Theorem lnfnmuli 32123

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnmuli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31082	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnli 32119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
4	1, 3	mp3an3 1453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)))
5		hvmulcl 31092	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6		ax-hvaddid 31083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
8	7	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)))
9	2	lnfn0i 32121	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
10	9	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0)
11	2	lnfnfi 32120	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
12	11	ffvelcdmi 7030	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ)
13		mulcl 11114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ ℂ)
15	14	addridd 11337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
16	10, 15	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇‘𝐵)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
17	4, 8, 16	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035   ℋchba 30998   +_ℎ cva 30999   ·_ℎ csm 31000  0_ℎc0v 31003  LinFnclf 31033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31078  ax-hv0cl 31082  ax-hvaddid 31083  ax-hfvmul 31084  ax-hvmulid 31085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-lnfn 31927

This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  32124  lnfnmul  32127  nmbdfnlbi  32128  nmcfnexi  32130  nmcfnlbi  32131  nlelshi  32139  riesz3i  32141