HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfn0i 32071
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (𝑇‘0) = 0

Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 31032 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 32070 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ℂ
43ffvelcdmi 7103 . . . 4 (0 ∈ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇‘0) ∈ ℂ
65, 5pncan3oi 11522 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
7 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
82lnfnli 32069 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
97, 1, 1, 8mp3an 1460 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0))
107, 1hvmulcli 31043 . . . . . . . . 9 (1 · 0) ∈ ℋ
11 ax-hvaddid 31033 . . . . . . . . 9 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
13 ax-hvmulid 31035 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 0) = 0
1512, 14eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = 0
1615fveq2i 6910 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
179, 16eqtr3i 2765 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
185mullidi 11264 . . . . . 6 (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
1918oveq1i 7441 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2017, 19eqtr3i 2765 . . . 4 (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2120oveq1i 7441 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0))
225subidi 11578 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0
2321, 22eqtr3i 2765 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = 0
246, 23eqtr3i 2765 1 (𝑇‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950  0c0v 30953  LinFnclf 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-lnfn 31877
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  32073  lnfn0  32076  nmbdfnlbi  32078  nmcfnexi  32080  nmcfnlbi  32081  nlelshi  32089
  Copyright terms: Public domain W3C validator