HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfn0i 31865
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30826 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 31864 . . . . 5 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
43ffvelcdmi 7093 . . . 4 (0β„Ž ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜0β„Ž) ∈ β„‚)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (π‘‡β€˜0β„Ž) ∈ β„‚
65, 5pncan3oi 11507 . 2 (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
7 ax-1cn 11197 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
82lnfnli 31863 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
97, 1, 1, 8mp3an 1458 . . . . . 6 (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
107, 1hvmulcli 30837 . . . . . . . . 9 (1 Β·β„Ž 0β„Ž) ∈ β„‹
11 ax-hvaddid 30827 . . . . . . . . 9 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) ∈ β„‹ β†’ ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = (1 Β·β„Ž 0β„Ž))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = (1 Β·β„Ž 0β„Ž)
13 ax-hvmulid 30829 . . . . . . . . 9 (0β„Ž ∈ β„‹ β†’ (1 Β·β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 Β·β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
1512, 14eqtri 2756 . . . . . . 7 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
1615fveq2i 6900 . . . . . 6 (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
179, 16eqtr3i 2758 . . . . 5 ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
185mullidi 11250 . . . . . 6 (1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
1918oveq1i 7430 . . . . 5 ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
2017, 19eqtr3i 2758 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = ((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
2120oveq1i 7430 . . 3 ((π‘‡β€˜0β„Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))
225subidi 11562 . . 3 ((π‘‡β€˜0β„Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
2321, 22eqtr3i 2758 . 2 (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
246, 23eqtr3i 2758 1 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475   β„‹chba 30742   +β„Ž cva 30743   Β·β„Ž csm 30744  0β„Žc0v 30747  LinFnclf 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-hilex 30822  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-lnfn 31671
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  31867  lnfn0  31870  nmbdfnlbi  31872  nmcfnexi  31874  nmcfnlbi  31875  nlelshi  31883
  Copyright terms: Public domain W3C validator