Theorem lnfnli 32119

Description: Basic property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))

Proof of Theorem lnfnli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfnl.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		lnfnl 32010	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))
3	1, 2	mpanl1 701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))
4	3	3impb 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028   + caddc 11033   · cmul 11035   ℋchba 30998   +_ℎ cva 30999   ·_ℎ csm 31000  LinFnclf 31033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-hilex 31078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-lnfn 31927

This theorem is referenced by:  lnfn0i  32121  lnfnaddi  32122  lnfnmuli  32123