Theorem lnfnli 31765

Description: Basic property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))

Proof of Theorem lnfnli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfnl.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		lnfnl 31656	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))
3	1, 2	mpanl1 697	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))
4	3	3impb 1112	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 𝐶)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105   + caddc 11110   · cmul 11112   ℋchba 30644   +_ℎ cva 30645   ·_ℎ csm 30646  LinFnclf 30679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-hilex 30724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-lnfn 31573

This theorem is referenced by:  lnfn0i  31767  lnfnaddi  31768  lnfnmuli  31769