HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnmuli 31035
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))

Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29994 . . 3 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 31031 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
41, 3mp3an3 1451 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
5 hvmulcl 30004 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
6 ax-hvaddid 29995 . . . 4 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
87fveq2d 6850 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)))
92lnfn0i 31033 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
109oveq2i 7372 . . 3 ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0)
112lnfnfi 31032 . . . . . 6 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1211ffvelcdmi 7038 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚)
13 mulcl 11143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1412, 13sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1514addridd 11363 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
1610, 15eqtrid 2785 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
174, 8, 163eqtr3d 2781 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062   Β· cmul 11064   β„‹chba 29910   +β„Ž cva 29911   Β·β„Ž csm 29912  0β„Žc0v 29915  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-hilex 29990  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  31036  lnfnmul  31039  nmbdfnlbi  31040  nmcfnexi  31042  nmcfnlbi  31043  nlelshi  31051  riesz3i  31053
  Copyright terms: Public domain W3C validator