583  df-dip 30683  df-ssp 30704  df-ph 30795  df-cbn 30845  df-hnorm 30950  df-hba 30951  df-hvsub 30953  df-hlim 30954  df-hcau 30955  df-sh 31189  df-ch 31203  df-oc 31234  df-ch0 31235  df-nmfn 31827  df-nlfn 31828  df-cnfn 31829  df-lnfn 31830  df-bra 31832

This theorem is referenced by:  bra11  32090  cnvbraval  32092