Theorem lnfn0i 32102

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfn0i	⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem lnfn0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31063	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnfi 32101	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
4	3	ffvelcdmi 7027	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ
6	5, 5	pncan3oi 11397	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
7		ax-1cn 11085	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	2	lnfnli 32100	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)))
9	7, 1, 1, 8	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ))
10	7, 1	hvmulcli 31074	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
11		ax-hvaddid 31064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
13		ax-hvmulid 31066	. . . . . . . . 9 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
15	12, 14	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
16	15	fveq2i 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
17	9, 16	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
18	5	mullidi 11138	. . . . . 6 ⊢ (1 · (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
19	18	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
20	17, 19	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
21	20	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ))
22	5	subidi 11453	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
23	21, 22	eqtr3i 2762	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
24	6, 23	eqtr3i 2762	1 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11365   ℋchba 30979   +_ℎ cva 30980   ·_ℎ csm 30981  0_ℎc0v 30984  LinFnclf 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-hilex 31059  ax-hv0cl 31063  ax-hvaddid 31064  ax-hfvmul 31065  ax-hvmulid 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-ltxr 11172  df-sub 11367  df-lnfn 31908

This theorem is referenced by:  lnfnmuli  32104  lnfn0  32107  nmbdfnlbi  32109  nmcfnexi  32111  nmcfnlbi  32112  nlelshi  32120