HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfn0i 30404
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (𝑇‘0) = 0

Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29365 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 30403 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ℂ
43ffvelrni 6960 . . . 4 (0 ∈ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇‘0) ∈ ℂ
65, 5pncan3oi 11237 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
7 ax-1cn 10929 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
82lnfnli 30402 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
97, 1, 1, 8mp3an 1460 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0))
107, 1hvmulcli 29376 . . . . . . . . 9 (1 · 0) ∈ ℋ
11 ax-hvaddid 29366 . . . . . . . . 9 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
13 ax-hvmulid 29368 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 0) = 0
1512, 14eqtri 2766 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = 0
1615fveq2i 6777 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
179, 16eqtr3i 2768 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
185mulid2i 10980 . . . . . 6 (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
1918oveq1i 7285 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2017, 19eqtr3i 2768 . . . 4 (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2120oveq1i 7285 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0))
225subidi 11292 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0
2321, 22eqtr3i 2768 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = 0
246, 23eqtr3i 2768 1 (𝑇‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205  chba 29281   + cva 29282   · csm 29283  0c0v 29286  LinFnclf 29316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-lnfn 30210
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  30406  lnfn0  30409  nmbdfnlbi  30411  nmcfnexi  30413  nmcfnlbi  30414  nlelshi  30422
  Copyright terms: Public domain W3C validator