Theorem lnfn0i 32074

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfn0i	⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem lnfn0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31035	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnfi 32073	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
4	3	ffvelcdmi 7117	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ
6	5, 5	pncan3oi 11552	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
7		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	2	lnfnli 32072	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)))
9	7, 1, 1, 8	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ))
10	7, 1	hvmulcli 31046	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
11		ax-hvaddid 31036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
13		ax-hvmulid 31038	. . . . . . . . 9 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
15	12, 14	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
16	15	fveq2i 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
17	9, 16	eqtr3i 2770	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
18	5	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
19	18	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
20	17, 19	eqtr3i 2770	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
21	20	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ))
22	5	subidi 11607	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
23	21, 22	eqtr3i 2770	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
24	6, 23	eqtr3i 2770	1 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  0_ℎc0v 30956  LinFnclf 30986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-lnfn 31880

This theorem is referenced by:  lnfnmuli  32076  lnfn0  32079  nmbdfnlbi  32081  nmcfnexi  32083  nmcfnlbi  32084  nlelshi  32092