Theorem lnfn0i 32022

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfn0i	⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem lnfn0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30983	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnfi 32021	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
4	3	ffvelcdmi 7016	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ
6	5, 5	pncan3oi 11376	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
7		ax-1cn 11064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	2	lnfnli 32020	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)))
9	7, 1, 1, 8	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ))
10	7, 1	hvmulcli 30994	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
11		ax-hvaddid 30984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
13		ax-hvmulid 30986	. . . . . . . . 9 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
15	12, 14	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
16	15	fveq2i 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
17	9, 16	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
18	5	mullidi 11117	. . . . . 6 ⊢ (1 · (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
19	18	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
20	17, 19	eqtr3i 2756	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
21	20	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ))
22	5	subidi 11432	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
23	21, 22	eqtr3i 2756	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
24	6, 23	eqtr3i 2756	1 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901  0_ℎc0v 30904  LinFnclf 30934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hilex 30979  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-lnfn 31828

This theorem is referenced by:  lnfnmuli  32024  lnfn0  32027  nmbdfnlbi  32029  nmcfnexi  32031  nmcfnlbi  32032  nlelshi  32040