HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfnmuli 31867
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30826 . . 3 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 31863 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
41, 3mp3an3 1447 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
5 hvmulcl 30836 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
6 ax-hvaddid 30827 . . . 4 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
87fveq2d 6901 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)))
92lnfn0i 31865 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
109oveq2i 7431 . . 3 ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0)
112lnfnfi 31864 . . . . . 6 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1211ffvelcdmi 7093 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚)
13 mulcl 11223 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1412, 13sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1514addridd 11445 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
1610, 15eqtrid 2780 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
174, 8, 163eqtr3d 2776 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  0cc0 11139   + caddc 11142   Β· cmul 11144   β„‹chba 30742   +β„Ž cva 30743   Β·β„Ž csm 30744  0β„Žc0v 30747  LinFnclf 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-hilex 30822  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-lnfn 31671
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  31868  lnfnmul  31871  nmbdfnlbi  31872  nmcfnexi  31874  nmcfnlbi  31875  nlelshi  31883  riesz3i  31885
  Copyright terms: Public domain W3C validator