HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfn0i 29977
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (𝑇‘0) = 0

Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28938 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 29976 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ℂ
43ffvelrni 6860 . . . 4 (0 ∈ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇‘0) ∈ ℂ
65, 5pncan3oi 10980 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
7 ax-1cn 10673 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
82lnfnli 29975 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
97, 1, 1, 8mp3an 1462 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0))
107, 1hvmulcli 28949 . . . . . . . . 9 (1 · 0) ∈ ℋ
11 ax-hvaddid 28939 . . . . . . . . 9 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
13 ax-hvmulid 28941 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 0) = 0
1512, 14eqtri 2761 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = 0
1615fveq2i 6677 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
179, 16eqtr3i 2763 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
185mulid2i 10724 . . . . . 6 (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
1918oveq1i 7180 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2017, 19eqtr3i 2763 . . . 4 (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2120oveq1i 7180 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0))
225subidi 11035 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0
2321, 22eqtr3i 2763 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = 0
246, 23eqtr3i 2763 1 (𝑇‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  cmin 10948  chba 28854   + cva 28855   · csm 28856  0c0v 28859  LinFnclf 28889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-hilex 28934  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-sub 10950  df-lnfn 29783
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  29979  lnfn0  29982  nmbdfnlbi  29984  nmcfnexi  29986  nmcfnlbi  29987  nlelshi  29995
  Copyright terms: Public domain W3C validator