HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfn0i 29490
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (𝑇‘0) = 0

Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28449 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 29489 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ℂ
43ffvelrni 6624 . . . 4 (0 ∈ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇‘0) ∈ ℂ
65, 5pncan3oi 10641 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
7 ax-1cn 10332 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
82lnfnli 29488 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
97, 1, 1, 8mp3an 1534 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0))
107, 1hvmulcli 28460 . . . . . . . . 9 (1 · 0) ∈ ℋ
11 ax-hvaddid 28450 . . . . . . . . 9 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
13 ax-hvmulid 28452 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 0) = 0
1512, 14eqtri 2802 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = 0
1615fveq2i 6451 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
179, 16eqtr3i 2804 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
185mulid2i 10384 . . . . . 6 (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
1918oveq1i 6934 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2017, 19eqtr3i 2804 . . . 4 (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2120oveq1i 6934 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0))
225subidi 10696 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0
2321, 22eqtr3i 2804 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = 0
246, 23eqtr3i 2804 1 (𝑇‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  cmin 10608  chba 28365   + cva 28366   · csm 28367  0c0v 28370  LinFnclf 28400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-hilex 28445  ax-hv0cl 28449  ax-hvaddid 28450  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulid 28452
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-lnfn 29296
This theorem is referenced by:  lnfnmuli  29492  lnfn0  29495  nmbdfnlbi  29497  nmcfnexi  29499  nmcfnlbi  29500  nlelshi  29508
  Copyright terms: Public domain W3C validator