HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfn0i 31295
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30256 . . . 4 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 31294 . . . . 5 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
43ffvelcdmi 7086 . . . 4 (0β„Ž ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜0β„Ž) ∈ β„‚)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (π‘‡β€˜0β„Ž) ∈ β„‚
65, 5pncan3oi 11476 . 2 (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
7 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
82lnfnli 31293 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
97, 1, 1, 8mp3an 1462 . . . . . 6 (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
107, 1hvmulcli 30267 . . . . . . . . 9 (1 Β·β„Ž 0β„Ž) ∈ β„‹
11 ax-hvaddid 30257 . . . . . . . . 9 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) ∈ β„‹ β†’ ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = (1 Β·β„Ž 0β„Ž))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = (1 Β·β„Ž 0β„Ž)
13 ax-hvmulid 30259 . . . . . . . . 9 (0β„Ž ∈ β„‹ β†’ (1 Β·β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 Β·β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
1512, 14eqtri 2761 . . . . . . 7 ((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
1615fveq2i 6895 . . . . . 6 (π‘‡β€˜((1 Β·β„Ž 0β„Ž) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
179, 16eqtr3i 2763 . . . . 5 ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
185mullidi 11219 . . . . . 6 (1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (π‘‡β€˜0β„Ž)
1918oveq1i 7419 . . . . 5 ((1 Β· (π‘‡β€˜0β„Ž)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
2017, 19eqtr3i 2763 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = ((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž))
2120oveq1i 7419 . . 3 ((π‘‡β€˜0β„Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž))
225subidi 11531 . . 3 ((π‘‡β€˜0β„Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
2321, 22eqtr3i 2763 . 2 (((π‘‡β€˜0β„Ž) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) βˆ’ (π‘‡β€˜0β„Ž)) = 0
246, 23eqtr3i 2763 1 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   β„‹chba 30172   +β„Ž cva 30173   Β·β„Ž csm 30174  0β„Žc0v 30177  LinFnclf 30207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hilex 30252  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-lnfn 31101
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  31297  lnfn0  31300  nmbdfnlbi  31302  nmcfnexi  31304  nmcfnlbi  31305  nlelshi  31313
  Copyright terms: Public domain W3C validator