HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnaddi 30883
Description: Additive property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnaddi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnaddi
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11106 . . 3 1 ∈ ℂ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 30880 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
41, 3mp3an1 1448 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
5 ax-hvmulid 29846 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65fvoveq1d 7376 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
76adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
82lnfnfi 30881 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
98ffvelcdmi 7031 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
109mulid2d 11170 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1110adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1211oveq1d 7369 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
134, 7, 123eqtr3d 2784 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6494  (class class class)co 7354  cc 11046  1c1 11049   + caddc 11051   · cmul 11053  chba 29759   + cva 29760   · csm 29761  LinFnclf 29794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-mulcl 11110  ax-mulcom 11112  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-1rid 11118  ax-cnre 11121  ax-hilex 29839  ax-hvmulid 29846
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-map 8764  df-lnfn 30688
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  30885  nlelshi  30900
  Copyright terms: Public domain W3C validator