Theorem lnfnmuli 32063

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnmuli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31022	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnli 32059	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
4	1, 3	mp3an3 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 31032	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 31023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
9	2	lnfn0i 32061	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
10	9	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0)
11	2	lnfnfi 32060	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
12	11	ffvelcdmi 7103	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
13		mulcl 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
15	14	addridd 11461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
16	10, 15	eqtrid 2789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
17	4, 8, 16	3eqtr3d 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940  0_ℎc0v 30943  LinFnclf 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-lnfn 31867

This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  32064  lnfnmul  32067  nmbdfnlbi  32068  nmcfnexi  32070  nmcfnlbi  32071  nlelshi  32079  riesz3i  32081