HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfnmuli 31802
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30761 . . 3 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 31798 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
41, 3mp3an3 1446 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
5 hvmulcl 30771 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
6 ax-hvaddid 30762 . . . 4 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
87fveq2d 6888 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)))
92lnfn0i 31800 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
109oveq2i 7415 . . 3 ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0)
112lnfnfi 31799 . . . . . 6 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1211ffvelcdmi 7078 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚)
13 mulcl 11193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1412, 13sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1514addridd 11415 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
1610, 15eqtrid 2778 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
174, 8, 163eqtr3d 2774 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   β„‹chba 30677   +β„Ž cva 30678   Β·β„Ž csm 30679  0β„Žc0v 30682  LinFnclf 30712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30757  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-lnfn 31606
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  31803  lnfnmul  31806  nmbdfnlbi  31807  nmcfnexi  31809  nmcfnlbi  31810  nlelshi  31818  riesz3i  31820
  Copyright terms: Public domain W3C validator