Theorem lnfn0i 31978

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfn0i	⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem lnfn0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30939	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnfi 31977	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
4	3	ffvelcdmi 7058	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ
6	5, 5	pncan3oi 11444	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
7		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	2	lnfnli 31976	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)))
9	7, 1, 1, 8	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ))
10	7, 1	hvmulcli 30950	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
11		ax-hvaddid 30940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
13		ax-hvmulid 30942	. . . . . . . . 9 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
15	12, 14	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
16	15	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
17	9, 16	eqtr3i 2755	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
18	5	mullidi 11186	. . . . . 6 ⊢ (1 · (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
19	18	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
20	17, 19	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
21	20	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ))
22	5	subidi 11500	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
23	21, 22	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
24	6, 23	eqtr3i 2755	1 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  0_ℎc0v 30860  LinFnclf 30890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hilex 30935  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-lnfn 31784

This theorem is referenced by:  lnfnmuli  31980  lnfn0  31983  nmbdfnlbi  31985  nmcfnexi  31987  nmcfnlbi  31988  nlelshi  31996