Theorem lnfnmuli 30125

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnmuli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 29084	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnli 30121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
4	1, 3	mp3an3 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 29094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 29085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	fveq2d 6721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
9	2	lnfn0i 30123	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
10	9	oveq2i 7224	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0)
11	2	lnfnfi 30122	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
12	11	ffvelrni 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
13		mulcl 10813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
15	14	addid1d 11032	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
16	10, 15	syl5eq 2790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
17	4, 8, 16	3eqtr3d 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734   ℋchba 29000   +_ℎ cva 29001   ·_ℎ csm 29002  0_ℎc0v 29005  LinFnclf 29035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-hilex 29080  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-lnfn 29929

This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  30126  lnfnmul  30129  nmbdfnlbi  30130  nmcfnexi  30132  nmcfnlbi  30133  nlelshi  30141  riesz3i  30143