Theorem lnfnmuli 30406

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnmuli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 29365	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnli 30402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
4	1, 3	mp3an3 1449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 29375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 29366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
9	2	lnfn0i 30404	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
10	9	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0)
11	2	lnfnfi 30403	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
12	11	ffvelrni 6960	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
13		mulcl 10955	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
15	14	addid1d 11175	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
16	10, 15	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
17	4, 8, 16	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ℎ csm 29283  0_ℎc0v 29286  LinFnclf 29316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-lnfn 30210

This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  30407  lnfnmul  30410  nmbdfnlbi  30411  nmcfnexi  30413  nmcfnlbi  30414  nlelshi  30422  riesz3i  30424