HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnmuli 29596
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28553 . . 3 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 29592 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
41, 3mp3an3 1429 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
5 hvmulcl 28563 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
6 ax-hvaddid 28554 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
87fveq2d 6497 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)))
92lnfn0i 29594 . . . 4 (𝑇‘0) = 0
109oveq2i 6981 . . 3 ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0)
112lnfnfi 29593 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
1211ffvelrni 6669 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
13 mulcl 10413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℂ)
1412, 13sylan2 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℂ)
1514addid1d 10634 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
1610, 15syl5eq 2820 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
174, 8, 163eqtr3d 2816 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10327  0cc0 10329   + caddc 10332   · cmul 10334  chba 28469   + cva 28470   · csm 28471  0c0v 28474  LinFnclf 28504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-hilex 28549  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-po 5320  df-so 5321  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-ltxr 10473  df-sub 10666  df-lnfn 29400
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  29597  lnfnmul  29600  nmbdfnlbi  29601  nmcfnexi  29603  nmcfnlbi  29604  nlelshi  29612  riesz3i  29614
  Copyright terms: Public domain W3C validator