HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfn0i 31790
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30751 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 31789 . . . . 5 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
43ffvelcdmi 7076 . . . 4 (0β„Ž ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜0β„Ž) ∈ β„‚)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (π‘‡β€˜0β„Ž) ∈ β„‚
65, 5pncan3oi 11475 . 2 (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
7 ax-1cn 11165 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
82lnfnli 31788 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
97, 1, 1, 8mp3an 1457 . . . . . 6 (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
107, 1hvmulcli 30762 . . . . . . . . 9 (1 Β·β„Ž 0β„Ž) ∈ β„‹
11 ax-hvaddid 30752 . . . . . . . . 9 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) ∈ β„‹ β†’ ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = (1 Β·β„Ž 0β„Ž))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = (1 Β·β„Ž 0β„Ž)
13 ax-hvmulid 30754 . . . . . . . . 9 (0β„Ž ∈ β„‹ β†’ (1 Β·β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 Β·β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
1512, 14eqtri 2752 . . . . . . 7 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
1615fveq2i 6885 . . . . . 6 (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
179, 16eqtr3i 2754 . . . . 5 ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
185mullidi 11218 . . . . . 6 (1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
1918oveq1i 7412 . . . . 5 ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
2017, 19eqtr3i 2754 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = ((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
2120oveq1i 7412 . . 3 ((π‘‡β€˜0β„Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))
225subidi 11530 . . 3 ((π‘‡β€˜0β„Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
2321, 22eqtr3i 2754 . 2 (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
246, 23eqtr3i 2754 1 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11443   β„‹chba 30667   +β„Ž cva 30668   Β·β„Ž csm 30669  0β„Žc0v 30672  LinFnclf 30702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-hilex 30747  ax-hv0cl 30751  ax-hvaddid 30752  ax-hfvmul 30753  ax-hvmulid 30754
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-lnfn 31596
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  31792  lnfn0  31795  nmbdfnlbi  31797  nmcfnexi  31799  nmcfnlbi  31800  nlelshi  31808
  Copyright terms: Public domain W3C validator