HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnfnmuli 31292
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30251 . . 3 0β„Ž ∈ β„‹
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 31288 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 0β„Ž ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
41, 3mp3an3 1450 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)))
5 hvmulcl 30261 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
6 ax-hvaddid 30252 . . . 4 ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž) = (𝐴 Β·β„Ž 𝐡))
87fveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴 Β·β„Ž 𝐡) +β„Ž 0β„Ž)) = (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)))
92lnfn0i 31290 . . . 4 (π‘‡β€˜0β„Ž) = 0
109oveq2i 7419 . . 3 ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0)
112lnfnfi 31289 . . . . . 6 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
1211ffvelcdmi 7085 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚)
13 mulcl 11193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1412, 13sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) ∈ β„‚)
1514addridd 11413 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + 0) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
1610, 15eqtrid 2784 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)) + (π‘‡β€˜0β„Ž)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
174, 8, 163eqtr3d 2780 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴 Β·β„Ž 𝐡)) = (𝐴 Β· (π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  0β„Žc0v 30172  LinFnclf 30202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-lnfn 31096
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  31293  lnfnmul  31296  nmbdfnlbi  31297  nmcfnexi  31299  nmcfnlbi  31300  nlelshi  31308  riesz3i  31310
  Copyright terms: Public domain W3C validator